Программные средства визуализации решений задач теории групп

Программные средства визуализации решений задач теории групп Муратова М. МДМ 112

СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ G – Groups  (Группы)      A – Algorithms (Алгоритмы) P – Programming (Программирование) Основные центры разработки системы Университет г.Сент-Эндрюс Университет штата Колорадо Шотландия США   Ахен, Брауншвейг  (Германия)

Что такое GAP ? Система компьютерной алгебры,  спроектированная в 1985 году  как инструмент комбинаторной  теории групп – раздела алгебры,  изучающего группы, заданные  порождающими элементами и  определяющими  соотношениями

Символы: ' / \ ( : ] ) ; ^ * <  _ + = { , >  } – ~ # Операторы и ограничители  – <>  . ] * <  . . { / <= –> } ^ >  , ( ~ >= ; ) " . { + = := [

Ключевые слова: elif if or quit do function od while and for not until else in repeat   end local return   fi mod then   Идентификаторы  состоят  из  букв,  цифр,  символов  «_»,  и  должны содержать не менее одной  буквы  или  символа  «_».  При  этом  регистр  является  существенным.  Примеры идентификаторов:  A Hello 100x _100 LongIdentifier HELLO

• Список некоторых групп из библиотеки системы GAP с указанными в скобках командами обращения к этим группам, причём параметр filt в этих командах определяет способ задания группы. Например, при filt=IsPermGroup получаем подстановочное представление группы, а при filt = IsMatrixGroup — её линейное представление. • Циклическая группа порядка n (CyclicGroup( [filt, ]n )); • Абелева группа, разложимая в прямую сумму групп порядков degree )); ints[1],ints[2],...,ints[n] для списка ints натуральных чисел (AbelianGroup( [filt,]ints )); • Группа диэдра порядка n (DihedralGroup( [filt, ]n )); • Знакопеременная группа степени deg (AlternatingGroup( [filt,]deg )); • Симметрическая группа степени deg (SymmetricGroup( [filt, ]deg )); • Группа Матье степени degree (MathieuGroup( [filt, ]

• Общая линейная группа обратимых d × d матриц над кольцом R (GL([filt, ]d, R )); • Общая линейная группа обратимых d × d матриц над конечным полем из q элементов (GL( [filt, ]d, q )); • Специальная линейная группа обратимых d × d матриц над кольцом R (SL( [filt, ]d, R )); • Специальная линейная группа обратимых d × d матриц с единичным определителем над конечным полем из q элементов (SL( [filt, ]d, q )); • Проективная специальная линейная группа, изоморфная фактор-группе группы SL(d, q) по её центру (PSL( [filt, ]d, q ));

GAP как калькулятор: • gap> (9 - 7) * (5 + 6); • 22 • gap> 2^64; • 18446744073709551616

Разложение целого числа на множители • gap> FactorsInt(2^200-1); • [3, 5, 5, 5, 11, 17, 31, 41, 101, 251, 401, 601, 1801, • 4051, 8101, 61681, 268501, 340801, 2787601, 3173389601]

Работа с матрицами: • Зададим матрицу А: • gap> A:=[[1,2,3,4],[4,2,1,5],[-1,10,0,0],[2,- 4,7,0]];; • Для ее удобочитаемого вывода на экран применяется команда Display: • gap> Display(A); • [ [ 1, 2, 3, 4 ], • [ 4, 2, 1, 5 ], • [ -1, 10, 0, 0 ], • [ 2, -4, 7, 0 ] ] • Вычислим определитель этой матрицы: • gap> DeterminantMat(A); • -932

Симметрическая группа имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь следующие нормальные подгруппы: а) знакопеременную группу U _4; б) «четверную группу Клейна». Последняя группа абелева.

Найти число Силовских 5-   подгрупп в .