Программа специального курса "Функции"

Авторская педагогическая разработка (адаптированная) Функция.  Построение графиков элементарных функций  Программа специального курса для учащихся 10 классов Содержание: 1. Пояснительная записка  ……………………………………………………   3 2. Учебно­тематическое планирование…...………………………………….4­5 3. Содержание курса……………………………………………………………..6 4. Приложение……………………………………………………………… ..7­30 5. Литература……………………………………………………………………31 2 Пояснительная записка Начиная с 7 класса, в центре внимания школьной математики находится понятие функции. Однако   размеры   школьного   учебника,   количество   часов,   выделяемых   на   изучение   темы “Функция” в разных классах, не позволяют показать в сколько­нибудь полном объеме все многообразие   задач,   требующих   для   своего   решения   функционального   подхода,   научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функции; нет времени изложить историю возникновения этого интереснейшего раздела в школьном курсе математики.  С   другой   стороны,   авторы   контрольно­измерительных   материалов   ЕГЭ   уделяют   много внимания проверке умений читать по графику свойства функции, использовать их в решении уравнений и неравенств. Тесты итоговой аттестации по математике за курс средней школы предполагают   наличие   у   школьников   подобных   знаний.   Содержание   курса   посвящено рассмотрению   наиболее   простых   методов   построения   графиков   элементарных   функций, углублению   материала,   отработке   практических   навыков.   Графический   метод   широко используется   при   решении   задач   с   параметрами,   которые   будут   предложены   вниманию учащихся в конце данного курса. Поэтому данный курс можно рекомендовать как повторение, закрепление и тренинг к экзаменам за курс средней школы и вступительным экзаменам в ВУЗ. Данный курс структурирован по принципу: от простого к сложному. Цель   курса   состоит   в   формировании   у   учащихся   предметных   компетентностей, направленных   на   успешную   сдачу   выпускного   и   вступительного   экзаменов   и   успешное продолжение освоение математики в  ВУЗах. З а д а ч и:  –   систематизация,   углубление   и   расширение   знаний,   полученных   учащимися   изучении «функций», при построении графиков на уроках; –обучение учащихся приемам построения графиков функций; – знакомство с новыми понятиями, выходящими за рамки школьной программы; ­ отработка алгоритмов построения графиков; ­ воспитание у учащихся культуры работы с чертежными инструментами и аккуратности выполнения графических работ; ­   предоставление   учащимся   возможности   самостоятельного   конструирования   задач   по данной теме, их решения, презентации на занятиях; ­ воспитание устойчивого интереса к предмету.       В ходе курса деятельность учащихся будет включать в себя изучение алгоритмов  построения графиков элементарных функций, решение задач по данной тематике, написание  тестов, выполнение творческой работы, связанной с формулировкой задания и построением  графиков функций, поиск и обработка информации по теме курса.       Основные формы проведения занятий – практикумы по решению задач, лабораторные  работы, занятия­обсуждения. 3 В качестве домашних заданий учащимся предлагается работа по построению графиков  функций повышенной сложности, и конструирование различных формул, задающих функции,  графики которых необходимо построить. На практикумах, эти сконструированные задачи  предлагаются для работы в группах. Контроль за освоением учащимися содержания курса  проводится посредством тестов, обсуждения, анализа представленных работ, их презентации,  самооценку, наблюдения учителя за деятельностью учащихся.       Содержание курса систематизировано таким образом, что изучение всех последующих тем  обеспечивается знаниями предыдущих, Часть материала осваивается путем подведения  учащихся под эмпирические обобщения, т.е. от частного к общему. Тесты, теоретические и  лабораторные занятия позволяют в любой момент обучения установить степень достижения  промежуточных и итоговых результатов обучения учащихся.       Результатом освоения курса является отработка у учащихся предметных знаний, умений,  навыков, направленных на дальнейшее успешное освоение математике в высших учебных  заведениях.  4 Учебно – тематическое планирование № п\п Тема занятия Кол­во часов (теор./практ. ) 1. Понятие функции, Графические способы  задания функции. Линейная функция и её графику 2. 3. Квадратичная функция, её график. Графики элементарных функций. 4. 5. Арифметические операции над графиками  функций 6. Преобразование графиков функций. 7. Построение графиков функций, содержащих  модуль. 8. Построение графиков функций с  использованием их свойств 9. График сложной функции 10. Графический способ решения уравнений и  неравенств. 2(1/1) 2(1/1) 2(1/1) 2(1/1) 4(1/3) 3(1/2) 3(1/2) 2(1/1) 3(1/2) 4(1/3) Виды, формы занятий Занятие­обсуждение Беседа. Практическое  занятие, лабораторная  работа Беседа. Практическое  занятие, лабораторная  работа Занятие­обсуждение Лекция. Лабораторный  практикум. Лекция. Практическое  занятие. Работа в  группах. Лекция, практикум (в  конце занятия –  обобщающий тест по  разделу) Занятие­обсуждение,  практическая работа.  Работа в группах. Лекция. Практическое  занятие, Лабораторная  работа: демонстрация  индивидуальных работ, защита решений. Мини­лекция.  Практическое занятие­ обсуждение.  Лабораторная работа. Лекция,  5 11. Применение графиков функций при решении  5(2/3) уравнений и неравенств с параметром 12. Итоговое занятие Итого: исследовательская  работа, практикум Конференция, защита  ученических проектов 2 (­/2)       34(12/22) Содержание курса: 1. Определение функции. Графический способ задания функции.  Кусочные функции.  Построение эскиза графика, удовлетворяющего заданным условиям. 2. Линейная функция. Расположение графика функции в зависимости от коэффициентов. Алгоритм построение. Взаимное расположение графиков функций. 3. Квадратичная функция, Расположение графика в зависимости от коэффициентов.  Алгоритм построения графика. 4. Графики элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической,  тригонометрической, обратно тригонометрической. 5. Сложение, вычитание, умножение и деление графиков. Асимптоты графика.  Построение эскизов графиков функций. 6. Параллельный перенос вдоль осей координат. Сжатие и сдвиг. 