РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра»

Негосударственное образовательное  частное учреждение высшего образования  «Московский финансово­промышленный университет  «Синергия» Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ проректор по учебно­методической работе, кандидат экономических наук ___________________   А.И. Васильев РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление подготовки: 38.03.01 Экономика Профиль подготовки: Банковское дело  Квалификация выпускника: бакалавр Форма обучения: очная Обсуждено на заседании кафедры  Высшей математики и естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составитель(­и) программы: Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой [email protected] Рейтер К.А. к.ф.н., доцент  [email protected] Москва 2017 Содержание I. Аннотация к дисциплине.............................................................................................................3 II. Планируемые результаты обучения..........................................................................................5 III. Тематический план....................................................................................................................7 V. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины................................11 В процессе преподавания данной дисциплины используются как классические методы  обучения (лекции, практические занятия), так и различные виды самостоятельной работы  обучающихся по заданию преподавателя, которые направлены на развитие творческих  качеств обучающихся и на поощрение их интеллектуальных инициатив................................12 VII. Перечень ресурсов информационно­коммуникационной сети «Интернет», необходимой для освоения дисциплины............................................................................................................18 X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по  дисциплине.....................................................................................................................................18 Контрольные вопросы для коллоквиума....................................................................................29  Задание 3. Используя матрицы А и В, вычислить методом алгебраических дополнений и  методом Жордана­Гусса:..........................................................................................................37 Задание 4. Найти ранг матрицы двумя способами: методом окаймляющих миноров и при  помощи элементарных преобразований..................................................................................37 Задание 5. Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом.  После решения необходимо выполнить проверку..................................................................37 Задание 6. Решить системы уравнений методом Жордана­Гаусса. Если система является  неопределенной, то в ответ записать одно базисное решение и одно частное, не  являющееся базисным...............................................................................................................38 Задание 7. Найдите собственные значения и собственные вектора матриц: , .....................38 2 I. Аннотация к дисциплине Рабочая   программа   дисциплины   «Линейная   алгебра»   составлена   в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика», утвержденным приказом Минобрнауки России от 12.11.2015г. № 1327. Дисциплина   является   одной   из   важнейших   теоретических   и   определяющих   уровень прикладных профессиональной подготовки современного бакалавра в области управления различными социально­экономическими процессами.  математических   дисциплин, Преподавание   дисциплины   состоит   в   том,   чтобы   на   примерах математических  понятий   и   методов   продемонстрировать   сущность научного   подхода,  специфику   раздела  математики линейной алгебры и её роль как способ познания мира, общности её понятий и представлений для решения   возникающих   проблемных   задач   в   процессе   профессиональной деятельности.  Прочное   усвоение   современных   математических   методов   позволит будущему   бакалавру   в   области   экономики,     бухгалтерского   учета, банковского дела и налогов и налогообложения  решать в своей повседневной деятельности   актуальные   практические   задачи,   понимать   написанные   на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки. Место дисциплины в структуре ОП бакалавриата. Настоящая   дисциплина   включена   в   учебные   планы   по   программам подготовки   бакалавров   по   направлению   «Экономика»,   входит   в   базовую (обязательную) часть математического и естественнонаучного цикла. Требования   к   входным   знаниям   и   умениям   студента:  для   успешного освоения данной дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями  и навыками, сформированными  школьной программной ­ знание элементарной математики, алгебры, элементарных функций, умение дифференцировать.  3 Дисциплина «Линейная алгебра»  имеет логические и методологические последующие   связи  с  дисциплинами   базовой   части     математического   и профессионального циклов: Математический  анализ, Теория вероятностей  и математическая   статистика,   Микроэкономика,   Макроэкономика,   Методы оптимальных решений, Теория Игр, Эконометрика. Цель и задачи дисциплины Целью изучения дисциплины «Линейная алгебра» является создание у студентов   базы   для   освоения   математических   дисциплин,   оперирующих алгебраическими   понятиями,   использующих математические   модели   в   экономике,   формирование   и   развитие профессиональных навыков обучающихся.   а   также   дисциплин, Основной   задачей   изучения   данной   дисциплины   является   прочное усвоение   студентами   теоретических   основ   линейной   алгебры,   обучение использованию методов этой дисциплины в экономических исследованиях.  Задачи дисциплины:  понимание математики как особого способа познания мира, общности ее понятий и представлений;  понимание   значения   математических   дисциплин,   их   месте   в   системе фундаментальных наук и роли в решении прикладных задач;  изучение   фундаментальных   разделов   математики   для   дальнейшего   их применения в профессиональной деятельности;  выработать у студентов навыки применения математического аппарата при исследовании  различных экономических и управленческих задач;  развитие умения составить план решения и реализовать его, используя выбранные математические методы и модели;  развитие   умения   анализа   и   практической   интерпретации   полученных математических результатов;  выработка умения пользоваться справочными материалами и пособиями, самостоятельно   расширяя   математические   знания,   необходимые   для решения прикладных задач. 4 II. Планируемые результаты обучения Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих (профессиональных   (ПК)   компетенций,   предусмотренных   ФГОС   ВО   по направлению подготовки 38.03.01 Экономика (уровень бакалавриата). Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Работа на  занятиях,  выполнение  домашних заданий, самостоятельная  работа, текущий  контроль,  контрольные  работы Работа на  занятиях,  выполнение  домашних заданий, самостоятельная  работа, текущий  контроль,  контрольные  работы Результаты освоения ООП (содержание компетенций) Код компетенции  Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Способность выбрать инструментальные  средства для  обработки  экономических  данных в соответствии с поставленной  задачей,  проанализировать  результаты расчетов и  обосновать  полученные выводы Способность собрать  и проанализировать  исходные данные,  необходимые для  расчета  экономических и  социально­ экономических  показателей,  характеризующих  деятельность  хозяйствующих  субъектов Способность на  основе описания  экономических  процессов и явлений строить стандартные теоретические и  эконометрические  модели,  ОПК­3 Знать (З):   основы   необходимые экономических задач (З1). линейной для      алгебры, решения Уметь (У):   применять   методы   линейной алгебры   для   теоретического   и экспериментального исследования и решения экономических задач (У1). Владеть (В):   навыками применения современного математического   инструментария для   решения   экономических   задач (В1). ПК­1 Знать (З):   основы   теории   математического моделирования,   необходимые   для решения экономических задач (З2). Уметь (У):     применять математического моделирования  для  теоретического и экспериментального исследования и   решения   экономических   задач (У2). Владеть (В):   навыками   математического   анализа и   применения   математических моделей   для   оценки   состояния,   и прогноза   развития   экономических явлений и процессов (В2). ПК­4 Знать (З):   основы   необходимые экономических задач (З3). линейной для      алгебры, решения Уметь (У):   применять   методы   линейной алгебры   для   теоретического   и экспериментального исследования и 5 Результаты освоения ООП (содержание компетенций) Код компетенции  Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции анализировать и  содержательно  интерпретировать  полученные  результаты решения экономических задач (У3). Владеть (В):   навыками применения современного математического   инструментария для   решения   экономических   задач (В3). 6 Наименование тем   й и ц н е т е п м о к х ы м е у о р и м р о ф ы д о К   III. Тематический план Виды учебной деятельности, включая самостоятельную работу (в часах) а Активные  и и ц к е Л Форма ТКУ Форма ПА т о б а р   я а н ь л е т я о т с о м а С   занятия  ю и н е ш е р ы р а н и м е С     о п м у к и т к а р П ч а д а з Интерактивные занятия г н и н е р т а р г и   я а к с е ч и т к а д и Д с с а л к ­ р е т с а М   м у к и т к а р п й ы н р о т а р о б а Л ) и и д а т с ­ с й е к (   й ы н н о и ц а у т и С Тема 2. Теория  определителей Тема 1. Алгебра матриц ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 Тема 3. Системы  линейных  алгебраических  уравнений (СЛАУ) Тема 4. Векторные  пространства Очная форма 4 6   8 8 4 8 6 6 4 8 8 4 7                       Практикум  по решению  задач/5 Практикум  по решению  задач/5  Контрольная работа по  темам  №1,2/15 Практикум  по решению  задач/5 Контрольная работа по  теме № 3/15 Практикум  по решению  задач/5 Тема 5. Линейные  операторы Тема 6. Квадратичные  формы Тема 7. Применение матричного   исчисления к   решению   некоторых экономических задач (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) 2 4 2 4 4 6 4 4 4 Итого: Экзамен Общая трудоемкость  дисциплины (в часах) 38 32 38     36 144 Практикум  по решению  задач/5 Практикум  по решению  задач/5  Практикум  по решению  задач/5 Контрольная работа по  темам №  4,7/15 Коллоквиум по темам/20  100 бал. Экзамен 8 VI. Содержание учебной дисциплины Тема 1. Алгебра матриц Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами и их  свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую  неотрицательную степень, транспонирование.  Литература к теме 1 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.1. Интернет­ссылки: 1. http://sci­lib.com/mathematics Тема 2. Теория определителей Основные понятия. Вычисление определителей 1­3 порядка, правило  Саррюса, вычисление определителей n­го порядка. Свойства определителей.  Понятие минора, алгебраического дополнения. Вычисление определителей  путем разложения определителей по элементам некоторой строки или  некоторого столбца. Формулы разложения. Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица,  методы  ее  вычисления. Матричные уравнения. Ранг матрицы. Метод окаймляющих  миноров для нахождения ранга матрицы. Метод Гаусса. Метод  присоединенной матрицы для вычисления обратной матрицы. Линейная  зависимость и независимость строк матрицы. Литература к теме 2 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.1. Интернет­ссылки: 1. http://sci­lib.com/mathematics Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Общая теория систем линейных уравнений. Основные понятия и  определения: СЛАУ, решение СЛАУ, совместная, несовместная,  9 определенная, неопределенная СЛАУ, элементарные преобразования.  Матричная форма СЛАУ. Теорема Кронекера­Капелли. Методы решения  системы n линейных уравнений с n неизвестными. Метод обратной матрицы.   Метод Крамера. Метод Гаусса. Метод Жордана­Гаусса. Структура общего  решения неоднородной системы. Однородные системы линейных уравнений.  Структура общего решения однородной системы. Литература к теме 3 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.14. Интернет­ссылки: 1. http://sci­lib.com/mathematics Тема 4. Векторные пространства Понятие векторного пространства. Линейная зависимость и  независимость векторов. Базис n­мерного векторного пространства. Переход к новому базису. Преобразование координат вектора при изменении базиса.  Евклидово пространство. Ортогональные преобразования. Литература к теме 4 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.4. Интернет­ссылки: 1. http://sci­lib.com/mathematics Тема 5. Линейные операторы Линейные операторы. Действия с линейными операторами.  Изменение линейного оператора при переходе к новому базису.  Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.  Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Литература к теме 5 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  10 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.5. Интернет­ссылки: 1. http://sci­lib.com/mathematics Тема 6. Квадратичные формы Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к  каноническому виду. Положительно определенные квадратичные формы.  Критерий Сильвестра. Литература к теме 6 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.7. Интернет­ссылки: 1. http://sci­lib.com/mathematics Тема 7. Применение матричного исчисления к решению некоторых экономических задач Линейные модели. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.  