Равнопеременное прямолинейное движение

Равнопеременное прямолинейное движение.

Равноускоренное движение

Равнопеременным прямолинейным движением материальной точки (тела) называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени    ∆t₁ = ∆t₂ = ... = ∆t_n    изменяется соответственно на равные величины     a=Δv₁Δt₁=Δv₂Δt₂=...=Δv_nΔt_n.

Векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости, численно равную отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло: a=ΔvΔt,  называют ускорением.

В Международной системе единиц ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (1 м/с²).

Траекторией материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении является прямая линия.

Различают два вида равнопеременного прямолинейного движения: равноускоренное прямолинейное движение и равнозамедленное прямолинейное движение.

Скорость материальной точки при равнопеременном движении изменяется по закону: v⃗ (t)=v⃗₀+a⃗t,

где v⃗ (t) — вектор скорости точки в произвольный момент времени t; v⃗ 0 — вектор ее начальной скорости; a⃗  — вектор ускорения.

Модуль скорости при равнопеременном движении может как увеличиваться (равноускоренное движение), так и уменьшаться (равнозамедленное движение).

Уравнение движения материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении записывается в виде:  r⃗ (t)=r⃗₀+v⃗₀t+a⃗ t₂/2,

где r⃗ (t) — радиус-вектор положения точки в произвольный момент времени t; r⃗ 0 — радиус-вектор начального положения материальной точки.

Если равнопеременное прямолинейное движение материальной точки (тела) происходит вдоль одной из координатных осей (например, Ox), то уравнение движения целесообразно записывать в виде:  x(t)=x₀+v₀xt+a_xt²/2, а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —   v_x(t) = v₀x + a_xt,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; ax — проекция ускорения на данную ось.

Равноускоренным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени увеличивается на равные величины.

Векторы скорости v⃗  и ускорения a⃗  при таком движении имеют одинаковые направления.

Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox.

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения положительные),

Рис. 1.4

то уравнение движения принимает вид (рис. 1.4):   x(t)=x₀+v₀t+at²/2,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —   vx(t) = v₀ + at,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; ax — проекция ускорения на данную ось.

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения отрицательные),

Рис. 1.5

то уравнение движения выглядит следующим образом (рис. 1.5):   x(t)=x₀−v₀t−at²/2,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —   v_x(t) = −v₀ − at,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; ax — проекция ускорения на данную ось.

При равноускоренном прямолинейном движении модуль вектора перемещения и пройденный материальной точкой (телом) путь совпадают и могут быть вычислены с помощью формулы    S(t)=v₀t+at²/2     

где v₀ — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

При равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости путь, пройденный телом за n-ю секунду, рассчитывается по формуле  Sn=a(2n−1)2=(n−0,5)a,    где a — модуль ускорения.

Равнозамедленным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени уменьшается на равные величины. Вектор скорости v⃗  и вектор ускорения a⃗  при таком движении имеют противоположные направления:

v⃗  ↑↓ a⃗ 

Равнозамедленное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox.

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox, то вектор ее ускорения имеет направление, противоположное указанной оси (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Уравнение движения в этом случае имеет вид:  x(t)=x₀+v₀t−at²,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

vx(t) = v₀ − at,   где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; ax — проекция ускорения на данную ось.

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекция начальной скорости отрицательная), то вектор ее ускорения направлен в положительном направлении указанной оси (проекция ускорения положительная) (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Уравнение движения выглядит следующим образом:   x(t)=x₀−v₀t+at²/2,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —  v_x(t) = − v₀ + at,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; ax — проекция ускорения на данную ось.

При равнозамедленном прямолинейном движении существует точка остановки (точка поворота), где скорость обращается в нуль.

До точки остановки тело движется равнозамедленно (в ту сторону, куда направлен вектор начальной скорости v⃗ 0).

После точки остановки тело разворачивается и движется в противоположном направлении равноускоренно с нулевой начальной скоростью.

Путь, пройденный материальной точкой (телом) за определенный интервал времени при равнозамедленном прямолинейном движении, вычисляют по-разному в зависимости от того, содержит ли данный интервал точку остановки.

Если точка остановки не попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как    S(t)=v₀t−at22 или S=v²₀−v²/2a,

где v₀ — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

Если точка остановки попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как сумму:  S(t) = S₁ + S₂,

где S₁ — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁ до τ_ост; S₂ — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от τ_ост до t₂ (рис. 1.9):

Рис. 1.9