Программные средства визуализации решений задач теории групп

Программные средства визуализации решений задач теории групп В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей   алгебры,   имеющей   многочисленные   приложения   как   в   самой математике, так и за ее пределами ­ в топологии, теории функций, квантовой механике и других областях математики и естествознания.   Одной   из   известных   реализаций   алгоритмов   вычислительной   теории групп   является   система   GAP.   Разработка   системы   компьютерной   алгебры GAP   (название   которой   расшифровывается   как   "Groups,   Algorithms   and Programming", была начата в 1986 г. в г. Аахен, Германия. В 1997 г. центр координации   разработки   и   технической   поддержки   пользователей переместился в Университет г. Сент­Эндрюс, Шотландия. В настоящее время GAP является уникальным всемирным совместным научным проектом, объединяющим специалистов в области алгебры, теории чисел, математической логики, информатики и др. наук из различных стран мира[2].  Изначально   система   GAP   разрабатывалась   под   Unix,   а   затем   была импортирована для работы в других операционных системах. В настоящее время она работает в разнообразных версиях. Система   GAP   была   задумана   как   инструмент   комбинаторной   теории групп   ­   раздела   алгебры,   изучающего   группы,   заданные   порождающими элементами   и   определяющими   соотношениями.   В   дальнейшем,   с   выходом каждой новой версии системы сфера ее применения охватывала все новые и новые разделы алгебры. В разнообразии областей алгебры, охватываемых GAP сегодня,   можно   убедиться,   даже   только   лишь   прочитав   названия   разделов обширнейшей   документации   по   системе,   занимающей   около   1500   страниц. Вычислительная   мощь   системы   может   быть   продемонстрирована находящимся на ее сайте примером определения того, что кубик Рубик имеет 43252003274489856000   различных   состояний,   и   сборки   кубика   Рубика   из произвольного   начального   состояния   в   среднем   за   100   ходов,   дает возможность   производить   вычисления   с   гигантскими   целыми   и рациональными числами, допустимые значения которых ограничены только объемом   доступной   памяти.   Далее,   система   работает   с   циклотомическими полями, конечными полями, p­адическими числами, многочленами от многих   векторами   и   матрицами. переменных, Пользователю   доступны   различные   комбинаторные   функции,   элементарные   рациональными   функциями, теоретико­числовые   функции,   разнообразные   функции   для   работы   с множествами и списками. Язык программирования Символы   и   категории   слов   в   GAP.   GAP   воспринимает   следующие символы:   цифры,   буквы   (верхний   и   нижний   регистры),   пробел,   символы табуляции и новой строки, а также специальные символы. " . { ' / \ ( : ] ) ; ^ * < _ + = { , > } – ~ # Составленные из символов слова относятся к следующим категориям:   ключевые   слова   (зарезервированные   последовательности   букв идентификаторы (последовательности цифр и букв, содержащие нижнего регистра);    не менее одной буквы и не являющиеся ключевым словом);  строки (последовательности произвольных символов, заключенная в двойные кавычки);    целые числа (последовательности цифр);  операторы и ограничители в соответствии со следующим списком  + – * / ^ ~ 2 = := [ <> . ] < . . { <= –> } > , ( >= ; ) Ключевые слова: and for not until do function od while elif if or quit else in end local repeat return fi mod then Идентификаторы   состоят   из   букв,   цифр,   символов   «_»,   и   должны содержать не менее одной буквы или символа «_». При этом регистр является существенным. Примеры идентификаторов:  A Hello 100x _100 LongIdentifier HELLO Открытая   для   пользователей   система   GAP   создавалась   на   основе подстановочного   представления   группы.   