Линейная модель обмена (модель международной торговли). Применение  методов линейной алгебры при исследовании и решении экономических  задач. Литература к теме 7 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. – М.: Маркет ДС, 2012, гл.7. Интернет­ссылки: 1. http://sci­lib.com/mathematics V. Методические указания для обучающихся  по освоению дисциплины 11 В процессе преподавания данной дисциплины используются как  классические методы обучения (лекции, практические занятия), так и  различные виды самостоятельной работы обучающихся по заданию  преподавателя, которые направлены на развитие творческих качеств  обучающихся и на поощрение их интеллектуальных инициатив.  Обучение   по   данной   учебной   дисциплине     предполагает   следующие формы занятий:  аудиторные  занятия  (лекции, практические  занятия)  под  руководством преподавателя,  обязательная   самостоятельная   работа   обучающегося   по   заданию преподавателя,   выполняемая   во   внеаудиторное   время,   в   том   числе   с использованием технических средств обучения,  индивидуальная   самостоятельная   работа   обучающегося   под руководством преподавателя,  индивидуальные консультации.  Методические   указания   для   обучающихся   при   работе   над конспектом лекций во время проведения лекции Лекция   –   систематическое,   монологическое изложение преподавателем учебного материала, как правило, теоретического характера.   последовательное, В   процессе   лекций   рекомендуется   вести   конспект,   что   позволит впоследствии вспомнить изученный учебный материал, дополнить содержание при самостоятельной работе с литературой, подготовиться к экзамену. Следует   также   обращать   внимание   на   категории,   формулировки, раскрывающие   содержание   тех   или   иных   явлений   и   процессов,   научные выводы   и   практические   рекомендации,   положительный   опыт   в   ораторском искусстве.   Желательно   оставить   в   рабочих   конспектах   поля,   на   которых делать   пометки   из   рекомендованной   литературы,   дополняющие   материал прослушанной   лекции,   а   также   подчеркивающие   особую   важность   тех   или иных теоретических положений.  Любая   лекция   должна   иметь   логическое   завершение,   роль   которого выполняет   заключение.   Выводы   по   лекции   подытоживают   размышления преподавателя   по   учебным   вопросам.   Формулируются   они   кратко   и лаконично, их целесообразно записывать. В конце лекции обучающиеся имеют возможность задать вопросы преподавателю по теме лекции. Методические   указания   для   обучающихся   по   выполнению практикумов по решению задач Практикум   по   решению   задач   –   выполнение   обучающимися   набора практических   задач   предметной   области   с   целью   выработки   навыков   их 12 решения. Практикумы по решению задач выполняются в соответствии с рабочим учебным планом при последовательном изучении тем дисциплины. Прежде чем приступать к решению задач, обучающемуся необходимо:  ознакомиться с соответствующими разделами программы дисциплины  по учебной литературе, рекомендованной программой курса;  получить от преподавателя  информацию о порядке проведения занятия, критериях оценки результатов работы;   получить от преподавателя конкретное задание и информацию о сроках выполнения,  о   требованиях   к   оформлению   и   форме   представления результатов. При выполнении задания необходимо привести развёрнутые пояснения хода решения и проанализировать полученные результаты.  При необходимости обучающиеся имеют возможность задать вопросы преподавателю по трудностям, возникшим при решении задач. Методические   рекомендации   для   обучающихся   по   выполнению домашних контрольных работ В соответствие с учебным планом каждый студент должен выполнить    контрольные работы  по дисциплине. Задачи контрольной работы выдаются  преподавателем индивидуально по вариантам. Правила:  работа должна быть сдана за 10 дней до мероприятий промежуточной  аттестации;  студент обязан выполнять контрольные  работы только своего варианта. Контрольные работы следует выполнять в отдельной для каждой работы  ученической тетради, оставляя поля для замечаний преподавателя.  Рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых страниц для  исправлений и дополнений в соответствии с указаниями преподавателя.  На обложке тетради студент должен указать форму обучения,  направление, профиль, курс, номер группы, свою фамилию, имя, отчество,   номер работы, номер зачетной книжки, номер варианта;  ученую степень  (звание) фамилию, имя, отчество преподавателя. В конце работы необходимо привести список. Перед решением задачи каждого задания нужно полностью выписать ее  условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать  следует только условие задачи  нужного варианта. Решение каждой задачи  студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на  соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть  доведены до конечного числового результата.  Ответы и выводы, полученные  при решении задач, следует подчеркнуть.  13 В случае  возвращения работы на доработку,  следует переделать те  задачи, на которые указывает преподаватель, а при отсутствии такого  указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново.  Переделанная работа сдается на повторную проверку обязательно с не  зачтенной ранее работой.  В случае возникновения затруднений студент может обратиться к  преподавателю или на кафедру. Методические   указания   для   обучающихся   по   организации самостоятельной работы Самостоятельная работа обучающихся направлена на самостоятельное изучение отдельных тем/вопросов учебной дисциплины.  Самостоятельная   работа   является   обязательной   для   каждого обучающегося, ее объем по дисциплине  определяется учебным планом.  При   самостоятельной   работе   обучающиеся   взаимодействуют   с рекомендованными материалами при минимальном участии преподавателя. Работа с литературой Самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями, научной, справочной и популярной литературой, материалами периодических изданий и Интернета,   статистическими   данными   является   наиболее   эффективным методом   получения   знаний,   позволяет   значительно   активизировать   процесс овладения информацией, способствует более глубокому усвоению изучаемого материала,   формирует   у   обучающихся   свое   отношение   к   конкретной проблеме. Изучая   материал   по   учебной   книге   (учебнику,   учебному   пособию, монографии, и др.), следует переходить к следующему вопросу только после полного уяснения предыдущего, фиксируя выводы и вычисления, в том числе те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного вывода. Особое   внимание   обучающийся   должен   обратить   на   определение основных   понятий   курса.   Надо   подробно   разбирать   примеры,   которые поясняют определения. Полезно составлять опорные конспекты. Выводы,   полученные   в   результате   изучения   учебной   литературы, рекомендуется в конспекте выделять, чтобы при перечитывании материала они лучше запоминались. При самостоятельном решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.  