Промежуточная аттестация, математика, 10 класс

Пояснительная записка Цель проверки: выявление фактического уровня теоретических знаний по  математике, их практических умений и навыков; соотнесение этого уровня с  требованиями уровня государственного образовательного стандарта. Время выполнения работы 120  минут Контрольная работа состоит из 17 заданий, которые разбиты на 2 части Часть первая содержит 14 заданий базового уровня. В первой части предусмотрены следующие формы ответов: с кратким ответом, задачи на соответствия. Правильное  выполнение каждого задания оценивается 1 баллом. Часть вторая содержит 3 задания повышенного уровня сложности с развернутым  ответом. Задания второй части решаются на отдельном листе и  считаются выполненными верно, если из письменной записи решения понятен ход рассуждений, получен верный  ответ. Правильное выполнение каждого задания оценивается 2 баллами или 1 баллом,  если в решении допущена ошибка, не носящая принципиального характера и не влияющая  на общую правильность хода решения или выполнен, верно, пункт а).  Максимальный балл за выполнение экзаменационной работы ­ 20.  Для успешного прохождения промежуточной аттестации необходимо набрать не менее 7  баллов На экзамене можно пользоваться справочным материалом. Шкала оценок:  оценка «2» ­ 0 – 6 баллов  оценка «3» ­ 7 – 11 баллов   оценка  «4» ­ 12 – 15  баллов   оценка  «5» ­ 16 ­ 20 Ф.И.О_________________________________________________ ___   Класс ________ ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ, 10 КЛАСС Вариант 1 Часть 1 Ответы к заданиям 1­14 записываются в виде числа или последовательности цифр 1. Найдите значение выражения:    7 2∗5 4 − 3 8                Ответ:_________________        83 24 :22 2. Найдите значение выражения:          Ответ:_________________ 3. В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 30%. Сколько рублей  стоит 1 кг слив после подорожания в октябре?                   Ответ:_________________ 4. В среднем за день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 6 дней. В пачке 50 пакетиков.  Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни  конференции?   Ответ:_________________ 5. Найдите значение выражения:   (√11−√3)(√11+√3)                     Ответ:_________________ 6. На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На  вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной ­ время в минутах,  прошедшее с начала движения автобуса. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику  движения автобуса на этом интервале.    Интервалы времени Характеристики А)    4 ­ 8 мин  Б)     8 ­ 12 мин В)   12 ­ 16 мин Г)   16 ­ 20 мин 1)  автобус не увеличивал скорость на всём интервале 2)  автобус ни разу не сбрасывал скорость  3)  была остановка длительностью 2 минуты 4)  скорость не больше 40 км/ч на всём интервале, также была  остановка длительностью ровно 1 минута Ответ: в таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.   А Б В Г 7. Найдите значение выражения:    log ¿ (¿636¿) log2¿ ¿ Ответ:_________________ 8. Плоскость, проходящая через три точки А, В и С, разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у многогранника, у которого больше граней?  Ответ:_________________ 9. На прямой отмечено число m и точки A, B, C и  D.  Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые  им соответствуют. Точки A B C D Числа 1)    m ­ 1 2)      m2 3)     4m 4)      ­ 1 m Ответ: в таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.   A B C D 10. В  среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите  вероятность того, что один случайно выбранный для контроля  насос не подтекает. Ответ:_________________ 11.  Найдите  sinα , если  cosα=√21 5 Ответ:_________________   и 00 <  α  < 900 12.   Повар испёк 50 рогаликов, из них 15 штук он посыпал корицей, а 20 рогаликов посыпал  сахаром.  Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1)  Найдется 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны. 2)  Если рогалик посыпан сахаром, то он посыпан и корицей. 3)   Не может оказаться больше 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей. 4)   Найдется 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.   В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других  дополнительных символов. Ответ:_________________ 13.   В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:    за 4 золотых монеты можно получить 5 серебряных и одну медную; за 8 серебряных монет можно получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты.  