Кроме   большого   количества запрограммированных   алгоритмов,   позволяющих   строить   списки   групп   с нужными   пользователю   свойствами,   система   GAP   содержит   и   готовые таблицы групп. Приведём   список   некоторых   групп   из   библиотеки   системы   GAP   с указанными   в   скобках   командами   обращения   к   этим   группам,   причём параметр filt в этих командах определяет способ задания группы. Например, при filt=IsPermGroup получаем подстановочное представление группы, а при filt = IsMatrixGroup — её линейное представление. Циклическая группа порядка n (CyclicGroup( [filt, ]n )); 3 Абелева   группа,   разложимая   в   прямую   сумму   групп   порядков натуральных   чисел   для   ints[1],ints[2],...,ints[n] списка  ints  (AbelianGroup( [filt,]ints )); Группа диэдра порядка n (DihedralGroup( [filt, ]n )); Знакопеременная группа степени deg (AlternatingGroup( [filt, ]deg )); Симметрическая группа степени deg (SymmetricGroup( [filt, ]deg )); Группа Матье степени degree (MathieuGroup( [filt, ]degree )); Общая   линейная   группа   обратимых  d  ×  d  матриц   над   кольцом  R (GL([filt, ]d, R )); Общая линейная группа обратимых d × d матриц над конечным полем из q элементов (GL( [filt, ]d, q )); Специальная линейная группа обратимых  d  ×  d  матриц над кольцом  R (SL( [filt, ]d, R )); Специальная линейная группа обратимых  d  ×  d  матриц с единичным определителем над конечным полем из q элементов (SL( [filt, ]d, q )); Проективная специальная линейная группа, изоморфная фактор­группе группы SL(d, q) по её центру (PSL( [filt, ]d, q )); Группы имеют широкое распространение в математике и встречаются обычно   в   виде   групп   преобразований   [3].   Всякая   абстрактная   группа реализуется как группа преобразований. Для изучения внутреннего строения группы часто удобнее другой универсальный способ описания произвольной группы,   состоящий   в   задании   порождающих   элементов   и   основных (определяющих) соотношений между ними [5]. Задача   1.  Симметрическая   группа     имеет,   кроме   себя   самой   и 4 единичной подгруппы, лишь следующие нормальные подгруппы[1]: а) знакопеременную группу U ; 4 б) «четверную группу Клейна», состоящую из подстановок: 4 (1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3). Последняя группа абелева. c:=SymmetricGroup(4); Sym( [ 1 .. 4 ] ) gap> NormalSubgroups(c); [ Group(()), Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]), Group([ (2,4,3), (1,4)(2,3), (1,3) (2,4) ]), Sym( [ 1 .. 4 ] ) ] gap>   z:=Group([(2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3)(2,4)]);   Group([   (2,4,3),   (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]) gap> IsAbelian(z); false gap> x:=Group([(1,4)(2,3),(1,3)(2,4)]); Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]) gap> IsAbelian(x); true Задача 2. Найти число Силовских 5­подгрупп в  [4]. 5A gap> S:= SymmetricGroup(5); Sym( [ 1 … 5 ] )  gap> A5:= CommutatorSubgroup(S, S); Group( [ ( 1, 2, 3), (2, 3, 4), (2, 4) (3, 5) ] ) # задание исходной группы gap> P5:=SylowSubgroup(A5,5); Group( [ ( 1, 5, 4, 3, 2) ] ) # по второй теореме   Силова   все   Силовские   р­подгруппы   сопряжены,   то   функция SylowSubgroup  возвращает   только   одну   подгруппу,   которая   является представителем некоторого класса сопряженных подгрупп gap> C5:=ConjugasyClassSubgroups(A, P5); Group( [ ( 1, 5, 4, 3, 2) ] )^G # чтобы получить остальные подгруппы из этого класса, сначала нужно создать класс сопряженных подгрупп данной группы с заданным представителем, а затем получить список содержащихся в нем подгрупп  gap> L5:= AsList(C5); [ Group( [ ( 1, 5, 4, 3, 2) ] ), Group( [ ( 1, 3, 5, 4, 2) ] ), Group( [ ( 1, 4, 3, 5, 2) ] ), Group( [ ( 1, 4, 5, 2, 3) ] ), Group( [ ( 1, 5, 2, 4, 3) ] ), Group( [ ( 1, 5, 3, 2, 4) ] ) gap> H:= Length(L5); 6 5 6 Список источников: 1 Ван дер Варден, Б.Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден – М.: Наука, 1976. ­ 623 с. 2 Кормилицына,   Т.   В.   Решение   задач   теории   групп   в   системе компьютерной   алгебры  GAP  /   Т.   В.   Кормилицына,   С.   М.   Миронова   // Организация проблемного обучения в школе и вузе / Межвузовский сборник научно­методических трудов. Вып. 3 / Мордов. гос. пед. ин­т – Саранск, 2008. – С. 147 – 149. 3 Кормилицына,   Т.   В.   Преобразование   симметрии   и   дискретно­ групповой   анализ   обыкновенных   дифференциальных   уравнений   /   Т.   В. Кормилицына   //   Технические   и   естественные   науки:   проблемы,   теория, эксперимент: межвуз. сб. науч. тр. / Мордов. гос. университет. – Саранск, 2002. – С. 125 – 128. 4 Кострикин,   А.И.   Введение   в   алгебру.   Часть   III/   Основные структуры / А. И. Кострикин – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004 – 495 с.  5 Ларин, С. В. Лекции по теории групп / – Красноярск.: 1994 7