РЕШЕНИЕ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ                                        

КООРДИНАТНО – ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

ПОЛЕЗНАЯ    ИНФОРМАЦИЯ    ПО    ГЕОМЕТРИИ

1.       Признак  параллельности  прямой  и  плоскости:                                                           

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна и самой плоскости;

2.       Признак  перпендикулярности  прямой  и  плоскости:                                    

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости;

3.       Признак  перпендикулярности  плоскостей:                                                          

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны;

4.       Признак  скрещивающихся  прямых:                                                                               

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся;

5.       Угол  между скрещивающимися  прямыми  a и b– это угол между пересекающимися прямыми  ^a₁ и  ^b₁ соответственно параллельными данным  прямым, т.е. такими, что a || ^a₁ и b || ^b₁

6.       Угол между прямой и плоскостью – это угол между данной прямой и еѐ проекцией на данную плоскость; 

7.       Пусть плоскости  и  пересекаются по прямой  p.  Угол, образованный перпендикулярами  к  прямой  p, исходящими из одной точки и лежащими в плоскостях  и , называется линейным углом двугранного угла;

8.       Иногда  угол  между плоскостями  выгодно заменить равным ему углом между прямыми, перпендикулярными  этим  плоскостям;

9.       Теорема о трѐх перпендикулярах: Прямая, проведѐнная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к еѐ проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной;

10.   Расстояние от точки М до плоскости треугольника ABC можно находить

                                                                                                                                                1                           1

методом вспомогательного объѐма VMABC  SABC  hABC  SABM  hABM ;

                                                                                                                                                3                           3

11.   Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD:

                                               6V^ABCD              , где  – угол между прямыми AB и CD;

h _

AB  CD sin

12.   Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну. Расстояние  между этими плоскостями равно расстоянию между данными скрещивающимися прямыми;

13.   Расстояние  между  скрещивающимися  прямыми a и b равно расстоянию от прямой  a до плоскости   такой, что b и a || ;  

14.   Расстояние от прямой a до  параллельной  ей  плоскости   равно       

расстоянию от любой точки этой прямой до данной плоскости;

15.   Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции:  ^S_  S cos.

МЕТОД  КООРДИНАТ

•      Нахождение угла между двумя прямыми: cosa; b  cosl ; ^l       ,

где ^l_a и ^l_b – направляющие векторы прямых a и b;

•      Нахождение угла между двумя  плоскостями:

                        cos;   cosn                                    , где ⁿ_ и ⁿ_ – нормальные векторы к

плоскостям  и ;

•      Нахождение  угла  между  прямой  и   плоскостью:

                       sina;  cosl ; ⁿ                , где l_a – направляющий вектор прямой a и

ⁿ_ – нормальный вектор к плоскости ;

•      Уравнение  плоскости:  ax  by  cz  d  0, где na, b, c – нормальный вектор

 к плоскости;

•      Расстояние  от  точки M^x₀, ^y₀, ^z₀^ до  плоскости, заданной  уравнением

ax  by  cz  d  0 :         h  ;

•      Скалярное  произведение  векторов a^x₁, ^y₁, ^z₁ и b^x₂, ^y₂, ^z₂ : 

                       a b  | a | | b | cos;    a b  x₁x₂  y₁y₂  z₁z₂

•      Модуль  вектора pa, b, c :     p  a² b² c²

    Ребро куба  равно 6. Точка N – середина ребра BC, а точка М  лежит на ребре ^AA₁, причѐм AM : ^MA₁ 1: 2. Определите:

1)     Угол между прямыми MN и ^BC₁

2)     Угол между прямой MN и плоскостью ^BC₁^D₁

3)     Угол между плоскостями  ^D₁MN и ^B₁^C₁^D₁

4)     Расстояние от точки N до плоскости  ^BC₁^D₁

5)     Расстояние между прямыми  MN и ^BC₁

6)     Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки 

                       Рисунок 1                                  M,N и ^D₁

Решение: 1)   ( рисунок 1)

        Рассмотрим прямоугольную систему координат : Dxyz.  

