Рабочий лист "Подготовка к ВПР по математике за курс 8 класса"

Подготовка к ВПР ( за курс 8 класса)

 

1. Найдите значение выражения −7,2 : (0,15 + 1,05).

2. Решите уравнение 

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

3. В спортивном зале находятся футбольные и волейбольные мячи. Число футбольных мячей относится к числу волейбольных как 4 : 8. Сколько всего мячей в спортивном зале, если волейбольных мячей 24?

4. На координатной прямой отмечены числа 0, a и b. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия:   

5. Найдите координаты точки пересечения прямой  с осью Ox.

Ответ: (; ).

6. Грунтовые воды — подземные воды, расположенные близко к поверхности земли. Грунтовые воды формируются прежде всего за счёт просачивания атмосферных осадков и воды из водоёмов. Уровень грунтовых вод обычно совпадает с уровнем воды в колодцах. В одном из колодцев, расположенном на участке земли с огородом, проводились ежемесячные измерения уровня воды в течение года. Жирными точками показан уровень воды в колодце в метрах. За нулевой уровень принимается уровень поверхности земли. Для наглядности точки соединены линией.

На диаграмме видно, что уровень воды в колодце заметно повысился в апреле. Как можно объяснить весенний подъём, а затем снижение уровня грунтовых вод? Напишите несколько предложений, в которых обоснуйте своё мнение по этому вопросу.

7. В таблице указаны тарифы на почтовые отправления в регионы России (по железной дороге).

 

Расстояние	Менее 600 км	600-2000 км	2000-5000 км	5000-8000 км	Более 8000 км
Тариф за массу до 500 г (руб.)	194	263	274	329	270
Дополнительно за каждые полные / неполные 500 г (руб.)	22	25	34	49	56

 

Посылки массой от 10 кг до 20 кг считаются тяжеловесными. Посылки, по сумме измерений превосходящие 120 см либо превосходящие хотя бы по одному измерению 60 см, считаются крупногабаритными. Максимальный разрешённый размер посылок по России 190 × 130 × 350 см. Если посылка тяжеловесная или крупногабаритная (негабаритная), она отправляется с наценкой 40%.

Из Санкт-Петербурга в Москву отправили посылку массой 14,3 кг. Размеры посылки 55 × 35 × 28 см. Расстояние между городами по железной дороге 694 км. Дополнительные услуги не предусмотрены. Сколько рублей стоит отправление такой посылки?

8. Отметьте на координатной прямой число 

9. Найдите значение выражения  при  и 

10. В среднем 6 керамических горшков из 75 после обжига имеют дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранный после обжига горшок не имеет дефекта.

11. Натуральное число сначала увеличили на 15%, а потом результат уменьшили на 25%, получилось число 4485. Найдите исходное натуральное число.

12.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён острый угол. Найдите синус этого угла.

13.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АB = 32,  Найдите длину стороны AC.

14. Какие из следующих утверждений верны?

 

1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

15. Квадратный лист бумаги ABCD согнули по линии EF так, что точка C попала на середину стороны AD (точка С₁ на рисунке). Найдите длину отрезка DE, если длина стороны листа равна 18 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Запишите решение и ответ.

16. На диаграмме показаны позиции в рейтинге популярности трёх крупных производителей технеки: Ching Quah, Funny Valentine и Vitek. На горизонтальной оси месяцы, а на вертикальной оси позиция в рейтинге. Рассмотрите диаграмму и прочтите сопровождающий текст.

Компания Vitek является ветераном рынка и всегда радовала своих покупателей хорошим качествм продукции. Ее рейтинг постоянно был достаточно высок, что говорит о надежности брэнда. В декабре компания презентовала новинку, что положительно повлияло на рейтинг — он вырос. Более того, в апреле одна очень известная медийная личность, устроив обзор своего шикарного особняка, показала большое число техники от этой фирмы, что подняло рейтинг компании ещё выше.

Ching Quah — молодая и амбициозная фирма, часто экспериментирующая с технологиями и инновациями. Их рейтинг рос, поскольку каждое творение встречалось с любопытством и интересом. Однако в феврале инженер допустил оплошность, а дистрибьютеры не увидели просчета. В итоге покупателю достался бракованный экземпляр, который нанес последнему увечья. Дело закончилось судебными разбирательствами, а рейтинг компании значительно упал.

Funny Valentine — крупная транскорпорация, основной политикой которой является консерватизм. Ее товары были всегда популярны, но упертость владельцев привела к тому, что покупатели сделали выбор в пользу более новых и современных моделей. Несмотря на постоянно высокие позиции, кривая рейтинга начала падать в феврале, как только покупатели поняли, что просто переплачивают за имя. В итоге компания все же зашевелилась и в начале марта предложила новую модель, которая была воспринята покупателями осторожно. Из-за этого рейтинг несколько вырос.

Mob inc. была развивающейся компанией. Она имела оценку выше среднего. В ноябре компания получила оценку 7, а в январе — 8. Более того, начиная с апреля оценку компании будто заморозили и она стабильно равнялась 8.

 

1. На основании прочитанного определите, какому производителю соответствует каждый из трёх графиков.