7. Основные способы построения графиков функций, содержащих переменную под  знаком модуля. 8. Взаимно обратные функции. Использование свойств функций при построении их  графиков: четность, нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность,  наибольшее и наименьшее значение. 9. Понятие сложной функции. Построение эскизов графиков сложных функций. 6 10­11.  Применение изученного материала к решению задач из алгебры: графический           способ решения уравнений и неравенств, решение задач с параметрами.        ПРИЛОЖЕНИЕ ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ.  ПРОВЕРКА ВЛАДЕНИЯ БАЗОВЫМИ УМЕНИЯМИ Цели: проверка и актуализация базовых знаний. Х о д  з а н я т и я На   данном   занятии   надо   рассказать   о   целях   и   задачах   изучения   курса,   о   важности получаемых   знаний   для   итоговой   аттестации   как   в   основной   так   и   в   средней   школе. Объяснить, как получить зачет, что такое “Портфель достижений”. Проверка базовых знаний осуществляется за счет вводного тестирования.  I. Тест. 1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:  В а р и а н т   I y 1  x 2 ;  а)  y б)  2x 2. Область определения функции  ; а)  4x 4x б)  ; ; y 4 x :  y 2 x 2 . в)  в)  0x ?  y  1   3 x 1 3. Найдите значение функции  а) 0;  4.   На   рис.1(а,б,в)   найдите   точку   K,   симметричную   точке   в) – 0,8. б) – 2;   при  : 2x ординат.  5;1 K   относительно   оси Рис.1 7 5. На рис.2 (а, б, в) найдите точку  А', симметричную точке    3;2A   относительно начала координат. Рис.2 6. Функция  а) возрастает;  y   при  x : 0x б) убывает;  в) постоянна.  y 4 x x 3 y  называется:  б) гиперболой;  7. График функции  а) прямой;  8. Какой из графиков параллелен прямой  а)  в)  9. Графику какой функции принадлежит точка  6 x 1 y  22x б)  y 2  1 2 x y y y ; 3 x в) параболой.   : x   y 3 x 01 4;2A  . : ; ; б)  а)  10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций  а)  Ключ к тесту: 3;1 б)  в)  5;0 7;1 в)  ?  ; ; . y  x 4  1 y 2  x 5 :  и  1 б 2 а 3 а 4 б 5 в 6 а 7 б 8 б 9 б 10 в В а р и а н т  II 1. Какая из функций, приведенных ниже, линейная:  y x 5 1 ; а)  y 5  x б)  1 2. Область определения функции  ; y y 15 x ?  в)  3 x : 8 а)  0x ; б)  3x ; в)  3x . 3. Найдите значение функции  y 1  x 2 x 5,0x :  при  3 в)  2 а) 3; 4. На рис. 3 (а, б, в) найдите точку М', симметричную точке  б) 12;  . 3;4M   относительно начала координат.                                                               Рис.3 5. На рис. 4 (а, б, в) найдите точку А', симметричную А (2, 1) относительно оси ординат. Рис.4 y 6 x 0x : 23x  при  б) убывает;  y   называется:  б) гиперболой;  6. Функция  а) возрастает;  7. График функции  а) прямой;  8. Какой из графиков параллелен прямой  а)  в)  9. Какому из графиков принадлежит точка  3 x 2   x б)  2 y y ; ; y  ; 22x а)  y  1 2 3 x ; б)  в)  в) постоянна.  в) параболой.   01 4;2  . ?  y  :  x  y 3 2 x  M 6 x y . 10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций  y 1   x 2 3 y 6x :  и  9 а)  12;18 ; б)   ;6  12 ; в)  0;6 . Ключ к тесту: 1 а 2 б 3 а 4 в 5 а 6 б 7 в 8 а 9 б 10 в II. Актуализация базовых знаний. О п р е д е л е н и е: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись y = f(x). Переменную  х  называют   независимой   переменной,  или  аргументом,  а  переменную  у  – зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.  Все   значения,   которые   принимает   независимая   переменная,   образуют  область определения   функции;   все   значения,   которые   принимает   зависимая   переменная,   образуют множество значений функции. Они обозначаются   соответственно.  fD  fE  и  Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.  Для закрепления учащимся предлагается ответить на вопросы.  1. Найдите область определения функции, заданной формулой:  x 1 ;  y  1 x 2 ;  б)  6у ; в)  y  1   xx 1 ; г)  а)  y  y  x x x y  1 x 2 ж)  y  x . ; е)  д)  О т в е т: а) все числа, кроме 1; б)  ; ж) все отрицательные числа и 0. ; 0x 0x ; в) все числа; г) все числа, кроме 0 и 1; д)  0x ; е) Далее повторяются функции, уже известные из школьной программы. y  kx b 1.   – линейная функция, графиком которой является прямая.  y  k x гипербола. 2.   – функция обратно пропорциональной зависимости, графиком которой является 3ax 2ax y   – квадратичная функция, графиком которой является парабола. y   – степенная функция, графиком которой является кубическая парабола.  3.  4.  Для закрепления можно задать вопросы:  1.   Формула  y  =   –5x  +   6   задает   некоторую   функцию.   Найдите   значение   функции, соответствующее   значениям   аргумента:   –1,2;  2,8.   При   каком   значении   аргумента   значение функции равно 6; 8; 100? О т в е т: 12; –8; 0; –0,4; –18,8. 2. Заполните таблицу:  10 2 1,6 8 5,0 х 8 x y О т в е т: 4; –1; 5; –16. 3. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, если это возможно, 2 .                                                             О т в е т: 4; 1,1; не существует;  3 4 y  ; 16; 1,21; –25;  9 x .                     ИСТОРИКО­ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ “ФУНКЦИЯ” Цели:  раскрыть   сложный   исторический   путь   понятия   “функция”;   вызвать   чувство сопричастности к поиску гениальных ученых. Х о д  з а н я т и я У ч и т е л ь. Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела.  С   развитием   скотоводства   и   земледелия,   ремесла   и   обмена   увеличилось   количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел.   Это   позволило   формулировать   их   словами:   “больше   на”,   “меньше   на”,   “больше   во столько­то раз”. Если за одного быка давали 6 овец, то двух обменивали уже на 12; если из одного ведра глины можно было сделать 4 горшка, то из 3 – 12. Такие расчеты привели к представлениям о пропорциональности величин.  Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне  составили   таблицы  обратных  чисел,  таблицы  квадратов   и  кубов чисел   и  даже таблицы   для   суммы   квадратов   чисел   и   их   кубов.   Говоря   современным   языком,   это   было y 1 x . Разумеется, путь от составления табличное задание функций  таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.  ;  y  ;  2x y  ,  3x y  x 2 3 x 11 Многое   из   того,   что   сделали   древнегреческие   математики,   тоже   могло   привести   к возникновению   понятия   о   функции.   