Вопросы,   которые   вызывают   у   обучающегося   затруднение   при подготовке,   должны   быть   заранее   сформулированы   и   озвучены   во   время занятий в аудитории для дополнительного разъяснения преподавателем. Самопроверка 14 После изучения определенной темы по записям конспекта и учебнику, решения соответствующих задач на практических занятиях и самостоятельно, обучающемуся   рекомендуется,   используя   лист   опорных   сигналов, воспроизвести   по   памяти   определения,   выводы   формул,   формулировки основных положений и доказательств. В   случае   необходимости   нужно   еще   раз   разобраться   в   материале. Помните,   недостаточность   усвоения   того   или   иного   вопроса   выясняется только при изучении дальнейшего материала. Если это имеет место быть, надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный материал. Важный критерий усвоения   теоретического   материала   ­   умение   решать   задачи   или   пройти тестирование по пройденному материалу. Консультации Если в процессе самостоятельной работы над изучением теоретического материала   или   при   решении   задач   возникают   вопросы,   разрешить   которые самостоятельно   не   удается,   необходимо   обратиться   к   преподавателю   для получения у него разъяснений или указаний. В своих вопросах надо четко выразить,   в   чем   испытываете   затруднения,   характер   этого   затруднения.   За консультацией  следует обращаться и в случае, если  возникнут сомнения в правильности ответов на вопросы самопроверки. Подготовка к экзаменам/зачетам Подготовка к экзамену/зачету  способствует закреплению, углублению и обобщению знаний, получаемых, в процессе обучения, а также применению их к   решению   практических   задач.   В   процессе   подготовки   к   экзамену/зачету, ликвидируются   имеющиеся   пробелы   в     углубляются, систематизируются   и   упорядочиваются   знания.   На   экзамене/зачете демонстрируются знания, приобретенные в процессе обучения по конкретной учебной дисциплине. знаниях, Методические указания для обучающихся по подготовке и выполнению теста. Тестирование   позволяет   путем   поиска   правильного   ответа   и   разбора допущенных ошибок лучше усвоить тот или иной материал. Тестовые задания позволяют оценить знания студентов по всему курсу. Данные тесты могут использоваться:  студентами при подготовке к зачету в форме самопроверки знаний;  преподавателями для проверки знаний в качестве формы промежуточного контроля на семинарских занятиях;  для проверки остаточных знаний студентов, изучивших данный курс. Тестовые   задания   рассчитаны   на   самостоятельную   работу   без использования вспомогательных материалов. То есть при их выполнении не следует пользоваться учебниками или конспектами лекций и т.д. 15 Для выполнения тестового задания, прежде всего, следует внимательно прочитать   поставленный   вопрос.   После   ознакомления   с   вопросом   следует приступать   к   прочтению   предлагаемых   вариантов   ответа.   Необходимо прочитать все варианты и в качестве ответа следует выбрать лишь один индекс (цифровое   обозначение),   соответствующий   правильному   ответу.   Тесты составлены таким образом, что в каждом из них правильным является лишь один из вариантов. Выбор должен быть сделан в пользу наиболее правильного ответа. На   выполнение   теста   отводится   ограниченное   время.   Оно   может варьироваться   в   зависимости   от   уровня   тестируемых,   сложности   и   объема теста.   Как   правило,   время   выполнения   тестового   задания   определяется   из расчета 30­45 секунд на один вопрос. Критерии   оценки   выполненных   студентами   тестов   определяются преподавателем самостоятельно. Рекомендуются следующие критерии оценки: 85% – 100% правильных ответов – «отлично»; 66% – 84% правильных ответов – «хорошо»; 50% – 65% правильных ответов – «удовлетворительно»; менее 50% правильных ответов – «неудовлетворительно». При   подведении   итогов   по   выполненной   работе   необходимо проанализировать   допущенные   ошибки,   прокомментировать   имеющиеся   в тестах неправильные ответы. Перечень учебно­методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине Наименование темы 1 Тема 1.  Алгебра матриц Тема 2.  Теория  определителей Дидактические единицы, вынесенные на самостоятельное изучение Формы самост. работы Учебно­ методическо е  обеспечение Форма контроля 2 4 5 6 Возведение в целую неотрицательную  степень. Написание конспекта Литература к теме 1 Матричные  уравнения. Написание конспекта Литература к теме 2 Конспект Проверка домашних  заданий. Конспект Проверка домашних  заданий. Тема 3.  Системы  линейных  алгебраических  Однородные  системы линейных  уравнений.  Структура общего  Написание конспекта. Литература к теме 3 Конспект. Проверка домашних  заданий. 16 Дидактические единицы, вынесенные на самостоятельное изучение 2 решения  однородной  системы. Формы самост. работы Учебно­ методическо е  обеспечение Форма контроля 4 5 6 Ортогональные  преобразования Написание конспекта  Литература к теме 4 Написание конспекта Литература к теме 5 Конспект Проверка домашних  заданий. Конспект Проверка домашних  заданий. Написание конспекта Литература к теме 6 Написание конспекта Литература к теме 7 Конспект Проверка домашних  заданий. Конспект Проверка домашних  заданий. Собственные  векторы и  собственные  значения линейного оператора  (матрицы). Критерий  Сильвестра. Линейная модель  обмена (модель  международной  торговли). Наименование темы 1 уравнений  (СЛАУ) Тема 4.  Векторные  пространства Тема 5.  Линейные  операторы Тема 6.  Квадратичные  формы Тема 7.  Применение  матричного  исчисления к  решению  некоторых  экономических  задач Основная литература: 1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:  учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,  2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1 2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –  М.: Маркет ДС, 2011. Дополнительная литература: 1. Архипов   Г.И.,   Садовничий   В.А.,   Чубариков   В.Н.   Лекции   по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 2004. 2. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. – М.: Наука, 2006. 3. Ильин В. А. Позняк Э. Г. Основы математического анализа. – М.: 2004. 17 4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. – М.: Наука, 2008. 5. Высшая математика для экономистов. Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2008. VII. Перечень ресурсов информационно­коммуникационной сети «Интернет», необходимой для освоения дисциплины № 1. 2. 3. 4. 5. Наименование портала (издания, курса, документа) Новости математики Национальный Открытый университет Российское образование. Федеральный портал Единый портал интернет­тестирования в сфере  образования Национальный исследовательский университет Ссылка http://sci­lib.com/mathematics/ http   ://   www  http://www.   http://www.i­exam.ru/  .  intuit    edu   .  ru   /  .ru/ https://math.hse.ru/news/ VIII. Описание материально­технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине Требования к аудиториям (помещениям) для проведения занятий:  лекционные аудитории с компьютерным и видеопроекционным  оборудованием для презентаций с выходом в Интернет;  компьютерный класс с установленным программным обеспечением. Демонстрационный материал: Слайды согласно тематическому плану занятий. IX. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине  Microsoft Office;  Система дистанционного обучения e­education. X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине Промежуточная   аттестация   по   дисциплине  «Математический   анализ» проводится в форме экзамена. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы 18 Компетенция Начальный этап Основной этап Завершающий этап ОПК­3 Способность  выбрать  инструментальные  средства для  обработки  экономических данных в соответствии с  поставленной задачей,  проанализировать  результаты расчетов и  обосновать  полученные выводы Линейная алгебра Математический анализ Теория вероятностей и математическая статистика Статистика Деньги, кредит, банки Рынок ценных бумаг ПК­1 Способность  собрать и  проанализировать  исходные данные,  необходимые для  расчета  экономических и  социально­ экономических  показателей,  характеризующих  деятельность  хозяйствующих  субъектов ПК­4 Способность на  основе описания  экономических  процессов и явлений  строить стандартные  теоретические и  эконометрические  модели, анализировать и содержательно  интерпретировать  полученные  результаты Линейная алгебра Финансовая математика  Математический анализ Теория вероятностей и математическая статистика Микроэкономика Макроэкономика Линейная алгебра Математический анализ Теория вероятностей и математическая статистика Теория игр Международные валютно­кредитные и финансовые отношения  Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности Финансовый анализ  Методы оптимальных решений Практика по получению профессиональных умений и опыта профессиональной деятельности** Теория игр Корпоративные финансы Теория отраслевых рынков  Банковское дело Национальная экономика Практика по получению первичных профессиональных умений и навыков, в том числе первичных умений и навыков научно­ исследовательской деятельности** Теория игр Практика по получению первичных профессиональных умений и навыков, в том числе первичных умений и навыков научно­ исследовательской деятельности** Валютные операции банка Технологическая практика** Преддипломная практика** Выпускная квалификационная работа*** Финансовые кризисы Антикризисное управление Практика по получению профессиональных умений и опыта профессиональной деятельности** Технологическая практика** Преддипломная практика** Выпускная квалификационная работа*** Макроэкономическое планирование и прогнозирование Эконометрика Финансовый анализ Выпускная квалификационная работа*** Показатели и критерии оценивания на различных этапах формирования компетенций 19 В   отношении   компетенции  «Способность   выбрать инструментальные   средства   для   обработки   экономических   данных   в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы».  ОПК­3 Показатель оценивания Пороговый  (удовлетворительно) Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Знать (З):   основы линейной  алгебры,  необходимые для  решения  экономических  задач (З1). Критерий оценивания  Этап формирования Знает:  основы линейной алгебры,  необходимые для решения  экономических задач. Начальный Начальный Знает:  основы линейной алгебры,  необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять методы  линейной алгебры для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Базовый (хорошо) Высокий (отлично) Знать (З):   основы линейной  алгебры,  необходимые для  решения  экономических  задач (З1). Уметь (У):   применять методы  линейной алгебры  для теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У1). Начальный Знать (З):   основы линейной  алгебры,  необходимые для  решения  экономических  задач (З1). Уметь (У):   применять методы  линейной алгебры  для теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  Знает:  основы линейной алгебры,  необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять методы  линейной алгебры для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Владеет:  навыками применения  современного  математического  инструментария для  20 Критерий оценивания  Этап формирования решения экономических  задач. Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине экономических  задач (У1). Владеть (В):   навыками  применения  современного  математического  инструментария  для решения  экономических  задач (В1). В   отношении   компетенции  собрать   и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и   социально­экономических   показателей,   характеризующих   деятельность хозяйствующих». «Способность  ПК­1  Показатель оценивания Пороговый  (удовлетворительно) Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Знать (З):   основы теории  математического  моделирования,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). Базовый (хорошо) Знать (З):   основы теории  математического  моделирования,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). Уметь (У):   применять  математического  моделирования для  теоретического и  21 Критерий оценивания  Этап формирования Начальный Начальный Знает:  основы теории  математического  моделирования,  необходимые для решения  экономических задач. Знает:  основы теории  математического  моделирования,  необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять  математического  моделирования для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения Показатель оценивания Высокий (отлично) Критерий оценивания  Этап формирования Начальный экономических задач. Знает:  основы теории  математического  моделирования,  необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять  математического  моделирования для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Владеет:  навыками математического  анализа и применения  математических моделей  для оценки состояния, и  прогноза развития  экономических явлений и  процессов. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У2). Знать (З):   основы теории  математического  моделирования,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). Уметь (У):   применять  математического  моделирования для  теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У2). Владеть (В):   навыками  математического  анализа и  применения  математических  моделей для оценки состояния, и  прогноза развития  экономических  явлений и  процессов (В2). В   отношении   компетенции  ПК­4  «Способность  на   основе   описания экономических   процессов   и   явлений   строить   стандартные   теоретические   и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты». 