Реферат

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  Пеновская средняя общеобразовательная школа имени Е.И. Чайкиной.                                                          РЕФЕРАТ                               по информатике Системы счисления                                                                    работу выполнил:                                                                                   обучающийся 8Б класса                                                                                   МБОУ Пеновская СОШ                                                                                  имени Е.И. Чайкиной                                                                                              Тиккер Алексей.                                                                                Руководитель работы:                                                                                    учитель математики и                                                                                      информатики                                                                                                   Рябочкина С.В. п. Пено,  2017                                                  СОДЕРЖАНИЕ     ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………… 3 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ: 4 1.1.    Что такое система счисления……………………………………......... 5 1.2.    История возникновения систем счисления………………………….. 6 1.3.    Системы счисления: древние и современные……………………….. 11 1.4.   Перевод целых  чисел  из одних систем счисления в другие……….. 14 ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………… 15              2 Введение В коробке лежит 31 шар. Среди них 12 красных и 17 синих.   Может ли такое быть? На первый взгляд такой вопрос может показаться странным, и даже любой первоклассник ответит на него отрицательно. Но это только на первый взгляд. В привычной для нас десятичной системе счисления это утверждение верным назвать нельзя, но если посмотреть на это равенство в другой системе счисления, оно вполне может оказаться верным.  Цель   моего   реферата:    изучение   возникновения   и   развития   числа, системы счисления, правил перевода  целых чисел из одной системы в другую. Задачи: с     историей   числа Познакомиться   Изучить Изучить правило перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.                                           различные   и   системы   счисления. счисления. системы     виды                                                              3 Что такое система счисления Система счисления ­ совокупность правил наименования и изображения чисел   с   помощью   набора   символов,   называемых   цифрами.   Количество   цифр (знаков),   называют основанием системы счисления.   используемых   для   представления   чисел   Различные системы счисления, которые существовали  раньше и которые используются   в   настоящее   время,   делятся   на   две   группы:   позиционные   и непозиционные. Наиболее   совершенными   являются   позиционные   системы   счисления,  т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300. Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными. Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы: V  5  X  10  L  50  I 1 В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются. C 100  500  1000  D  M VI=5+1=6                                       IV= 5 – 1=4 Позиционные   системы   счисления   ­   результат   длительного   исторического развития непозиционных систем счисления.                                             4 История возникновения систем счисления   Потребность   в   записи   чисел   появилась   в   очень   древние   времена,   как только люди начали считать. Количество предметов изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой ­ либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждому предмету  в такой   записи   соответствовала   одна   чёрточка.   Археологами   найдены   такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 ­ 11 тысяч лет до н.э.). Учёные   назвали   этот   способ   записи   чисел   единичной   ("палочной"   или унарной) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков ­ "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью   строки,  составленной   из   палочек,   количество   которых   и  равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.         Древние   люди   добывали   себе   пищу   главным   образом   охотой. На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем. Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, но вот хотя бы так: пять человек справа, слева. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как “пять” или ”семь”, он мог показать числа на пальцах рук.    Так начинали учиться считать, пользуясь тем, что дала сама природа, ­ собственной пятерней. четыре семь     сзади,     Пальцы   оказались   прекрасной   вычислительной   машиной.   С   их   помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. В странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Научившись считать  по пальцам   до   десяти,   люди   стали   считать   десятками.  Таким   путем,   основой счисления чаще всего становились числа 5, 10 или 20. Понятно, что системы счисления с более высоким основанием возникли позже, чем с низшим. Благодаря связям между племенами, усилению обмена между ними, наименования числительных и систем счислении объединялись. Системы с низшим   основанием   оказались   менее   пригодными,   чем   десятичная.   С   другой стороны,   и   системы   с   высоким   основанием   как   двадцатеричная   система,   не оправдывались  на практике, ибо они требовали  запоминания  большого  числа особых   слов   –   названий   низших   числительных.   Таким   образом,   в   процессе естественного   отбора   в   подавляющем   большинстве   случаев   выжила   система счисления с основанием «средней» величины ­ десятичная. 5 Системы счисления: древние и современные В   мире   существовали   и   существуют   различные   виды   систем   счисления. Например, система счисления племени Майя  включала позиционность и нуль. Первые девятнадцать чисел системы счисления были представлены точками и черточками, согласно следующей таблице: Нуль   записывался   как   символ,   похожий   на   раковину   (домик   улитки). Многозначные числа большие  19, записывались вертикально, начиная с единиц высшего разряда сверху вниз. Это двадцатеричная система счисления. В древнем Вавилоне примерно за  40 веков до нашего времени  создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой   цифрой.   