Они   нашли   много   различных   кривых,   неизвестных   в Египте и Вавилоне, изучили зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.  Арабские ученые ввели новые тригонометрические таблицы и усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем. В исследованиях аль­Бируни впервые встречаются мысли о “всех таблицах”, то есть о всевозможных зависимостях между величинами.  Исследования общих зависимостей началось в XIV веке. Среди схоластов возникла школа, утверждавшая,  что качества  могут быть  более  или  менее интенсивными  (платье  человека, свалившегося в воду, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь). Французский ученый Николай   Оресм   стал   изображать   интенсивности   длинами   отрезков.   Важным   достижением Оресма   была   попытка   классифицировать   получившиеся   графики.   Он   выделил   три   типа качеств:   равномерные   (то   есть   с   постоянной   интенсивностью),   равномерно­неравномерные (для которых скорость изменения интенсивности постоянна) и неравномерно­неравномерные (все остальные), а также указал характерные свойства этих графиков. Идеи Оресма намного обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной алгебры в то время еще не существовало.  На   протяжении   XVI   и   XVII   вв.   в   естествознании   произошла   революция,   приведшая   к глубочайшим изменениям не только в технике (астрономы узнали о спутниках Юпитера и пятнах   на   Солнце,   инженеры   придумали   новые   машины   и   усовершенствовали   часы, мореплаватели  открыли  новые  континенты и  таинственные  страны), но и в  мировоззрении людей. Они стали смотреть на мир не как на поле приложения божественной воли, а как на механизм, управляемый  своими  законами. И основной задачей  науки стало  открытие этих законов, описание их в терминах математики.  Чтобы создать математический  аппарат для изучения  движений, понадобилось  понятие переменной   величины.   Это   понятие   было   введено   в   науку   французским   философом   и математиком   Рене   Декартом   (1596–1650   гг.).   Декарту   удалось   уничтожить   пропасть, существовавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнение, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат. Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришел другой французский математик – Пьер Ферма (1601–1665 гг.). После   того   как   в   науку   вошли   переменные   величины,   были   изучены   траектории движущихся точек, достигла расцвета вычислительная математика и была создана буквенная алгебра, внимание ученых обратилось к изучению соответствий между величинами. В своей “Геометрии”   Декарт   писал:   “Придавая   линии  у  последовательно   бесконечное   количество различных значений, мы найдем также бесконечное количество значений х и, таким образом, получим бесконечное количество различных точек…; они опишут требуемую кривую линию”. Здесь ясно выражена идея функциональной зависимости величин у и х, идея геометрического выражения этой зависимости.  Функция   –   основное   понятие   математического   анализа.   Но   вначале   оно   было   очень расплывчатым, не имело сколько­нибудь точного описания.  12 Термин “функция” ввел в математику Готфрид Лейбниц (1646–1716 гг.). Он употреблял его в очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами. Лишь   И.   Бернулли   дал   определение   функции,   свободное   от   геометрического   языка: “Функцией   переменной   величины   называется   количество,   образованное   каким   угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянных”. Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643–1727 гг.), который изучил колоссальное число самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова функция Ньютон применял термин “ордината”. Он сводил изучение геометрических и физических зависимостей к изучению этих ординат, а сами ординаты описывал различными аналитическими выражениями.  Один из самых замечательных математиков XVIII в. – Леонард Эйлер (1707–1783 гг.), – вводя в своем учебнике понятие функции, говорил лишь, что “когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых”.  В   развитие   понятия   функции   внесли   свой   вклад   французский   математик   Ж.   ­Б.Фурье (1768–1830  гг.),   русский   ученый   Н.   И.  Лобачевский   (1792–1856   гг.),  немецкий   математик Дирихле (1805–1859 гг.) и другие ученые, и общепризнанным стало следующее определение: “Переменная   величина  у  называется   функцией   переменной   величины  х,   если   каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у”. Однако некоторых математиков подобное определение не совсем удовлетворяло. Ведь в нем термин “функция” определяется через понятия, которые достаточно неопределенны и расплывчаты   (“зависимость”,   “соотвествтие”).   Некоторое   успокоение   пришло   с   созданием теории множеств, начала которой были заложены в конце XIX в. Георгом Кантором. Все вроде встало на свои места. Пусть Х и Y – два множества. Множество F пар  Yy  , где  Yy  ,   такое,   что называется   функцией,   если   для   любого     F ; yx .   Концепции   теории   множеств   произвели   огромное   впечатление   на   многих математиков,   бывших   свидетелями   зарождения   новой   теории.   Давид   Гильберт,   известный немецкий   математик,   сказал   о   теории   множеств:   “Я   считаю,   что   она   представляет   собой высочайшее   проявление   человеческого   гения   и   одно  из   самых   высоких   достижений   чисто духовной деятельности человека”.  yx; Xx   существует   единственное   Xx ,  Подводя итоги, следует сказать, что в зависимости от природы множеств  Х  и  Y  термин “функция” в различных разделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, соответствие, преобразование, оператор, функционал и т. д.  Рассмотрим их на простых примерах. 1.  Отображение. Когда функцию    Y  , Xx , обычно называют образом элемента х. Например, которое она принимает на элементе  можно задать отображение множества     так, что образом элементов 2, 3, 5 будет 2, а 4    3. То есть каждому числу соответствует количество его делителей.    называют отображением, значение     на множество   5;4;3;2A  3;2B  xf : Y  xf 2. Соответствие. Пусть А – множество квадратов. Каждый квадрат  Aa   имеет сторону al вполне определенной длины   . Соответствие  a   al  порождает функцию.  13 3.  