2. По имеющемуся описанию постройте схематично график, показывающий изменение рейтинговой позиции Mob Inc.

17. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АB = 7.

18. Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Проехав весь путь с постоянной скоростью, он отправился обратно со скоростью меньше прежней на 6 км/ч. Проехав половину обратного пути, он увеличил скорость до 56 км/ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость мотоциклиста на пути из А в В, если известно, что она больше 40 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

19. Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять. Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

 

РЕШЕНИЕ ВПР

1. Найдите значение выражения −7,2 : (0,15 + 1,05).

Решение. Вычислим:

Ответ: −6.

Ответ: -6

2. Решите уравнение 

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение. Решим квадратное уравнение:

Ответ: –1,252,5.

Ответ: -1,252,5

3. В спортивном зале находятся футбольные и волейбольные мячи. Число футбольных мячей относится к числу волейбольных как 4 : 8. Сколько всего мячей в спортивном зале, если волейбольных мячей 24?

Решение. Поскольку число футбольных мячей относится к числу волейбольных как 4 : 8, а волейбольных мячей 24, всего мячей в спортивном зале 

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

4. На координатной прямой отмечены числа 0, a и b. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия:   

Решение. Из первого неравенства следует, что  из второго, что  а из третьего, что x отрицательно, значит, x находится в промежутке 

5. Найдите координаты точки пересечения прямой  с осью Ox.

Ответ: (; ).

Решение. Пересечение с осью Ox означает, что координата ординаты равна 0. Следовательно,  откуда получаем, что 

 

Ответ: (−10; 0).

Ответ: -10&0

6. Грунтовые воды — подземные воды, расположенные близко к поверхности земли. Грунтовые воды формируются прежде всего за счёт просачивания атмосферных осадков и воды из водоёмов. Уровень грунтовых вод обычно совпадает с уровнем воды в колодцах. В одном из колодцев, расположенном на участке земли с огородом, проводились ежемесячные измерения уровня воды в течение года. Жирными точками показан уровень воды в колодце в метрах. За нулевой уровень принимается уровень поверхности земли. Для наглядности точки соединены линией.

На диаграмме видно, что уровень воды в колодце заметно повысился в апреле. Как можно объяснить весенний подъём, а затем снижение уровня грунтовых вод? Напишите несколько предложений, в которых обоснуйте своё мнение по этому вопросу.

Решение. Повышение уровня грунтовых вод в апреле связано с быстрым таянием снега. В мае – июне уровень грунтовых вод снижался, потому что снег сошёл, осадков выпадало мало, температура воздуха повысилась, увеличилось испарение воды с поверхности земли, вода из колодца стала использоваться для полива.

7. В таблице указаны тарифы на почтовые отправления в регионы России (по железной дороге).

 

Расстояние	Менее 600 км	600-2000 км	2000-5000 км	5000-8000 км	Более 8000 км
Тариф за массу до 500 г (руб.)	194	263	274	329	270
Дополнительно за каждые полные / неполные 500 г (руб.)	22	25	34	49	56

 

Посылки массой от 10 кг до 20 кг считаются тяжеловесными. Посылки, по сумме измерений превосходящие 120 см либо превосходящие хотя бы по одному измерению 60 см, считаются крупногабаритными. Максимальный разрешённый размер посылок по России 190 × 130 × 350 см. Если посылка тяжеловесная или крупногабаритная (негабаритная), она отправляется с наценкой 40%.

Из Санкт-Петербурга в Москву отправили посылку массой 14,3 кг. Размеры посылки 55 × 35 × 28 см. Расстояние между городами по железной дороге 694 км. Дополнительные услуги не предусмотрены. Сколько рублей стоит отправление такой посылки?

Решение. Масса посылки равна 14,3 кг, значит, посылка является тяжеловесной, поэтому отправляется с наценкой 40%. Размер посылки не превышает максимального разрешённого размера по России. Из таблицы видно, что тариф за посылку на расстояние 694 км составляет 263 рубля — за массу 500 г и 25 рублей — дополнительно за каждые полные / неполные 500 г.

Тогда стоимость посылки без наценки будет составлять:

 рубля.

С наценкой 40%:

 рубля.

Значит, отправление посылки будет составлять 1348,2 рубля.

 

Ответ: 1348,2.

Ответ: 1348,2

8. Отметьте на координатной прямой число 

Решение. Заметим, что , а  значит,  находится в промежутке  причем, близко к правой части указанного промежутка. Изобразим его на координатной оси:

9. Найдите значение выражения  при  и 

Решение. Упростим выражение:

Подставим исходные данные и найдем значение выражения:

Ответ: −12.

Ответ: -12

10. В среднем 6 керамических горшков из 75 после обжига имеют дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранный после обжига горшок не имеет дефекта.

Решение. Найдем количество исправных горшков: 75 − 6 = 69.

Таким образом, вероятность того, что горшок окажется без дефектов равна: 

 

Ответ: 0,92.

Ответ: 0,92

11. Натуральное число сначала увеличили на 15%, а потом результат уменьшили на 25%, получилось число 4485. Найдите исходное натуральное число.