22 Показатель оценивания Пороговый  (удовлетворительно) Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Знать (З):   основы теории  математического  моделирования,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). Базовый (хорошо) Высокий (отлично) Знать (З):   основы теории  математического  моделирования,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). Уметь (У):   применять  математического  моделирования для  теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У2). Знать (З):   основы теории  математического  моделирования,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). Уметь (У):   применять  математического  моделирования для  теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У2). Владеть (В):   навыками  23 Критерий оценивания  Этап формирования Начальный Начальный Начальный Знает:  основы теории  математического  моделирования,  необходимые для решения  экономических задач. Знает:  основы теории  математического  моделирования,  необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять  математического  моделирования для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Знает:  основы теории  математического  моделирования,  необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять  математического  моделирования для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Владеет:  навыками математического  анализа и применения  математических моделей  для оценки состояния, и  прогноза развития  экономических явлений и Критерий оценивания  Этап формирования процессов. Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине математического  анализа и  применения  математических  моделей для оценки состояния, и  прогноза развития  экономических  явлений и  процессов (В2). Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания № п/п Наименование оценочного средства Краткая характеристика оценочного средства Шкала оценки, балл Критерии оценивания компетенции Текущий контроль успеваемости 1. Тестовые задания 2. Дидактическая игра 3. Эссе, конспект Тест состоит из 20  заданий с одним или  несколькими  вариантами  правильного ответа Включение  обучающихся в процесс нахождения путей  оптимального решения  поставленной задачи в  соответствии с  выбранной или  назначенной ролью Умение обучающегося  письменно излагать  суть поставленной  проблемы,  самостоятельно  проводить анализ этой  24 ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3) ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3) «6­7» – верные ответы  составляют более  90% от общего  количества; «4­5» – верные ответы  составляют более  80% от общего  количества; «1­3» – более 50%  правильных ответов «10» – активное участие в  процессе в заранее  определенной роли,  выступление логично  и аргументировано;  «5» –   участие в процессе в  определенной роли,  выступление в  основном логично,  недостаточная  аргументация  «5­7» – грамотное  использование  историко­правовой  терминологии,  свободное изложение  рассматриваемой  проблемы, логичность ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3) «3­4» – грамотное  и обоснованность  выводов; использование  историко­правовой  терминологии,  частично верные  суждения в рамках  рассматриваемой  темы, выводы  недостаточно  обоснованы; «1­2» – грамотное  проблемы с  использованием  методологического  инструментария  дисциплины, делать  выводы, обобщающие  авторскую позицию по  поставленной проблеме 4. Доклад,  сообщение  Самостоятельная  работа обучающегося,  представляющая собой  публичное выступление по представлению  полученных  результатов изучения  темы «6­4» – доклад выполнен в  ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3) использование  философской  терминологии,  способность видения  существующей  проблемы,  необоснованность  выводов, неполнота  аргументации  собственной точки  зрения соответствии с  заявленной темой,  презентация легко  читаема и ясна для  понимания, грамотное использование  философской  терминологии,  свободное изложение  рассматриваемых  проблем, докладчик  правильно ответил на  все вопросы в ходе  дискуссии; оформление либо  отсутствие  презентации,  грамотное  использование  философской  терминологии, в  основном свободное  изложение  рассматриваемых  проблем, докладчик  частично правильно  ответил на все  вопросы в ходе  дискуссии «3­1» – некорректное  5. Семинар Дискуссия Включение  обучающихся в процесс обсуждения спорного  вопроса, проблемы «2» –   активное участие в  дискуссии,  обсуждение 2 и более  выступлений, точка  зрения  ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 25 (З3; У3; В3) ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3) ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3) аргументирована и  обоснована;  «1» –   обсуждение 1  выступления, ответы  построены в основном логично,  недостаточная  аргументация «6» –   верные ответы  составляют более  90% от общего  количества; 6. Контрольная работа Два вопроса, при ответе на которые необходимо аргументировать выбор  ответа, и задача «5­3» – верные ответы  составляют 80­50%  от общего  количества; «3­0» – менее 50%  правильных ответов. 7. Составление  таблицы Продукт  самостоятельной  работы студента,  который представляет  из себя обобщённое,  формализованное  знание, полученное при самостоятельном  изучении заданной  темы, когда ход  выполнения анализа  изучаемого  исторического  материала, с  определением  категорий сравнения,  сопоставления,  оформляется виде  таблицы. «3» – логичное изложение, без пропусков, основных идей  исторического материала,  заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  Корректные категории  сравнения, сопоставления.  Грамотное оформление  таблицы. «2­1» – не вполне логичное  изложение, с единичными  пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  Не вполне корректные  категории сравнения, не  вполне корректное  сопоставление. В  оформлении таблицы есть  недочёты. «0» – не логичное изложение,  с пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  Не корректные категории  сравнения, не корректное  сопоставление. В  оформлении таблицы есть  ошибки. 26 8. Составление схемы 9. Конспект Продукт  самостоятельной  работы студента,  который представляет  из себя обобщённое,  формализованное  знание, полученное при самостоятельном  изучении заданной  темы, когда ход  выполнения анализа  изучаемого  исторического  материала  оформляется виде  схемы. Продукт  самостоятельной  работы студента,  представляющий собой краткое логичное  изложение в  письменном виде  основных идей  исторического  материала, заданного  для самостоятельного  ознакомления и  изучения. ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3) ОПК­3 (З1; У1; В1) ПК­1 (З2; У2; В2) ПК­4 (З3; У3; В3)  «2» – логичное изложение,  без пропусков, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  «1» – не вполне логичное  изложение, с единичными  пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  «0» – не логичное изложение,  с пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения «2» – грамотное, логически  стройное изложение, без  пропусков, основных идей  исторического материала,  заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  Материал представляет  единое логическое целое. «1» – грамотное, не вполне  логически стройное  изложение, с единичными  пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  «0» – не грамотное,  нелогичное изложение, с  пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  Материал не представляет  единое логическое целое. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания 27 знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы1 № 1 Форма контроля/ коды оцениваемых компетенций Экзамен ОПК­3, ПК­1,  ПК­4 Процедура оценивания Шкала и критерии оценки, балл Выполнение обучающимся заданий  оценивается по следующей балльной  шкале:  1:0­30; 2:0­30; 3:0­40. «5» – 90­100 (отлично) – ответ  правильный, логически выстроен,  приведены необходимые формулы,  использована профессиональная  лексика. Задача решена правильно. Обучающийся правильно  интерпретирует полученный  результат. «4» – 70­89 (хорошо) – ответ в целом  правильный, логически выстроен,  приведены необходимые формулы,  использована професси­ональная  лексика. Ход решения задачи  правильный, ответ неверный.  Обучающийся в целом правильно  интерпретирует полученный  результат. «3» – 50­69 (удовлетворительно) –  ответ в основном правильный,  логически выстроен, приведены не  все необходимые формулы,  использована профессиональная  лексика. Задача решена частично. «2» – Менее 50  (неудовлетворительно) – ответы на теоретическую часть неправильные  или неполные. Задача не решена Экзамен представляет  собой выполнение  обучающимся заданий  билета, включающего в  себя: Задание №1 –  теоретический вопрос на  знание базовых понятий  предметной области  дисциплины (курса), а  также позволяющий  оценить степень владения  обучающимся принципами предметной области  дисциплины (курса),  понимание их  особенностей и  взаимосвязи между ними; Задание №2 – задание на  анализ ситуации из  предметной области  дисциплины (курса) и  выявление способности  обучающегося выбирать и  применять  соответствующие  принципы и методы  решения практических  проблем, близких к  профессиональной  деятельности; Задание №3 – задание на  проверку умений и  навыков, полученных в  результате освоения  дисциплины (курса). результате освоения  дисциплины (курса)  1 Положение о текущем контроле успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся по программам  бакалавриата, программам специалитета и программа магистратуры в  НОУ МФПУ «Синергия» 28 (решение задачи).  Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для процедуры оценивания знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы2 Контрольные вопросы для коллоквиума  1. Что называется матрицей? Перечислите виды матриц. 2. Какую роль в линейной алгебре играют единичная и нулевая матрицы? 3. Какая матрица называется диагональной? 4. Дайте определение квадратной матрицы. 5. Какая матрица называется транспонированной по отношению к данной? 6. Для каких матриц определена операция сложения? 7. Перечислите основные свойства сложения матриц. 8. Какие матрицы называются коммутирующими между собой? 9. Для каких матриц определена операция умножения? 10.Перечислите   основные   свойства   умножения   матриц.Для   каких   матриц применимо понятие определителя? 11.Что понимается под определителем?  12.Сформулируйте определение определителя  второго и третьего порядков. 13.Проиллюстрируйте правило треугольников. 14.Что называется минором  данного элемента  определителя? 15.Что   называется   алгебраическим   дополнением   данного   элемента определителя? 16.Какая   связь   между   минором   и   алгебраическим   дополнением   данного элемента определителя? 17.Сформулируйте   основные   свойства   определителей   и   проверьте   их   для определителей второго порядка. 18.В   чем   заключается   выражение   определителя   непосредственно   через   его элементы? 19.Опишите основные методы вычисления определителей. 20.Дайте определение обратной матрице. Всякая ли матрица имеет обратную? 21.Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы. 22.Что такое ранг матрицы? Каков смысл этого понятия? 23.Что называется базисным минором? 24.Изменится   ли   ранг   матрицы   при   перестановке   каких­либо   строк (столбцов)? 25.Изменится   ли   ранг   матрицы   при   умножении   каждого   элемента   строки (столбца) на одно и  тоже отличное от нуля число? 2 Положение о текущем контроле успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся по программам  бакалавриата, программам специалитета и программа магистратуры в  НОУ МФПУ «Синергия» 29 26.Чему равен ранг нулевой матрицы? 27.Чему равен ранг ступенчатой матрицы? 28.Что Вы понимаете под элементарными преобразованиями? 29.Какая матрица называется эквивалентной по отношению к данной матрице? 30.Что понимается под системой линейных алгебраических уравнений? 31.Запишите   в   общем   виде   СЛАУ.   Каков   смысл   величин,   входящих   в уравнения системы?   32.Дайте   определение   решения   системы,   определения   совместной, несовместной системы. 33. При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение? 34. К какой СЛАУ применим метод обратной матрицы? 35. К какой СЛАУ применимо правило Крамера? 36.Сформулируйте теорему Кронекера­Капелли. 37.Сформулируйте   алгоритм   решения   произвольной   системы   линейных уравнений. 38.  Какая   система   линейных   алгебраических   уравнений   называется однородной? 39.При   каких   условиях   система   однородных   уравнений   имеет   ненулевое решение? 40.Исследование и решение систем линейных уравнений методом Жордана­ Гаусса. 41.Однородные   системы   линейных   уравнений.   Фундаментальные   системы решений. Типовые задания практикумов по решению задач  Задание 1.  1. Вычислить  1. A 2. A 3  A 4  1   3   2   1   3   2  B    5 10 9 AB  ,   23  14   35    5  0   7  BA .    B B             652 521 231 3 4 9      2 5  31 6 5       Задание 2.  Дана: 0 2 0 5   4 2   ;      3x5  1 3 1  x7 f(x) 2     A   )a .     Найти значение матричного многочлена f(A):   )б f(x)  x5 3  x7 2  2x2  . 30           Задание 3.  Вычислить  определители матриц A и B. 9 2 8 3 5 3 8 21 41 72 21                  3 2 5 3 4 3 7 5 7 9 6 2 3 5 4           1. A B      3 2 2 3 1 4              3 7 3 2 3 5     Задание 4 Вычислить ранг матрицы. 1.   342 21 0 972       5    1  2  2.        1 3 5 10 2 1 4 9  3 2  1  5  4    1  2    9 Задание 5.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера. 1.      2 4 2 x 1 x 1 x 1    5 3 3 x x x 2 2 2    8 9 5 x 3 x 3 x 3  8  9  7 2.       x 8 x 1 2  2 3 x x 1  x x 6 8 1 2  2  x 7 3  5 x 3 x 17 3  12  7  17 Типовые задания контрольных работ  Вариант 1 1. Даны:   A   ;         2 2 5 3 5 0       1 4 1 Найти:  2. Найти произведение матриц АВ и ВА (если это возможно):  1 5  5 Т  A3D  )б       0 2 1 B5      ;     B4A4C  )a E5A2F  )в  3  1 8         ;    B .  31 )Aа  )Aб             174 423 125 432       ;         B        2 1 3      . ;         B       3 2 03 1 4      .        ) Aв   3. Дана:   1   3   1   x7 f(x)     A  0 2  0 5    2 4   ;      3x5   1 4 1  2 2 5  3 5 0      ;         B        3  1 8  1 5 5   0 2 1      . .     Найти значение матричного многочлена f(A): 2   )б   )a f(x) 4. Вычислить определители:    )a   ) б ;       cos sin 41 23  x5 3  x7 2  2x2  . sin cos   . 5. Решить уравнения:    31x2  5x 2  )б ;    )a  0  1x1x2  1x x 2  6 .       Вариант  2 1. Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников,  разложением по второй строке, по третьему столбцу, используя свойства определителей:   )a  2 5 1  4 3 12 3 2 ;     )б  1 3 3  2  4 12 5 7 15 .  2. Вычислить определители, используя разложение по какой­нибудь строке или по столбцу,  свойства определителей:  32 )a  0250 4538 1427 0140  )б  ;  2 1 3 5  1 1 2 2  3  2  1 1  1 4 3 2  . 