Преобразование. Если на прямой ввести две системы координат   x , имеющие одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты х и х' одной и той же точки прямой в этих системах будут связаны соотношением   , где  с  – координата начала отсчета в системе   c   –   называется   преобразованием.   Такой   термин   чаще встречается в геометрии и физике.  x .   Функция   x   и    x  x c x x 4.  Оператор  – это функция, преобразующая одни функции в другие. Например: любой радиоприемник – оператор, преобразующий электромагнитный сигнал, поступающий на вход приемника, в звуковой на его выходе. Среди числовых функций оператором можно назвать функции,   задающие   геометрические   преобразования   графиков.   Например,     – оператор сдвига функции на величину с.   xfc  xf c    5.   Функции,   определенные   на   функциях   и   принимающие   числовые   значения,   называют x 1 , функционалом.   Например,   любой   числовой   функции,   определенной   на   отрезке   поставим в соответствие длину кривой графика этой функции на этом отрезке.  0 Таким образом, функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия,   биология,   социология,   лингвистика   и   т.   д.   –   имеет   свои   объекты   изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. Математика рассматривает абстрактные переменные   величины   и   в   отвлеченном   виде   изучает   различные   законы   их   взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциями.  Мы будем изучать числовые функции и их свойства.  М е т о д и ч е с к о е   з а м е ч а н и е. Ясно, что лекционный материал такого объема трудно воспринимать. Но, во­первых, слушатели – учащиеся 9 класса, выбравшие этот курс; во­вторых,   в   процессе   рассказа   о   функциях   демонстрируются   фрагменты   диафильма: “Функция” (математика, 6 кл.) (Ю. Н. Макарычев. Студия “Диафильм”. – Москва, 1982 г.), где   на   конкретных   ярких   примерах   показаны   соответствия,   отображения;   в­третьих,   в качестве разрядки ребятам можно предложить следующие вопросы:  1)   Прочитайте   фамилии   известных   математиков,   внесших   свой   вклад   в   формирование понятия “функция”, зашифрованные анаграммами: а) НОТЮНЬ;  б) ЛИДЕРИХ;  в) ЛОЙБАСИКЧЕВ; 2)   Впишите   в   оставшиеся   клетки   фамилии   известных   ученых,   внесших   свой   вклад   в г) НАКТОР; д) РЕЙЛЭ. развитие понятия “функция”.  14 3)   Можно   также   предложить   придумать   различные   степени   интенсивности   качеств   по Оресму, например, у костра жарче, чем у свечи.  И наконец в­четвертых, никто не запрещает учителю сократить данный здесь материал,  предложить учащимся часть его найти самостоятельно и т. д. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ Цели: повторить и углубить знания о способах задания функций; осуществить эвристические пробы по переходу от одного способа к другому. Х о д  з а н я т и й  fE  xfx;    fD , множество  fE fD  У ч и т е л ь. Задать функцию f – значит, указать ее область определения  значений   находятся из множества пар    и   множество   пар   xfx;    .   Поскольку   во   многих   случаях     и   , то достаточно каким­то способом задать эти пары. Табличное задание функции – частный случай задания функции с помощью пар; таблица – это особая форма записи пар, первые компоненты которых записаны в одном столбце (одной строке), а вторые – в другом.  Например:  х f(x) 1 12 2 6 3 4 4 3      4;3;2;1fD 3;4;6;12fE  Ясно, что табличный способ находит свое применение в практике, те же таблицы Брадиса.  З а д а н и я  д л я  с а м о с т о я т е л ь н о г о  р е ш е н и я. 15  fD fE  Назовите  З   а   д   а   н   и   е  1.   Результаты   измерений   сопротивления  r  (Ом)   медного   стержня   при . Является ли заданная в таблице функция – числовой?   и  различных значениях температуры t (С) представлены в табл. 50,0 36,0 80,80 85,10 t 19,1 25,0 30,1 r 76,3 77,8 79,7 5 З а д а н и е  2. Дальность полета вертолетов S (км) задана таблицей:  Марка вертолета Ми­4П Ми­6 Ми­8 Ка­18 Ка­26 S 740 810 650 400 304 Задает ли таблица  функцию? Числовую  функцию? Что в таблице  принято за значения аргумента?  Графическое задание функции. Графиком функции     где , координатной плоскости множества пар     xf yx ;  , y  . xf  y    называется изображение на  fDx    Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.  З а д а н и я   д л я   с а м о с т о я т е л ь н о г о   р е ш е н и я. З а д а н и е  3. На рис. 1 изображены графики тормозного пути автомобиля на сухом (I), мокром (II) асфальте и в гололед (III). 1) При каких условиях удлиняется тормозной путь? 2) Каков примерно тормозной путь при каждом состоянии асфальта при скорости 50 км/ч? 3) Какую скорость следует выбрать для безопасного движения: а) на мокром асфальте; б) в гололед? Рис. 1 Рис. 2 З а д а н и е  4. На рис. 2 показано графически  влияние доли  фосфорной кислоты  в растворе при заданной температуре на электрическую проводимость раствора (кривая I при температуре 75 С, кривая II при 25 С). Укажите наибольшую электрическую проводимость в каждом из двух случаев. При какой концентрации раствора она наступает?  Аналитический способ задания функции. Функция   может   быть   задана   в виде формулы   y   xf , где переменная  х  – элемент множества значений аргумента, а переменная у – соответствующее значение функции. Можно привести примеры элементарных функций, изученных ранее. Большинство функций, заданных формулами, пришло из решения конкретных задач.  16 Например, в листе жести прямоугольной формы (длина сторон  а = 600 мм,  b = 400 мм) нужно вырезать прямоугольное отверстие, площадь которого S = 800 см2, а края должны быть на одинаковом расстоянии от краев листа. Вычислите это расстояние.  Р е ш е н и е:  Пусть искомое расстояние х мм, тогда    a  bx 2  x 2 S ,  S  x 4 2   2  xba   ab , при данных а и b.    xS типа.  4 2 x  2000 x  240000 . Функция   y   xS   задает формулу для решения всех задач такого 2 x  2000 x  24000 Если подставить S, то найдем искомое х, решив уравнение:   4 80000 х1 = 100 х2 = 400. Очевидно, что 400 мм не удовлетворяет условию. О т в е т: 100 мм.  З а д а н и я  д л я  с а м о с т о я т е л ь н о г о  р е ш е н и я.  З а д а н и е  5. Всякое оборудование в процессе эксплуатации изнашивается, его ценность при этом уменьшается. Пусть первоначальная стоимость оборудования А0 руб. уменьшается на k % в год. Составьте формулу стоимости оборудования в процессе его эксплуатации.  