Для   малых   чисел   вавилонская   система   счисления   в   основных чертах напоминала египетскую.   ­1      ­10.   Например число 23 записывалось так :  Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа.  Вавилоняне   заметили,   что   в   качестве   коллективных   символов   более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они   будут   занимать   в   записи   числа   новое   положение   левее   предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 6 102,   и  103.   При   обозначении   чисел   больше  60  знаки,   выступающие   в   новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции»,   и   единицы   более   высокого   порядка   располагались   слева,   с небольшими пробелами между ними. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных.  Так, например, число 302 будет иметь вид:  302 = 5 х 60 + 2      то есть             А число 3725:  Это шестидесятеричная система счисления. Встречается шестидесятеричная система счисления и в наше время: 1 час = 60 минут = 3600 секунд, окружность делят   на   360,   то   есть   6*60   градусов,   градус   ­   на   60   минут,   а   минуту   ­   на шестьдесят секунд.  то есть 3725 = 1 х 60 х 60 + 2 х 60 + 5     У ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления.  Долгое   время   пользовались   пятеричной   системой   счисления   и   в Китае.   Очевидна   связь   этой   системы   счисления   со   строением   человеческой руки.    Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии,     была   существенно   облегчена   тем,   что   иероглифические   надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления.  1.   Как   и   большинство   людей   для   счета   небольшого   количества предметов Египтяне использовали палочки. Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше. 10. Такими путами египтяне связывали коров Если   нужно   изобразить   несколько   десятков,   то   иероглиф повторяли   нужное   количество   раз.   Тоже   самое   относится   и   к остальным иероглифам. 100.   Это   мерная   веревка,   которой   измеряли   земельные   участки после разлива Нила. 1 000. Вы когда­нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда   не   понять,   почему   Египтяне   присвоили   такое   значение изображению этого цветка. 7 10 000. "В больших числах будь внимателен!" ­ говорит поднятый вверх указательный палец. 100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик. 1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф 10 000 000.   Египтяне   поклонялись   Амону   Ра,   богу   Солнца,   и, наверное,   поэтому   самое   большое   свое   число   они   изобразили   в виде восходящего солнца.                       Серьезным   соперником   десятичной   системы   счисления   оказалась двенадцатерична,  которая имела довольно широкое распространение. Вместо десятков применяли при счете дюжины, т.е. группы из двенадцати предметов. Происхождение её тоже связано со счётом на пальцах. Считали большой палец руки   и   фаланги   остальных   четырёх   пальцев:   всего   их   12.   Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранилась в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся   в   быту   с   двенадцатеричной   системой   счисления:   чайные   и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков – 12 штук. В году 12 месяцев, сутки составляют 24 часа=12*2.  В середине V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа, так называемая алфавитная нумерация. В этой системе записи числа обозначались при помощи букв  алфавита:   первые   девять   букв  обозначали   числа   от 1  до  9,  следующие девять ­ числа 10, 20, 30, ..., 90, и следующие девять ­ числа 100, 200, ..., 900. Алфавитная система была принята и в Древней Руси. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой   Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как   следует   по   славянскому   алфавиту,   то   есть   используются   только   буквы, которые есть в греческом алфавите.  записью     чисел. 8 До   XVII   века   эта   форма   записи   чисел   была   официальной   на   территории Белоруссии,   До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.    Сербии   и   Хорватии.   Венгрии,   Украины,   Болгарии, В   России   славянская   нумерация   сохранилась   до   конца  XVII   века.   При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. Арабская   ­   самая   распространенная   на   сегодняшний   день   нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации – Индия. Применяемые в настоящее время цифры 1234567890 сложились   в   Индии   около   400   г.н.э.     Форма   индийских   цифр   претерпевала многообразные   изменения.   Марокканский   историк   Абкелькари   Боужибар считает,   что   арабским   цифрам   в   их   первоначальном   варианте   было   придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры. Так, единица создает лишь один угол, тройка ­ три, пятерка ­ пять и т.п. нуль не образует никакого угла, поэтому он не имеет никакого содержания. Та форма, которой мы сейчас пользуемся, установилась в XVI веке. В   конце   ХХ   века,     века   компьютеризации,     человечество   пользуется двоичной   системой      ежедневно,   так   как   вся   информация,   обрабатываемая современными   ЭВМ,   хранится   в   них   в   двоичном   виде.   В   современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также   графическую   и   звуковую   информацию.   Количество   информации, хранящейся   в   ЭВМ,   измеряется   ее   «длиной»   (или   «объемом»),   которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра). Двоичная система   счисления   была   придумана   математиками   и   философами   ещё   до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае. Идея двоичной 9 системы   была   известна   и   древним   индусам.  Представление   информации   в двоичной   системе   использовалось   человеком   с   давних   времен.   Так,   жители островов   Полинезии   передавали   необходимую   информацию   при   помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский   телеграф.   В   телеграфе   в   XIX–XX   веках   информация передавалась с помощью азбуки Морзе – в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» – комбинации коротких и длинных звонков.   