Производная. Промежуточная аттестация.

Задания для подготовки к промежуточной аттестации по математике 11 класс Учебник и задачник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс §27-32 Физический смысл производной 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с. 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.   3. Материальная   точка   движется   прямолинейно   по   закону   (где   x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени     с. 4. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?   5. Материальная   точка   движется   прямолинейно   по   закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?     6. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s. Определите,   сколько   раз   за   время   движения   скорость   точки M обращалась   в   ноль   (начало   и   конец движения не учитывайте). 1 6 0 2 2 0 3 5 9 4 5 6 8 7 6 Геометрический смысл производной, касательная 1.  На   рисунке   изображен   график функции y = f(x),   определенной   на   интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней. 2. На рисунке изображен график  производной функции f(x), определенной  на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней. 3.  На   рисунке   изображён   график   функции y=f(x) и   касательная   к   нему   в   точке   с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 4.  На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 5.  На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 6. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.   7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −6.   8.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 9.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 10.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 11. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8). 12.  На   рисунке   изображен   график   производной   функции абсциссу точки, в которой касательная к графику  ней.  параллельна прямой   Найдите  или совпадает с 13.  На   рисунке   изображен   график   производной   функции  Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику   параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. 14. Прямая  точки касания.   15. Прямая   параллельна касательной к графику функции   Найдите абсциссу  является   касательной   к   графику   функции  Найдите абсциссу точки касания. 16. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a. 17. Прямая   является касательной к графику функции   Найдите    18. Прямая   является   касательной   к   графику   функции   Найдите  , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. 19. На   рисунке   изображен   график   производной   функции f(x).   Найдите   абсциссу   точки,   в   которой   касательная   к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней. 1 2 3 4 4 5 2 - 0,2 5 5 - 0, 5 6 7 8 9 10 11 5 7 0,2 5 - 2 1,2 5 - 0,2 5 1 2 5 1 1 3 4 -3 0, 5 16 1 5 -1 0,12 5 1 7 7 18 1 9 5 - 33 Применение производной к исследованию функций 1. На рисунке изображен график производной функции  , определенной на интервале  Найдите промежутки возрастания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 2. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 3.  На   рисунке   изображен   график функции  интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  4. На   рисунке   изображен   график   функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). 5. На   рисунке   изображён   график   y=f'(x)   — производной функции f(x), определенной на интервале (­8; 3). В какой точке отрезка [­3; 2 ] функция f(x) принимает наибольшее значение?   ,   определенной   на  отрицательна. 6.  На   рисунке   изображен   график   производной   функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?     7. На рисунке изображен график  производной функции f(x), определенной  на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. 8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1]. 9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. 10. На рисунке изображен график  производной функции f(x), определенной  на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 11.  На   рисунке   изображен   график   производной   функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 12. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 13. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 14.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6]. 15.  На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x)равна 0. 16. На рисунке изображён график   ­ производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?     17. На рисунке изображён график   производной функции   и восемь точек на оси абсцисс:        ,  В скольких из этих точек функция   убывает? 18. На рисунке изображен график функции   и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 19. На рисунке изображён график функции у = f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x). 20. На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? 21.  Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если  f (−5) ≥ f (5). 22.  Функция   определена   на   промежутке  рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция  наибольшее значение.  На принимает 23. На рисунке изображён график функции   и восемь точек на оси абсцисс:  ,  ,  ,  ,   В скольких из этих точек производная функции   положительна? 24. На рисунке изображён график функции  В скольких из этих точек производная функции   и двенадцать точек на оси абсцисс:  ,  ,  ,  ,     отрицательна?   25. На рисунке изображен график функции   и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 2 3 4 1 14 4 7 44 -3 -7 1 1 5 -3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -2 18 6 5 6 3 -2 4 6 4 4 5 3 5 9 3 7 Анализ графиков  1. На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках.     Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.   ТОЧКИ   ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ А) K Б) L В) M Г) N   1) −4 2) 3 3)  4) −0,5   Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  А Б В Г           ОТВЕТ: 2143                                                  2. На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.     Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.   ТОЧКИ А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)     ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 1) производная отрицательна на всём интервале 2) производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала 3) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала 4) производная положительна на всём интервале   Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  А Б В Г       ОТВЕТ: 2134                                                       4. На   рисунке   изображён   график   функции y = f(x) и   отмечены   точки K, L, M и N на   оси x.   Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной. Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.   ТОЧКИ А) K Б) L В) M Г) N       ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ 1) функция положительна, производная положительна 2) функция отрицательна, производная отрицательна 3) функция положительна, производная равна 0 4) функция отрицательна, производная положительна В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.  А Б В Г       ОТВЕТ: 4321                                                      5. На рисунке изображён график функции y = f(x) . Точки a, b, c, d и e задают на оси Oxинтервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.         ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)     ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) Значения функции положительны в каждой точке интервала. 2) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала. 3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала. 4) Значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала. Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  А Б В Г ОТВЕТ: 1432                                                 6. На   рисунке   изображены   график   функции   и   касательные,   проведённые   к   нему   в   точках   с абсциссами A, B, C и D. В   правом   столбце   указаны   значения   производной   функции   в   точках A, B, C и D.   Пользуясь   графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.   ТОЧКИ A B C D     1) − 1,5 2) 0,5 3) 2 4) − 0,3 ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ     Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  A B C D       ОТВЕТ: 3412                                                          7. Установите соответствие между графиками линейных функций и угловыми коэффициентами прямых. ГРАФИКИ   УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ   1)  2)  3)  4) 1 Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: A Б В Г       ОТВЕТ: 2341