О т в е т:  З а д а н и е  6. Задайте формулой функции, заданные табличным способом:  , где t – количество лет.  t       AA 10  k 100 а)  б) x y –2 –4 О т в е т:  y 0 –2 –1 –3 2x . 1 –1 2 0 х у 5,2 2 5,1 1 5,0 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0 1 4 1 16 y  . 2x О т в е т:  З а д а н и е  7. Задайте формулами функции, изображенные на рис.3 . Рис.3  17 y 2x y 4 x y  . x О т в е т: а)  З а д а н и е 8. По таблице значений переменных х и у определите вид зависимости между ; б)  ; в)  ними:  Далее можно самим загадать соседу функцию.  ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Цели:  сформировать   понятие   четности   и   нечетности   функций;   научить   определять   и использовать эти свойства. Х о д  з а н я т и я У ч и т е л ь. Рассмотрим функцию   действительных   чисел   и   обладает   свойством   f  Rx . Такие функции называются четными.    x О п р е д е л е н и е: Функция f, заданная на множестве Х, называется четной, если для  для любого    xf  xf  . Эта функция определена на множестве  R ,   то   есть   вообще   3    3f 2x  5 ,    5   f  f f любого xX верно равенство f(–x) = f(x). Выполнение   равенства   ,   то   есть область   определения   четной   функции   есть   множество,   симметричное   относительно   нуля. Значит, если функция задана на несимметричном относительно О множестве, она не является   означает,   что   для   любого   Xx   и   Xx  f  x   xf 18 четной.   Например,     xf  ,   x  fD    ;0   –   несимметрична   относительно  О,   значит, функция    xf   не является четной. Отсюда следует такое правило.  x .   fD А л г о р и т м   в ы я с н е н и я   ч е т н о с т и    ф у н к ц и и.  1. Найти  2. Выяснить, симметрична ли  3. Выяснить, выполняется ли равенство  Например. Исследуйте на четность функцию  4 2  относительно О.  xf   x  fD   xh 4   2 5 5 x x     . f  4    4   4 4 4  4  x    x x x 5 2 5 2 5 2 5 5 2   2      2      x 5 xh     R hD  . hD  симметрична относительно О.       h x  x 1.  2.  3.    Докажем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть    и   . Но точки   Х. Тогда   симметричны относительно оси Оу. Значит, вместе с каждой своей точкой   график G четной функции содержит и симметричную относительно оси  Оу  ей точку, то есть график четной функции симметричен относительно оси ординат.  0  – произвольная точка графика G четной функции f с областью определения  0 0 xf , то есть точка    – функция h четная.  0 0; y x 0 0; y x 0; y x y  0 , но и    G  ; yx yx ;  x 0 y 0    f  0 Это свойство графика четной функции находит свое отражение в задачах.  Например. 1. Построить график функции    (см. рис.1).   xf 0x y  часть графика для  , если известно, что  f  – четная функции и задана Рис. 1 2. Среди функций на рис. 2 найдите четную (ЕГЭ – 2002).  Ответ: 1) Рис. 2 19 О п р е д е л е н и е. Функция g, заданная на множестве X, называется нечетной, если для любого xX верно равенство g(–x) = –g(x). .  gD Алгоритм выяснения нечетности.  1. Найти  2. Выяснить, симметрична ли  3. Выяснить, выполняется ли равенство  Ясно,   что   график   нечетной   функции   симметричен   относительно   начала   координат.  относительно О.   xg   gD g x   . Учащимся вполне по силам доказать это самостоятельно.   xg   3 x x  3  – нечетная.  П р и м е р. Доказать, что  1.  2.   R  gD  .  gD   g x x x 3 3  – симметрична относительно О.     x x 3 3   xg 3.  Рассмотрим свойства четных и нечетных функций.  1. Пусть  f  – функция, заданная на множестве    . aa; , где  а  – некоторое положительное x  ;0 a число или знак , принимает положительные значения при  . Тогда:  а) если f – четная функция, то при  б) если f – нечетная, то при  Это следует, например, из симметрии графиков.  x 0;a 0;a     x  значения ее положительны;   значения функции отрицательны.  МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ Цели:  осознать   понятие   “возрастание”,   “убывание”   функции;   научить   находить промежутки монотонности по графику и формулам.  Рассмотрим график функции (рис. 1).  Х о д  з а н я т и я Рис. 1 20  fD   :  4;3  fE   :  5,3;1 ,  2;3 4;2 По графику функции видно, что  На множестве  На множестве  О п р е д е л е н и е.  Функция  f  называется возрастающей на множестве  Х, если большему   значению   аргумента   из   этого   множества   соответствует   большее   значение функции.   с возрастанием аргумента, возрастают и значения функции.   с возрастанием аргумента значения функции убывают.  . Функция  f  называется   убывающей   на   множестве  Х,   если   большему   значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.  Иначе   эти   определения   формулируются   так:   функция  f  называется   возрастающей   на x  , x 1 множестве Х, если для любых двух значений аргумента х1 и х2 множества Х, таких, что  выполняется неравенство   1 xf  xf   . 2 2 Очевидно, что для убывающей на Х функции из условия  Функция возрастающая на множестве  Х  или убывающая на этом множестве называется . 2 x   следует  x 1 2 монотонной на множестве Х.  Свойства монотонности функций С в о й с т в о  1. Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента.  Д о к а з а т е л ь с т в о:  Допустим,   что   это   утверждение   неверно,   то   есть   существует   ,   где  f  – монотонная   (строго   возрастающая   или   строго   убывающая   функция).   Пусть   для определенности   . А если функция f убывает, то  . Тогда из возрастания функции  f  следует, что    xf 1 . Таким образом, равенство невозможно.  xf 1  xf 1  xf  xf  xf x  1 2 2 2    x    2  xf    1 xf С в о й с т в о  2. Если функция   монотонная на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак (то есть все ее значения являются положительными или отрицательными), то  xg  1  xf функция   имеет на множестве Х противоположный характер монотонности.  y   xf Д о к а з а т е л ь с т в о:   xf Пусть функция  x 2x , такие, что   1   xf 1  xf 2 y  x    и рассмотрим разность     xf 2    xf 1 1x   и   1   xf 2 Случай убывания f учащиеся рассматривают самостоятельно.  , значит  1  xf 1  1 xg  xf 1  xg  xf      0      2 2  возрастающая на множестве Х. Возьмем на множестве Х значения    0   xg  xg 1    2 2 ; рассмотрим   , то есть функция g убывает на Х.  С в о й с т в о  3. Пусть f – монотонная функция на множестве Х и  Тогда:  1) Если функция f возрастает на множестве Х, то функция  множестве Х;   y    2xf  также возрастает на 21   0xf  при всех  Xx . 