После нескольких посещений обменного  пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появились 45  медных. На  сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?  Ответ:_________________ 14.  Найдите натуральное число, большее 1640, но меньшее 1930, которое делится на каждую  свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое­ нибудь  одно такое число. Ответ:_________________ Задания 15 ­17 выполните на отдельном листке Часть 2 15.  а)   Решите уравнение:   sin 2x cos(x+π 2)=√3     б)   Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку    ¿                                       16. Решите неравенство  log3 3 x2+ 4 ≥0 1+log39x 17.  В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник ABC  со стороной 5. Ребро CD   перпендикулярно плоскости основания. Точки K, L, M  лежат на на ребрах AD, BD и  AC   соответственно. Известно, что AD = 10,   DK = 4,  CM = 2  и KL ||  AB.   а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью  KLM.   б)  Найдите площадь этого сечения. Ф.И.О_________________________________________________ ___   Класс ________ ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ, 10 КЛАСС Вариант 2 Часть 1 Ответы к заданиям 1­14 записываются в виде числа или последовательности цифр 1. Найдите значение выражения:     8 3∗4 3 −5 9 2. Найдите значение выражения:    Ответ:_________________ 45 26 :22 Ответ:_________________ 3. В школе французский язык изучают 99 учащихся, что составляет 33% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе? Ответ:_________________ 4. В летнем лагере 165 детей и 22 воспитате        ля. В одном автобусе можно перевозить не  более 45 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за  один раз перевести всех из лагеря в город? Ответ:_________________ 5. Найдите значение выражения:   (√17−√5)(√17+√5)   Ответ:_________________ 6. На графике изображена зависимость скорости погружения батискафа от времени. На  вертикальной оси отмечена скорость в м/с, на горизонтальной ­ время в секундах, прошедшее  с начала погружения. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику  погружения батискафа на этом интервале.    Интервалы времени Характеристики А)      60 ­ 120 с  Б)     120 ­ 180 с В)     180 ­ 240 с Г)      240 ­ 300 с 1)  батискаф ровно 15 секунд не менял глубину 2)  скорость погружения не росла на всём интервале 3)  батискаф 15 секунд погружался с постоянной ненулевой  скоростью 4)  скорость погружения была  не меньше 0,1 м/с на всём  интервале Ответ: в таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.   А Б В Г 7. Найдите значение выражения:    log ¿ (¿749¿) log2¿ ¿ Ответ:_________________ 8. От деревянного кубика отпилили все его вершины. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?  Ответ:_________________ 9. На прямой отмечено число m и точки A, B, C и  D.  Установите соответствие между  указанными точками и числами в  правом столбце, которые им  соответствуют.   Точки A B C D Числа 1) √m−1 2)      m2 3)   m ­ 2 3 m 4)      Ответ: в таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.   A B C D 10.   Фабрика выпускает сумки. В среднем из 125 сумок 5 сумок имеют скрытый дефект.   Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без дефектов. Ответ:_________________ 11.   Найдите  cos∝ , если  sinα=3√11 10   и  00 <  α  < 900 Ответ:_________________ 12.  Повар испёк 40 печений, из них 10 печений он посыпал корицей, а 20 печений  посыпал  сахаром. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1)  Найдется 20 печений, посыпанных и сахаром, и корицей. 2)  Найдется 10 печений, которые ничем не посыпаны. 3)   Не может оказаться больше 10 печений, посыпанных и сахаром, и корицей. 4)   Если печенье посыпано сахаром, то оно посыпано и корицей.   В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других  дополнительных символов.     Ответ:_________________ 13.  Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик  получал 7 очков, а за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии  ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик,  набравший 70 очков, если  известно, что, по крайней мере, один раз он ошибся? Ответ:_________________ 14.  Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на  каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите  какое­нибудь  одно такое число. Ответ:_________________ Задания 15 ­ 17  выполните на отдельном листке Часть 2 15.  а)  Решите уравнение:      sin(2x−3π 2 )=sinx     б)   Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку        16.   Решите неравенство:    2log2 x+2 x−3,7 +log2(x−3,7)2≥2 [−3π 2 2] ;−π 17.  Дана правильная четырехугольная пирамида  SABCD, все ребра которой равны.       