Простейшие вероятностные модели

Простейшие
вероятностные модели
Случайные величины

Свойства и характеристикислучайных величин

Генерация псевдослучайных величин

Примеры моделей

Определение термина Случайная величина:

в теории вероятностей, величина, принимающая в зависимости
от случая те или иные значения с определёнными вероятностями

Число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости,
представляет собой случайную величину, принимающую
значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6 каждое

Момент времени, когда происходит распад нестабильного ядра,
представляет собой случайную величину, принимающую
значения на интервале (0, ) с плотностью вероятностей

Случайные величины

Свойства случайных величин

Свойства случайных величин

Дисперсия:

Математическое ожидание:

Плотность вероятности

Равномерное распределение

Экспоненциальное распределение

Дисперсия:

Математическое ожидание:

Плотность вероятности

Вейбулловское распределение

Плотность вероятности

p=3

p=1/3

Нормальное (гауссово) распределение

Дисперсия:

Математическое ожидание:

Плотность вероятности

Примеры простейших моделей

Необходимо оценить качество обслуживания пассажиров

Формальная постановка

Определить время ожидания автобуса
Определить вероятность того, что за время T автобус прибудет

Исходные условия и основные моделируемые факторы

Автобусы прибывают на остановку с заданным фиксированным интервалом t
Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени

Вопрос.
Каково среднее время ожидания автобуса?
Какова вероятность, что за время T пассажир уедет на автобусе?

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают на остановку с заданным фиксированным интервалом t
Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени

Вопрос.
Каково среднее время ожидания автобуса?
Какова вероятность, что за время T пассажир уедет на автобусе?

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают в случайные моменты времени с интервалами, распределенными по равномерному закону (0, t)
Пассажир приходит в момент отправления предыдущего автобуса

Вопрос.
Каково среднее время ожидания автобуса?
Какова вероятность, что за время T пассажир уедет на автобусе?

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают в случайные моменты времени с интервалами, распределенными по экспоненциальному закону с интенсивностью l
Пассажир приходит в момент отправления предыдущего автобуса

Вопрос.
Каково среднее время ожидания автобуса?
Какова вероятность, что за время T пассажир уедет на автобусе?

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают в случайные моменты времени с интервалами, имеющими неизвестное распределение и среднее
Пассажир приходит в момент отправления предыдущего автобуса

Вопрос.
Какова вероятность, что за время T пассажир уедет на автобусе?

?

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают в случайные моменты времени с интервалами, имеющими неизвестное распределение и среднее
Пассажир приходит в момент отправления предыдущего автобуса

1

0

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают в случайные моменты времени с интервалами, имеющими неизвестное распределение и среднее
Пассажир приходит в момент отправления предыдущего автобуса

0.9

0

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают в случайные моменты времени с интервалами, распределенными по экспоненциальному закону с интенсивностью l
Пассажир приходит в произвольный момент времени

Вопрос.
Каково среднее время ожидания автобуса?
Какова вероятность, что за время T пассажир уедет на автобусе?

Примеры простейших моделей

Примеры простейших моделей

Автобусы прибывают в случайные моменты времени с интервалами, распределенными по экспоненциальному закону с интенсивностью l
Пассажир приходит в произвольный момент времени

Вопрос.
Каково среднее время ожидания автобуса?
Какова вероятность, что за время T пассажир уедет на автобусе?

Примеры простейших моделей

Необходимо оценить защищенность объекта от воздействия угроз

Формальная постановка

Определить вероятность того, что объект останется непораженным

Исходные условия и основные моделируемые факторы

Угрозы поступают на объект непрерывно с заданной
интенсивностью 
Поток угроз простейший
Меры защиты обеспечивают защиту от угроз с вероятностью p

Вопрос.
Какова вероятность, что за время T объект останется в сохранности?

Примеры простейших моделей

Плотность вероятности для времени появления угрозы

Плотность вероятности для времени прохождения угрозы
через систему защиты

- вероятность противодействия угрозе

Примеры простейших моделей

Примеры простейших моделей

Необходимо оценить качество системы разведки опасных объектов

Формальная постановка

Определить вероятность того, что все опасные объекты за время T будут обнаружены

Исходные условия и основные моделируемые факторы

Объекты поступают на вход системы непрерывно с заданной
интенсивностью . Поток угроз простейший
Система обнаружения способна обнаружить объект с вероятностью p

Вопрос.
Какова вероятность, что за время T все объекты будут обнаружены?

Примеры простейших моделей

Необходимо оценить качество системы разведки опасных объектов

Формальная постановка

Определить вероятность того, что все опасные объекты за время T будут обнаружены

Исходные условия и основные моделируемые факторы

Объекты поступают на вход системы непрерывно с заданной
интенсивностью . Поток угроз простейший
Система обнаружения состоит и M средств, каждое из которых способно обнаружить объект с вероятностью p. Объект считается обнаруженным, если K средств его увидели.

Вопрос.
Какова вероятность, что за время T все объекты будут обнаружены?

Примеры простейших моделей

Необходимо оценить качество системы разведки опасных объектов

Формальная постановка

Определить вероятность того, что система обнаружения работает надежно

Исходные условия и основные моделируемые факторы

Объекты поступают на вход системы непрерывно с заданной
интенсивностью . Поток простейший.
Система обнаружения состоит и M средств, каждое из которых способно обнаружить объект с вероятностью p. Объект считается обнаруженным, если K средств его увидели.

Вопрос.
Какова вероятность, что за время T объекты будет обнаружено не менее 90% объектов?

Примеры простейших моделей

Необходимо оценить качество wiki-энциклопедии

Формальная постановка

Определить вероятность того, что присутствующие в энциклопедии документы надежны

Исходные условия и основные моделируемые факторы

Документы поступают на вход системы непрерывно с заданной
интенсивностью . Поступивший документ будет надежен с вероятностью p.
Наблюдатели могут обнаружить ненадежный документ с вероятностью r и исправить его.

Вопрос.
Какова вероятность, что за время T все документы будут надежны?

Примеры простейших моделей

Необходимо оценить качество деятельности ученых

Исходные условия и основные моделируемые факторы

Каждый ученый имеет уровень квалификации Q.
Он готовит публикации, научный уровень S которых случаен и имеет экспоненциальное распределение с параметром Q.
Интенсивность публикаций равна Q.
В зависимости от научного уровня, публикация может быть принята журналом. Импакт-фактор журнала, принявшего публикацию имеет экспоненциальное распределение с параметром S.

Вопрос.
Каков средний суммарный коэффициент публикаций ученого в зависимости от его уровня квалификации?