2)   если   функция  f  убывает   на   множестве  Х,   то   функция    y    2xf   также   убывает   на множестве Х.   x 1 Д о к а з а т е л ь с т в о:  Пусть   ,   где   следует      xf x 2 a  b 2  2  xf   0   2 2 2x ,   x 1 X .   Из   курса   алгебры   известно,   что   из   условия    xf 2   1  xf 0 ba   следует .   Тогда   для   возрастающей   функции   из   условия   , то есть функция   возрастает.     2xf Убывание рассматривается аналогично. С в о й с т в о  4. Монотонная функция обратима.  О п р е д е л е н и е. Функции f и g называются взаимно обратными, если: 1) область определения функции f совпадает с множеством значений функции g;  2) множество значений функции f совпадает с областью определения функции g; 3)  y0  =   f(x0)  тогда   и   только   тогда,   когда  x0  =   g(y0)  (для   любого  х0  из   области определения функции f и любого y0 из области определения функции g).  Свойство   4   следует   из   свойства   1,   так   как   каждому   значению   функции  f  будет соответствовать   единственное   значение   аргумента  Х.   То   есть   можно   задать   функцию  g, отвечающую выше приведенным условиям.  З а м е ч а н и е. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.  2 x  . Тогда  y П р и м е р  1. Докажите, что функция y = 7x + 2 возрастает на R.  Р е ш е н и е:  x Пусть  1 Найдем разность  Значит  2 .  x 2 y  , то есть функция у возрастает.   xf y 2 y  и  1  72 x 1  x 7 1  72 7 2 7 x 2  x  0  2 y 1 y 1 x 1  . 2 2 П р и м е р  2. Докажите, что функция   возрастает на промежутке  ;1 . 2 x   1  x x   убывает на промежутке   1;0   и Р е ш е н и е:  Пусть  2 x  1  xf 2 x  Тогда   xx 2 21  xx 21  x 2   xx 21  x 1 xx 21  xf 1   x 2 2  xx 2 2 1   x 1 xx 12  1  .  из области определения функции.   x 2 x 2 xx 21  1  x 2 1 1  x 1 x 1  x 2   xxx 21 2      x 1 xx 21   x 2  x 1   Оценим знак разности исходя из условий задачи.  а) Если   121 xx  x 11 , то    x 1   и   ,    0 x x 2 2 xx 0112 больше   0,   то   дробь   больше   нуля,   то   есть   из   условия   функция возрастает при  1x ;  , а так как знаменатель дроби тоже x    следует,   что     и  1 xf  xf x 1   2 2 22 0  x  1 x x  x 1  0 121 xx 2 б) Если   , значит, числитель дроби – отрицательное   число,   знаменатель   дроби –   положительное   число   и   дробь   отрицательна. Значит, на промежутке   функция убывает. , то есть   , то   1;0 ,   2 xx 0121 x  x П р и м е р  3. Вычислить характер монотонности функции 2 y I способ. Раскроем модуль по определению: 2 . y       x  ,2   если ,2 x  если 2  ,2 ,4  ,2 если   x x  x .2 Ясно, что у = 4 – постоянная функция.  Остается   выяснить   поведение   функций   2 .   Это   можно   сделать   по определению  возрастания и убывания (см. пример 1) или можно вспомнить, что линейная функция при   возрастает, а при   убывает.    и   0k 2 x y x y 2;   и возрастает на  ;2 . 0k  y x x 2  убывает на промежутке  О т в е т:  II способ.  Построим график линейного сплайна (см. рис. 2). 2 Рис. 2 x y –3 6 –2 4 2 4 3 6 О т в е т: у возрастает при  2x ; у убывает при  2x . y  2 x 4 x  7 2;x  2; П р и м е р  4. Найдите функцию, обратную функции  Р е ш е н и е: На промежутке  Ребята легко проверяют это самостоятельно. Для получения формулы функции, обратной данной, заменим переменную х на у, у на х в аналогическом задании функции и из полученной формулы выразим у:  y 2  данная функция убывает.   0   , где   2  7 7 y y  . y x 4 4 ,  x Решим квадратное уравнение относительно у.  D 74 x 1  y 2 x x 3 3 . . 23 Для того чтобы выбрать знак перед радикалом, обратим внимание на область определения ; по определению обратной функции, этот промежуток – 2; данной в задании функции   множество значений искомой функции, значит  y  2 x  3 . Заметим, что нам легко найти множество значений первоначальной функции. Для этого  ;3:yD   . Значит, таково множество значений найдем область определения   данной функции.  y  2 x  3 ,   ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ Цели:  ввести  понятие  “ограниченность  функций”,  “наибольшее  и  наименьшее  значения функций”;   учить   осуществлять   эвристические   пробы   по   нахождению   множества   значений функции.  Х о д   з а н я т и я У ч и т е л ь. Рассмотрим рис. 1  y  2 2 x x 2   3 1 На нем изображен график функции  График   этой   функции   полностью   заключен . Для всех значений  2   Rxx   выполняеся условие  между прямыми  y = –3 и   аргумента  .(*)  2y  xf 3 . Очевидно,   что   неравенство   (*)   легко   можно заменить –3    f(x)    3 или – 4    f(x)    4. Все они будут верными. Тогда легко понять определение. Рис. 1 О п р е д е л е н и е.  Функция  f, называется ограниченной на множестве  X, если существует таое число c > 0, что для любого значения аргумента  xX  выполняется равенство |f(x)|  c.  xf   x 3  13 x  ограниченная, для всех  1x , так как   1xf  . 2  x 4 ,   значит,   0 y 2 ,     в   силу   возрастания Например, функция  2  4 x y  тоже ограниченная.  4   и    2 2 ,   то   есть   x 2  x 0 Функция    :yD 4   функции у. множестве.  Если функция не ограничена на множестве Х, то она называется неограниченной на этом y 3  x 4 Например,  Можно   рассматривать   функции,   ограниченные   снизу   или   сверху.   Например,   функция x  – неограниченная функция, это легко видно графически.   ограничена снизу. Очевидно, что для всех х, отличных от 0, значения этой функции y  1 x положительны. А функция  y   x  4 2   ограничена только сверху и неограничена снизу. 24 С   понятием   ограниченности   находится   рядом   понятие   “наибольшее   или   наименьшее значение функции”.  О п р е д е л е н и е. Если функция f на множестве X имеет наименьшее значении, то это означает, что на множестве X найдется такое х = а, что при всех xX выполняется неравенство f(а)  f(x). О п р е д е л е н и е. Если функция f на множестве X имеет наибольшее значении, то это означает, что найдется такое х = а, что при всех xX выполняется неравенство f(а)  f(x). Очевидно,   что   если   функция   имеет   наибольшее   или   наименьшее   значение,   то   она ограничена. Обратное утверждение неверно. Например, функция  снизу. Но наименьшего значения она не имеет.  Докажем это. Допустим противное, то есть что найдется такое  1  a af  для всех   такое,   что   функции. Значит, наименьшего значения эта функция не имеет.  .   