а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания  перпендикулярно грани SCD. б)  Найдите площадь этого сечения, если каждое ребро данной пирамиды равно 5.  Ответы  математика 10 класс Часть 1 Вариант 1  Вариант 2 Критерии заданий 2 части № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 8 78 8 8 4213 1 10 4123 0,95 0,4 13 35 1824 3 4 300 5 12 1423 1 36 3124 0,96 0,1 23 22 648 Преобразования выполнены,  верно,  получен верный ответ. Решение доведено до конца, но  допущена ошибка или описка  вычислительного характера, с её  учётом дальнейшие шаги  выполнены, верно,  или верно  выполнена только часть а)  Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. 2 1 0 2    Решение заданий 2 части Максимальный балл 15.   а) Решите уравнение:   Вариант 1 sin 2x cos(x+π 2)=√3 Вариант 2 15.  а) Решите уравнение: sin(2x− 3π 2 )−sinx=0     б) Найдите все корни этого уравнения,  принадлежащие промежутку   ¿     а) Преобразуем уравнение: sin 2x 2)=√3   ;              cos(x+π ОДЗ:   sinx≠0;    x≠πn,n∈Z Сократим на  sinx≠0;−2cosx=√3;                    cosx= 2sinx∗cosx −sinx =√3; −√3 2 ;     x=±5π 6 +2πn,n∈Z 2−5 5π 6 +2πn≤4π;5 6 ≤ ; ;       n = 1;   x=5π 6 +2π=17π 6 5π 2 ≤   б)    2n≤4−5 6 ≤n≤19 12 5 6 5π ≤   2 2n≤4+ 5 6 6 +2πn≤4π;5 −5π ; 2 +5 6 ≤ 10 12 ≤n≤29 12 ;       n = 1; 2  б) Найдите все корни этого уравнения,  [−3π 2 2] ;−π 2 )−sinx=0;cos2x−sinx=0; принадлежащие промежутку  а) Преобразуем уравнение: sin(2x−3π    1−2sin2x−sinx=0;    sinx=t;2t2+t−1=0;  t1  = ­ 1,  t2 = 1/2       ;x=π    sinx=−1;x=−π   sinx=1 2   x=5π 6 +2πn,n∈Z.              −3π 2 +2πn≤−π 2 ≤2n≤1 ≤−π 2 −3 2 +1 2 −1≤2n≤0   2−1 2 б)    −1 2       ≤n≤0                  n = 0 2 +2πn,n∈Z;           6 +2πn,n∈Z; x=−5π 6 +2π= 7π 6 <5π 2    не входит в  6 +4π= 19π 6 промежуток;       x=−5π Ответ:   а)  ±5π ;19π 6 17π б)   6 6 +2πn,n∈Z 16. Решите неравенство  log3 3 x2+ 4 ≥0 1+log39x log33−log3x2+ 4 1+log39+log3x 4 ≥0 ≥0    1−2log3x+ 3+log3x 3+log3x−6log3x−2log −2log ¿ 2 x−5log3x +¿7 3 3+log3x ≥0 ¿ 2 4 x+ ¿3 3+log3x≥0 log3x≠−3      x  ≠       log3x=1      x = 3,         3­3 log3x=−3,5        x = 3­3,5                                +    3­3,5      +       3­3           ­            3      +    Ответ:  (0; 3­3,5]      [3; ∞)      [3­3,5; 3­3) −3π 2 x=−π 2 ≤π 6 +2πn≤−π 2 ; 6−1 ≤2n≤1 −3 2 − 1 2 6 ≤2n≤−1 −5 3 −5 6 ≤n≤−1 3  ;   −3π ≤5π 6    n ­ нет  6 +2πn≤−π ; 2 2 6 −1 ≤2n≤−5 −3 2 − 5 ;     2 6 ≤n≤−3 −7 ≤2n≤−9 −14 ;     6 4 6 6 −7π         n = ­1  x = 6   −π 2 +2πn,n∈Z; Ответ:     а) π 6 +2πn,n∈Z      5π 6 +2πn,n∈Z.     б)                        −7π 6 ;           −π ; 2 16. Решите неравенство: 2log2 x+2 x−3,7 +log2(x−3,7)2≥2 x+2 x−3,7 >0 x = -2, x = 3,7 + - + -2 3,7 x < -2 x > 3,7 log2(x+2)2−log2(x−3,7)2+log2(x−3,7)2≥2 log2(x+2)2≥log24          (x + 2)2  ≥  4   x2 + 4x + 4 ­ 4  ≥  0          x(x + 4)  ≥  0         +                     ­                      +                 ­ 4  + ­2                0             3,7  + x < ­ 4,  x > 3,7  Ответ:  (­∞; ­ 4)    (3,7; ∞) B A K M L N Решение плоскостью KLM. AD = 10, DK = 4, CM = 2 и KL || AB. 17. В основании пирамиды DABC лежит Ребро CD перпендикулярно плоскости правильный треугольник ABC со стороной 5. основания. Точки K, L, M лежат на на ребрах AD, BD и AC соответственно. Известно, что а) Постройте сечение пирамиды б) Найдите площадь этого сечения. D а) Проведем MN || AB, KL || AB (по условию), то KL || MN. А через две параллельные прямые можно провести плоскость, значит KLMN - C искомое сечение. б) 1. ∆MNC ~∆ABC: по 2-м углам, ∠С- общий, ∠M = ∠A, как соответственные при MN || AB, а т.к. ∆ABC правильный, то и ∆MNC правильный, CM = MN = CN = 2 2. ∆DKL ~ ∆DAB аналогично, 10 =2 значит *5 = 2 3. KL || AB и KL = AB, то KLMN - параллелограмм. 4. ∆AMK ~ ∆ACD, так как угол при вершине А общий и AK AD=AM 5 . следовательно, MK || CD KL AB=DK DA= 4 5 KL=2 5 AC=3 AB=2 5 (∠AKM = ∠ADC - соответственные углы). Отсюда, MK  ABC, т.к. CD  ABC . Значит, MK  MN, т.е. KLMN - прямоугольник. 5. По теореме Пифагора CD=√AD2−AC2=√102−52 = = 5√3 . MK= 2 CD=3√3 5 6. SKLMN = MK*MN = 3√3∗2=6√3 Ответ: 6√3 17. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания перпендикулярно грани SCD. б) Найдите площадь этого сечения, если каждое ребро данной пирамиды равно 5. Решение S а) Пусть К середина SС. ∆SDC, ∆SBC - равностороннии, то SC  DK и SC  BK (медиана, высота) A Значит, SC  DKB и SC ϵCSD, а B следовательно CSD  DKB. DKB искомое сечение O D C K б) DK = KB = √52−2,52=2,5 √3 DB = √52+52=5√2 OK = 2,5 √¿ 2,5√¿ 3 ¿ 2 ¿ ¿2 ¿ ¿ √¿ SDKB = 0,5*2,5*5 √2 =6,25 √2 Ответ: 6,25√2