3. Найти обратную матрицу  1A  : A       143 132 225      .  4. Решить по формулам Крамера систему уравнений:       5  4  10 x3  x 2  x2 x2 x5 3  x3 x 1 x3 1 x4   . 3 2 2 3 1 5. Исследовать на совместность, решить методом Гаусса  и Жордана­ Гаусса  систему уравнений:    x 6 x 2 3   x 3 x 2   x2 5 x 2    x6 6 3 x5 x 1 x2 x 1 x3 1  . 3 3 2 1        Промежуточная аттестация по дисциплине «Линейная алгебра»  проводится в форме экзамена. Задания 1 типа.  Теоретические вопросы на знание базовых понятий предметной  области дисциплины: 1. Понятие матрицы, виды матриц. 2. Действия над матрицами. 3. Элементарные преобразования матриц. 4. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными  преобразованиями.  5. Понятие   определителя,   определители   второго   и   третьего   порядков, свойства определителей. 6. Миноры   и   алгебраические   дополнения,   вычисление   определителей произвольного порядка n.  33 7. Вычисление определителя через элементарные преобразования. 8. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. 9. Построение обратной матрицы при помощи алгебраических дополнений. 10.Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга при помощи элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы. 11.Линейная зависимость и независимость строк матрицы. 12.Системы   линейных   алгебраических   уравнений   ­   определения   СЛАУ, однородной,   неоднородной,   совместной,   несовместной,   определенной, неопределенной СЛАУ, решений СЛАУ, равносильных СЛАУ. 13.Матрица системы уравнений и расширенная матрица системы.  14.Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.  15.Теорема Крамера. Формулы Крамера  16.Метод Гаусса решения системы линейных уравнений  17.Исследование совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера­Капелли).  18.Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система  решений.  19.Построение множества решений системы линейных уравнений. 20.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)  21.Понятие векторного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. 22.Базис   n­мерного   векторного   пространства.   Переход   к   новому   базису. Преобразование координат вектора при изменении базиса. 23.  Линейные   операторы.   Действия   с   линейными   операторами.   Изменение линейного оператора при переходе к новому базису.  24.Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.  25.Собственный вектор и собственное число линейного оператора (матрицы). 26. Квадратичные формы. 27. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.  28.Положительно определенные квадратичные формы. 29. Критерий Сильвестра.  30.Линейные   модели.   Применение   методов   линейной   алгебры   при исследовании и решении экономических задач. Задания 2 типа.  Теоретические вопросы, позволяющие оценить степень владения  обучающегося принципами предметной области дисциплины, понимание их  34 особенностей и взаимосвязи между ними: Задание  1.  Решить систему уравнений с применением теории матриц: 1)   x 2 3 ,7 z y  2 y 2 x ,2 z   x 2 z 3 .3 y                 2)             6 x 1 2 x 1 4 x 1  6 x 2  5 x  x 3 2 2 14  8  9 x 3 x 3 x 3  16  8  9 n  )   к Задание   2.    Как   свести   вычисление   определителя  n­го   порядка   ( вычислени ию определителя   П или Ш порядков? Вычислить определитель матриц А и В: 4 A         6 9 5 4  5 7 5 8 8 5 3 8  4 2 7 3        B             3 1 3 2 3 1 7    12 5 2 9 2 2 7 21 5 2 5 4 5 1 7            15 3 2 5 2 3 7 Задание 3.   Дать определение ранга матрицы. Ранг какой матрицы равен 0? Чему равен ранг матриц  A     00 10    B,     21 21    C,       0001 8765 0100       ? Задание   4.    Какая   матрица   называется   обратной   к   А.   Для   каких   матриц существует обратная ? Найти обратную матрицу для матриц А и В, если  это возможно:    23 14 35      B       652 521 231      A       1 3 2 Задание 5.  Сформулировать критерий совместности линейной системы  (теорема Кронекера­Капелли). Исследовать на совместность СЛАУ: 2 2 x 1 3 x 1    20 x 4 x x 5 x 1 3 2 4     10 9 7 x x x x 1 3 2 4    2 x 11 x 3 x 3 4     9 2 x 8 3 37 40 x 4 . 2 x 2 35 Задание 6.  В чем отличие методов Гаусса и Жордана­Гаусса?  Решить  методом Гаусса СЛАУ: 2 x 1 3 x 1  x x 1 2  x 2 2  3 x 2    3 x 3 2 x 3  x 3 x  4  x 4  x 2   3 2 x 5  x 4 5  2 x 5 4  5 x Задание 7.  В чем отличие методов Гаусса и Жордана­Гаусса?  Решить  методом Жордана­Гаусса СЛАУ: x 1 x 1 2 x 1 3 x 1  3 3 x 3  4 2  4 x 3  2  2 7 x 5  2 x 5  1 3 x 5  4  4 2 x 2  3  x  x 4  8 4  x 3  x 5  5 x x 2  x   2 x 4 2 Задание     8.      Алгоритм   построения   обратной   матрицы   при   помощи алгебраических дополнений. Найти обратную матрицу:  A       1 3 2    23 14 35      Задание  9. Какие матрицы можно умножать? Найти произведение матриц АВ и ВА (если это возможно):    )Aа     174 423    ;          B        2 1 3      . Задание    10.  Формулы   разложения.  Вычислить   определители,   используя разложение по какой­нибудь строке или по столбцу,  свойства определителей:  36 )a  0250 4538 1427 0140 б )            1 3 2  3 2  4 1  5 3 . Задания 3 типа.  Задания на анализ ситуации из предметной области дисциплины и выявление   способности   обучаемых   выбирать   и   применять соответствующие   принципы   и   методы   решения   практических   проблем, близких к профессиональной деятельности: Задание 1. Для матриц А и В определить:  )1  а)  A  1 3 2  3 2   4 1    5 3 ,                 В   2 5 6  1 2 5   1 3 2    б)  А    B )2;3 A 4 1 5 3 10 2 9   5  0   7  ,      BA В   3 4 9 2 . AB 2 5   1 3   6 5 . Задание 2. Вычислить определители матриц А и В: А  2  3 5 4  5 7  9  6 2 1  1 4 2 7 1 2 ,             В  3 2 5 3 4 3 7   9 2 8 3 5 3  8    3 2 2 3  1  4  3  7 3 2 3  5   Задание 3.  Используя матрицы А и В, вычислить методом алгебраических  дополнений и методом Жордана­Гусса:   AB  1 А  1 3 2  3 2   4 1    5 3 ,        В   2 5 6  1 2 5   1 3 2 . Задание 4. Найти ранг матрицы двумя способами: методом окаймляющих  миноров и при помощи элементарных преобразований. А    2 4 3 0 1 2  72 9 5   1   2 ,       В   2 1 1 3 5 4 10 9  3 2  1  5 4   1   2   9 . Задание 5.  Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным  37                                                      способом. После решения необходимо выполнить проверку. 8 9 5 x 3 x 3 x 3  8  9  7 ,         б)       8 x x 2 1  2 3 x x 1  8 6 x x 1 2  2  7 x 3  5 x 3 17 x 3  12  7  17 а)       2 4 2 x 1 x 1 x 1    5 3 3 x x x 2 2 2    . Задание 6.  Решить системы уравнений методом Жордана­Гаусса. Если  система является неопределенной, то в ответ записать одно базисное решение  и одно частное, не являющееся базисным.   5 x x 2 1  5 18 x x 1  x x 7 2 1  x 3 x 1   8 x 1 9 x 4 3    5 x 12 4 x 3 4 2    x 4 5 x 3 4 2 3    x 2 3 x 5 3  2 x 3  x 5 3 2   x 7 3 3   x x 3 14 3 x x  x 2 1  3 x 1  x x 2 1  2 x 3 1 ,                 б)               а)  . 2 2 4 2 Задание 7. Найдите собственные значения и собственные вектора матриц:  А  1 3 2  3 2   4 1    5 3   ,                              В  4 5 0 1 3 2 2   3   6 . 38              