Что   противоречит   условию,   так   как    ;0  x  af  . Рассмотрим   x  ,   a   xf . Тогда   1a  af  1  x y 1 x  при  0x  ограничена a  ;0  , что   af    xf 1 a  1 , то есть нашлось  х  –   наименьшее   значение П р и м е р  1. Доказать, что  функции.  xf   2 x 2  x 1  ограниченная. Найдем множество значений этой I способ. Очевидно, что эта функция возрастающая, значит обратима. Найдем обратную функцию и область ее определения – множество значений данной функции  1  y 2 x  1 x .  Область   ее   определения    0;1    1;0 ,   значит,   значения   функции   превосходят по модулю 1, то есть функция f ограничена .   xf   2 x 2  x 1   не З а м е ч а н и е. Ясно, что f(0) = 0, то есть 0 тоже входит во множество значений функции f. Обратная функция на самом деле имеет вид:   при x  ,0  при x  ,0 2 2  x 1 x 1 x  при x  y  0 x  .0 1  1  y            Очевидно, что это решение довольно трудное. Возможно, легче будет другой способ.  II способ. Пусть   Rb   – произвольное значение  f.  Это число является значением функции  f, если уравнение    b  xf    имеет корни. Решим его.   2 2 x  b 1 x 2 bx  2 b x . При   0b   2 x 0 , то есть ,   25 уравнение   имеет   корень,   равный   0.   При   2  b 0 1  1 ,  12 b ,  Значит, при   1b 1;1b  функция ограничена.  ,  0b   уравнение   квадратное,  D  =   1   – . b   уравнение имеет корни, то есть область значений функции   1;1   – П р и м е р  2. Исследуйте на ограниченность  Раскроем модуль по определению:  y  x 4 x 4 . y        8 2 x x   при ,4 2  x4 при ,4  при .4 x  x Ясно, что функция ограничена снизу.  Можно было построить график линейного сплайна и увидеть это.  ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ  ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ СПОСОБАМИ Цели:  составить   схему   исследования   функции,   исследовать   по   схеме   элементарные функции.  Х о д   з а н я т и я У ч и т е л ь. В младших классах мы легко читали информацию по графику функции. Сейчас добавился ряд свойств, которые также хорошо видны на графике, то есть он дает наиболее   наглядное   представление   о   функции.   Но   если   функция   задана   таблицей   или аналитически, то построить график труднее. Надо провести ее исследование. В процессе эвристической беседы составляется схема исследования функции. Схема исследования функции 1)   Найти   область   определения   функции.   Если   она   явно   не   указана,   то   речь   идет   о допустимых значениях независимой переменной в данной формуле.  2) Выяснить четность (нечетность) функции. Достаточно исследовать ее при  0x  в случае положительного ответа.  3) Найти множество значений функции.  4) Найти нули функции и промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.  5) Найти промежутки возрастания и убывания функции.  6) Можно выяснить поведение функции при стремлении х к   . Для этого надо знать, является ли функция непрерывной. По этому поводу есть несколько утверждений: Функция  y   xf  xf , где   – многочлен, является непрерывной функцией на всей области ее определения, то есть на множестве R.  26  x     xf xg   xf  xg   и   График функции   которых   многочлен   функция  непрерывна на множестве R. , где   xg    обращается   в   нуль.   Если   многочлен     – многочлены имеет разрывы в точках, в   не   имеет   корней,   то  xg П р и м е р. Исследовать функцию  1)  2) Так как область определения симметрична относительно нуля, проверим функцию на  не обращается в нуль ни при каком х.  fD  , так как   R 12 x .  xf   1 2  x 1 четность и нечетность.   f  x  1  2 x    1  1 2  x 1  – четная.  3) Найдем множество значений.  1 x 2 1  1   0xf x 012 , то  , но  Так как  Значит, 1 – наибольшее значение функции.  Наименьшего значения у функции нет.  Функция ограничена.  4) Так как   0xf  , значит  1;0fE    .  , то нулей нет и функция положительна при любом значении х.  0x   y 12 x   возрастает, тогда функция    xf   1 y 1 2  x 1   убывает при 0x 5) Ясно, что при   .  Значит, при  6) Если  0x x  наша функция убывает, а в силу четности при   функция возрастает. , то знаменатель функции тоже стремится к   , а значит, функция будет 0x принимать очень маленькие значения, то есть стремиться к 0.  Проведенное исследование поможет легко построить и график функции. Но такая задача на этом занятии не стоит.                       ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Цели:  показать   практическое   применение   предварительного   исследования   функций, заданных   формулами   для   наглядного   представления   их   с   помощью   графиков   и   более подробного исследования с его помощью.  Х о д  з а н я т и я Ясно, что исследование функции по схеме дает о ней некоторое представление, но часто кажется   ребятам   просто   гимнастикой   ума.   Поэтому   на   этом   занятии   надо   научить   их применять исследование для построения графика.  12  x  xf  x  . П р и м е р   1. Пусть дана функция  Исследуем ее. 0; 1)    fD ;0     . : 27  f  x   x 12  x   xf .    fE 2) Функция нечетная, так как  3)  4) Нулей нет. При   ;2 0x  .   0xf 2;   :   .  xf 2    xf 1   x 2 2 x  1  2    1 x 2  1 x 1     x 2   x 1  2 x 1 1  x 1  x 1 xx 21    x 2   x 1       x 2    1  1 xx 21    . 5) Пусть  1 x 2  х 2 , тогда    x 1   x 1  x 2 x 2  x 1  0 1 x 1 1;0 2 2 , , xx 1 1 xx    ;1  это произведение отрицательно.   это произведение положительно.   и возрастает на    При  При  Значит, функция убывает на  6) Если  Если  Исходя из этих данных, можно построить график функции  Возьмем дополнительные точки:    1;0   xf , то    xf  и  0x ;1 x 0x 0x , то   и  .  . . y   xf  (см. рис.1).  х у 1 4 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 4 4 1 4 Вторая ветвь графика получается с помощью симметрией относительно начала координат, в силу нечетности функции. Очевидно, что график дает возможность добавить некоторые свойства функции.  Определение.   Точка   0x   из   области   определения   функции  f  называется  точкой 0x , что для всех  0x x  максимума этой функции, если существует такая окрестность точки  из этой окрестности   0xf  xf   . Окрестностью точки   пложительное число.  Рис. 1 0x   называется отрезок   x 0  ; xa 0 a  , где  а  – некоторое маленькое О п р е д е л е н и е. Точка x0 из области определения функции f называется  точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки x0, что для всех х  x0 из этой окрестности f(x) > f(x0). 