Решение. Поскольку число сначала увеличили на 15%, а потом результат уменьшили на 25%, исходное натуральное число равно 4485 : 0,75 : 1,15 = 5200.

 

Ответ: 5200.

Ответ: 5200

12.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён острый угол. Найдите синус этого угла.

Решение. Достроим угол до прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4. По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы:

Синус угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, значит, он равен:

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

13.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АB = 32,  Найдите длину стороны AC.

Решение. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, поэтому найдём косинус угла A с помощью основного тригонометрического тождества.

Теперь найдём длину стороны AC:

Ответ: 24.

Ответ: 24

14. Какие из следующих утверждений верны?

 

1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.» — неверно, фигуры, у которых равны площади называются равновеликими, но они вовсе необязаны быть равными.

2) «Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.» — неверно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) «Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.» — неверно, площадь треугольника равна 

4) «Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.» — верно, площадь параллелограмма равна 

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

15. Квадратный лист бумаги ABCD согнули по линии EF так, что точка C попала на середину стороны AD (точка С₁ на рисунке). Найдите длину отрезка DE, если длина стороны листа равна 18 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Запишите решение и ответ.

Решение. В прямоугольном треугольнике C₁DE:   По теореме Пифагора,  а поскольку  получаем, что

откуда 

 

Ответ: 6,75 см.

Ответ: 6,75 см.

16. На диаграмме показаны позиции в рейтинге популярности трёх крупных производителей технеки: Ching Quah, Funny Valentine и Vitek. На горизонтальной оси месяцы, а на вертикальной оси позиция в рейтинге. Рассмотрите диаграмму и прочтите сопровождающий текст.

Компания Vitek является ветераном рынка и всегда радовала своих покупателей хорошим качествм продукции. Ее рейтинг постоянно был достаточно высок, что говорит о надежности брэнда. В декабре компания презентовала новинку, что положительно повлияло на рейтинг — он вырос. Более того, в апреле одна очень известная медийная личность, устроив обзор своего шикарного особняка, показала большое число техники от этой фирмы, что подняло рейтинг компании ещё выше.

Ching Quah — молодая и амбициозная фирма, часто экспериментирующая с технологиями и инновациями. Их рейтинг рос, поскольку каждое творение встречалось с любопытством и интересом. Однако в феврале инженер допустил оплошность, а дистрибьютеры не увидели просчета. В итоге покупателю достался бракованный экземпляр, который нанес последнему увечья. Дело закончилось судебными разбирательствами, а рейтинг компании значительно упал.

Funny Valentine — крупная транскорпорация, основной политикой которой является консерватизм. Ее товары были всегда популярны, но упертость владельцев привела к тому, что покупатели сделали выбор в пользу более новых и современных моделей. Несмотря на постоянно высокие позиции, кривая рейтинга начала падать в феврале, как только покупатели поняли, что просто переплачивают за имя. В итоге компания все же зашевелилась и в начале марта предложила новую модель, которая была воспринята покупателями осторожно. Из-за этого рейтинг несколько вырос.

Mob inc. была развивающейся компанией. Она имела оценку выше среднего. В ноябре компания получила оценку 7, а в январе — 8. Более того, начиная с апреля оценку компании будто заморозили и она стабильно равнялась 8.

 

1. На основании прочитанного определите, какому производителю соответствует каждый из трёх графиков.

2. По имеющемуся описанию постройте схематично график, показывающий изменение рейтинговой позиции Mob Inc.

Решение. 1. Заметим что серьезный спад в феврале случился на 3 графике. Следовательно, это график Ching Quah. Заметим, что на втором графике виден рост в начале марта, а до этого — серьезный спад. Следовательно, это график Funny Valentine. Тогда на первом графике — компания Vitek.

2. Например,

17. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АB = 7.

Решение. Углы  как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AM. Углы  так как AM — биссектриса. Получается , следовательно, треугольник ABM равнобедренный, поэтому 

Аналогично доказывается, что треугольник MCD равнобедренный.

Получается  а 

Периметр параллелограмма ABCD: 

 

Ответ: 42.

Ответ: 42.

18. Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Проехав весь путь с постоянной скоростью, он отправился обратно со скоростью меньше прежней на 6 км/ч. Проехав половину обратного пути, он увеличил скорость до 56 км/ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость мотоциклиста на пути из А в В, если известно, что она больше 40 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Решение. Пусть весь путь составляет 2s км, а скорость мотоциклиста на пути из А в В v км/ч, тогда первую половину обратного пути мотоциклист ехал со скоростью (v − 6) км/ч. Получаем уравнение:

Условию задачи удовлетворяет корень v = 48.

 

Ответ: 48 км/ч.

Ответ: 48 км/ч.

19. Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять. Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Решение. Пусть n и m — число синих и красных карандашей соответственно. Тогда

Положим  то есть нужная нам сумма, тогда  и

Следовательно,  откуда 

Можно купить не больше 31 карандаша. Осталось проверить, возможен ли случай, когда s = 31. При m = 13, n = 18 получаем

13 · 18 + 18 · 14 = 486 < 499.

Значит, наибольшее возможное число карандашей 31.

 

Ответ: 31.

Ответ: 31.