Воспользуемся формулой  нахождения угла между двумя прямыми:

MN  BC₁

cosMN ; BC₁ cosMN; BC₁               , 

MN | | BC₁

где MN и ^BC₁ – направляющие векторы прямых MN и ^BC₁         Определим координаты точек:  

C₁0; 6; 6, B6; 6; 0,

                                                               1            1

AM :MA₁ 1:2  AM  AA₁     6  2  M6;0; 2

                                                               3            3                                  

BN  NC  NC BC AD 6  3 N3;6;0

MN36; 60; 0 2 3; 6;  2 BC₁06; 66; 60 6; 0; 6

                                                       366 0 2 6                     6                 6            2

cosMN; BC1 32 62  22  62 02 62  49  72  42 2  14

2

 MN; BC₁ arccos

14

2

arccos

ОТВЕТ:               14

                                                                   2)  (рисунок 2)

 – угол между прямой MN и плоскостью ^BC₁^D₁

Воспользуемся формулой  нахождения угла между прямой и   плоскостью:

           MN  nBC₁D₁ MN | | nBC₁D₁  

                                                                                          sin  cosMN; nBC₁D₁                        , где MN –

 направляющий вектор прямойвектор к плоскости;  MN   и nBC1D₁ – нормальный Рисунок 2

          Составим уравнение плоскости  ( ^BC₁^D₁):   ax  by  cz  d  ⁰

Точки ^D₁0; 0; 6, ^C₁0; 6; 6, B6; 6; 0^ принадлежат плоскости, значит их координаты обращают уравнение плоскости в верное равенство. Таким образом, мы получаем систему уравнений

   0a  0b  6c  d  0, _c   d6 .  d6 x  0 y _ d6 _z  d  0 _ d6 _

_

      6                                                                                      1 1

MN  n

sin^{1 1}

MN | | nBC₁D₁

                                  5 2

ОТВЕТ:  arcsin       

14

          31 60  21                  5        5     2

32  62   22  12  02 12     7            2       14

3)   построим плоскость (для координатного метода строить полное сечение не обязательно, но в некоторых задачах №14 ЕГЭ профильного уровня необходимо умение строить сечение многогранника плоскостью, проходящей через три точки. Секущая плоскость пересекает грани куба по прямым, которые можно построить однозначно через две точки плоскости. Это значит, что

мы сможем просто провести прямую ^MD₁

   Остальные точки необходимо построить: в боковой грани ^ADD₁^A₁прямые ^MD₁ и AD пересекаются в точке Р.

    В нижнем основании теперь можно провести прямую PN,

Рисунок 3                     которая пересекает AB в точке L, а DC  – в точке T. Прямая ^TD₁ пересекает ребро ^CC₁в точке K, Т.о. сечение ^MLNKD₁– искомое

 Плоскость ^B₁^C₁^D₁– верхнее основание 

   Воспользуемся формулой  нахождения угла между двумя  плоскостями:

n  n

cos;  cosn_; n_            , 

n | | n

где ⁿ_ и ⁿ_ – нормальные векторы к плоскостям  и ;

^B₁^C₁^D₁– верхнее основание. Вектор еѐ нормали ^DD₁0; 0; 6 ^DD₁  ⁶

      Составим уравнение плоскости  MLNKD₁.  проходящей через точки D₁0; 0; 6, M6; 0; 2, N3; 6; 0^ и получим систему:

c   d .

0a  0b  6c  d  0,    _    d6

_

_6a  0b  2c  d  0,  b  ,

_3a  6b  0c  d  0,        9d

a   9

 d x  d y ^_ d _^z  d  0 _^18^_

      9        9         6                   d 

2x  2 y  3z 18  0 уравнениеплоскостиMND₁^

17

3 17

ОТВЕТ: ; arccos

17

4)                Для решения этой задачи воспользуемся формулой   расстояния от точки N^x₀, ^y₀, ^z₀  до плоскости BC₁D₁, заданной уравнением x  0 y  z  6  0 (см. пункт 2):   

5)                Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти, как расстояние от любой точки одной прямой, до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельную первой прямой:  MN, ^BC₁^BC₁, ^MNK₁B, ^MNK₁, где ^K₁ – середина ^CC₁;   Уравнение плоскости, проходящей через точки  ^K₁0; 6; 3, M6; 0; 2, N3; 6; 0 

c   d .

                           _0a  6b  3c  d  0,     58d              d        5d         d                         ^  48^

6a  0b  2c  d  0, b  ,   x  y  z  d  0 _ _ _3a  6b  0c  d  0,  d48 8 48 8  d 

a  



примет вид                                                           8                                                                               

36  30  0 48      18 6x 5y 6z48  0 уравнениеплоскостиKMNB, KMN  

                                                                                                                                                                                   36  2536           97

ОТВЕТ:  

6)Используем формулу площади ортогональной проекции 

S^ , где DQD₁  уголмеждусечениемиеёпроекцией

S_  Scos S_сеч 

                                                         cos                                                                                  

S_  S_осн  S_LBN  6²  ¹  3 3  36  4,5  ⁶³;cos cos;     ³                     S_сеч                                                                                                        ,

                                                             2                                 2                                             17

21 17

ОТВЕТ: ,

2