28 Заметим, что точки   1x   и   1x 5,0a значит  , тогда окрестность точки 1 – отрезок  1x  – точка минимума. Аналогично,  5,1;5,0 1x   полностью удовлетворяют этим определениям. Пусть  1f , ; для всех точек этого отрезка   xf    – точка максимума функции.  Точки максимума и минимума называются  точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции. Заметим, что при     график приближается к оси ординат, а при   0x x   и   x график приближается к прямой у = х. Эти прямые называются асимптотами графика функции.  О п р е д е л е н и е. Асимптотой называется прямая линия, к которой неограниченно приближается   график   функции   по   мере   удаления   его   от   начала   координат   в бесконечность.  П р и м е р  2. Построить график функции  Исследуем функцию по схеме. y   x 1  21  2 x  x  .   :yD 1)  1 2      1 2 2;     ;2 .     ;  1x 2 2x Точки  2) Ввиду несимметричности области определения функция не может быть ни четной, ни  – точки разрыва.   и  нечетной.   yE 3)   найти довольно трудно. Пусть b – некоторое значение функции. Найдем, для каких b функция существует.   b  x 1      x x 21 2  2  x bx bx 2 51 b 2     0     2 b 51 x 2 2 bx b 1  2  1    91  9    2 9 b 2 b    D b  Значит,  0y 4)    R yE  . 1x  при  . 8 81     0  для любого b.  Для   определения   промежутков   знакопостоянства   решим   неравенство    2 x  0y   при   x    ;  1 2    2;1x    и     и   соответственно   0y   при   получим,   что    ;2  x . 5) Рассмотрим  y 2  y 1 x   1 2   21  2 x 2   x 2  2 x 1  1 x 1   21    x  1 x  21    x  x   0 ; 1 2 1;      и 29   2 x 2    x 2  21   27 x 1    21 x 1 положительна при    2 x 1  1 x xx 21 x x  . Значит, функция возрастает на каждом интервале.   на каждом из интервалов     ;  ;  1 2 1 2 2;          ;  2 2 ;2 . Эта разность 6)   При   x   0y ,   при   1x 2   слева   y , 1x 2 y  справа   аналогично. Исходя из полученного   исследования,   построим   график   (см. рис.2).  , при  2x Добавим, глядя на график, что прямые  2x являются   вертикальными   асимптотами   графика функции.   и  1x 2 Рис. 2 Эта функция не имеет экстремумов.  ФУНКЦИОНАЛЬНО­ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД  РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Цели:  закрепить знания и умения по исследованию функций и построению графиков в практической ситуации при решении уравнений.  Х о д   з а н я т и я Ребята   должны   понять,   что   исследование   функций   и   построение   графиков   порой существенно   облегчает   решение   уравнений,   позволяет   определить   число   корней,   угадать значения корня.  У   ч   и   т   е   л   ь.   Для   того   чтобы   решить   уравнение   с   одним   неизвестным   графическим способом, нужно, перенося все его члены в левую часть, представить это уравнение в виде   0xf .   Абсциссы   точек пересечения или касания этого графика с осью  х  равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.  .   После   этого   необходимо   построить   график   функции    xf y  В   ряде   случаев   при   решении   уравнений   с   одним   неизвестным   целесообразней   и воспользоваться другим способом. Для этого уравнения записывается в виде    1  xf  xf  2 y y        , xf 1   , xf 2 заменяется   системой   касания графиков f1(x) и f2(x)  равны корням исходного уравнения.    решаемой   графически.   Абсциссы   точек   пересечения   или В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие­либо свойства функций.  Если,   например,   одна   из   функций     возрастает,   а   другая   убывает,   то  либо не имеет корней, либо имеет один корень, который иногда можно уравнение  угадать. Или другая разновидность функционально­графического метода: если на промежутке  xf   xg ,    y   xf y   xg 30 Х  наибольшее значение одной из функций   y   xf ,   y   xg   равно  А  и наименьшее значение xg   равносильно системе       xf   xg  A  A .  xf  другой функции тоже равно А, то уравнение   3  x 1 x 3 П р и м е р  1. Решить уравнение  Изобразим   в   одной   системе   координат   (см.   рис.   107)   графики   функций    3 x . y 2 . Графики пересеклись в точке (–1; 2). Следовательно, корень данного уравнения  1x .  1 1 x y 3   и П р и м е р  2. Решить уравнение  x 7 Перепишем уравнение в виде   y    возрастает на  R, а   1 x . Очевидно, что   2 y уравнения. А в силу того, что   корней нет.  7 Рис. 107   x 5 12 x 0 .  x  5 12 7 П р и м е р  3. Решить уравнение  y Наименьшее значение функции   1 2   x  21 x x  1 . также равно 0.  1x   является корнем данного   x 5 12   убывает на  R, других  равно 0, наибольшее значение функции  y  x 1       x  x 2   1 ,0 2  1 .0 1x Значит, уравнение равносильно системе  Отсюда  П р и м е р  4. (ЕГЭ). Нечетная   функция    – корень уравнения.   xf y    определена   на   всей   числовой   прямой.   Для   всякого неположительного   значения   переменной  х  значение   этой   функции   совпадает   со   значением функции  . Сколько корней имеет уравнение   0xf    22  51  xg  xx 3 ? x x    Р е ш е н и е.   0xg Ясно, что  В силу нечетности    при   xf 0x 1x ,  ,  .    будет равна 0 в точках   ,  5,1x 2x 5 симметричен относительно начала координат. То есть уравнение   имеет 3 корня.  0x ,   1x 1x   и     0xf , так как ее график 31 Список литературы Для учащихся 1. 2. 3. 4. Бельфор В.М. Беседы об элементарной математике и нетолько. Ч.  1.Элементарные функции. СПб: МАФО, 2005 Гельфанд И.М. и др. Функции и графики. – М.: Наука, 2004. Доброва, О. Н. Задания по алгебре и математическому анализу: Пособие для учащихся 9–11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение,  1996. – 352 с.: ил. ISBN 5­09­007091­1. Дорофеев,   Г.   В.,   Муравин,   Г.   К.,   Седова,   Е.   А.  Математика.   11 кл. Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими комментариями. – М.: Дрофа, 2000. – 352 с.: ил. – Библиотека учителя, ISBN 5­7107­3407­1. 5. Швецова Е.В. Дидактические материалы для учащихся 10­11 классов Для учителя 1. Гурский И.П. Функции и построение графиков. – М.:Просвещение, 2002. 2. Дорофеев,   Г.   В.,   Муравин,   Г.   К.,   Седова,   Е.   А.  Математика.   11 кл. Подготовка   к   письменному   экзамену   за   курс   средней   школы.   Решение задач с методическими комментариями. – М.: Дрофа, 2000. – 352 с.: ил. – Библиотека учителя, ISBN 5­7107­3407­1.  Митбрейт Ю.Б. Абитуриенту. Построение графиков. СПб: Нева­Визит, 2004. 3. 4. Шахмейстер   А.Х.   Построение   графиков   функций   элементарными методами. – СПб: ЧеРо­на­Неве, 2004. 32