В 1936 — 1938 годах американский   инженер   и   математик   Клод   Шеннон   нашёл   замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Двоичная система   счисления  (Бинарная  система  счисления,   binary) ­­ позиционная   система   счисления   с   основанием   2.   Для   представления   чисел используются символы 0 и 1. Восьмеричная  —   позиционная   целочисленная   система   счисления   с основанием   8.   Для   представления   чисел   в   ней   используются   цифры   0   до   7. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами.   Ранее   широко   использовалась   в   программировании   и компьютерной   документации,   однако   в   настоящее   время   почти   полностью вытеснена шестнадцатеричной. Шестнадцатеричная  (наиболее   распространена   в   программировании,   а также   в   шрифтах)   —   позиционная   система   счисления   по   целочисленному основанию   16.   Обычно   в   качестве   шестнадцатеричных   цифр   используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от   10   до   15.   Широко   используется   в   низкоуровневом   программировании   и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной   единицей   памяти   является   8­битный   байт,   значения   которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы,   как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств,  все­таки приходится обращаться к другим системам счисления,   например   к   троичной,   семеричной   или   системе   счисления   по основанию 32.                                            10 Перевод целых  чисел из одних систем счисления в другие Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:  Х2= Аn∙2n­1 + Аn­1∙2n­2 + Аn­2∙2n­3 +…+А2∙21 + А1∙20  При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки: n(степень) 2n 0 1 1 2 2 4 3 8 4 5 6 7 8 9 10 16 32 64 128 256 512 1024     Пример: Число 111010002 перевести в десятичную систему счисления: 111010002= 1∙27 + 1∙26 + 1∙25 +0∙24 + 1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=23210   Для   перевода  восьмеричного   числа   в   десятичное  необходимо   его записать   в   виде   многочлена,   состоящего   из   произведений   цифр   числа   и 11 соответствующей   степени   числа   8,   и   вычислить   по   правилам   десятичной арифметики: Х8= Аn∙8n­1 + Аn­1∙8n­2 + Аn­2∙8n­3 +…+А2∙81 + А1∙80 При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки: n(степень) 8n 0 1 1 8 2 3 4 5 6 64 512 4096 32768 262144 Пример: Число 750138 перевести в десятичную систему счисления: 750138= 7∙84 + 5∙83+ 0∙82 +1∙81 + 3∙80=3124310 Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать   в   виде   многочлена,   состоящего   из   произведений   цифр   числа   и соответствующей   степени   числа   16,   и   вычислить   по   правилам   десятичной арифметики: Х16= Аn∙16n­1 + Аn­1∙16n­2 + Аn­2∙16n­3 +…+А2∙161 + А1∙160 При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:  n(степень) 16n 0 1 1 16 2 3 4 5 6 256 4096 65536 1048576 16777216 Пример: Число FDA116 перевести в десятичную систему счисления: FDA116= 15∙163 + 13∙162 + 10∙161 +1∙160=6492910 Для   перевода  десятичного   числа   в   двоичную  систему   его   необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления:     2210  = 101102            Для   перевода  десятичного   числа   в   восьмеричную  систему   его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший   или   равный   7.   Число   в   восьмеричной   системе   записывается   как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число57110  перевести в восьмеричную систему счисления.      57110=10738 Для   перевода  десятичного   числа   в   шестнадцатеричную  систему   его необходимо   последовательно   делить   на   16   до   тех   пор,   пока   не   останется остаток,   меньший   или   равный   15.   Число   в   шестнадцатеричной   системе записывается   как   последовательность   цифр   последнего   результата   деления   и остатков от деления в обратном порядке. 12 Пример:   Число746710  перевести   в   шестнадцатеричную   систему   счисления. 746710=1D2B16    Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить   на   триады   (тройки   цифр),   начиная   с   младшего   разряда,   в   случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей   восьмеричной   цифрой.   При   переводе   необходимо пользоваться двоично­восьмеричной таблицей: 2­ная 000 8­ная 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Пример: Число 1001011 перевести в восьмеричную систему счисления:     001 001 0112=1138  Чтобы перевести число из  двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить   соответствующей   восьмеричной   цифрой.   При   переводе   необходимо пользоваться двоично­шестнадцатеричной таблицей: 2­ная 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 16­ная 0 1 2 3 4 5 6 7 2­ная 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 16­ная 8 9 A B C D E F Пример:   Число   1011100011   перевести   в   шестнадцатеричную   систему счисления:    0010 1110 00112=2E316 Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления:  5318=101 011 0012 Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой. Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления: ЕЕ816=1110111010002  При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему. Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления: FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528  13 Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:  66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16                                                                                  Заключение      Работая над рефератом по теме «Системы счисления», я узнал   много новых и интересных фактов о происхождении чисел и систем счисления, о том, как люди в разные эпохи учились считать, как изображали цифры и числа, что люди   пользовались   различными   системами   счисления,   позиционными   и непозиционными.   Многие   системы   счисления   имеют   анатомическое происхождение.   Элементы   некоторых   систем   счисления   имеют   практическое применение   в   наши   дни.   Общеупотребительной   системой   счисления   стала десятичная   система   счисления.   Но   и   другие   системы   счисления   имеют практическое применение, например системы счисления с основаниями 2, 8, 16 широко используются в программировании   и в компьютерной документации. 14 Материал   данного   реферата     как   на   уроках информатики в качестве дополнительного, так и на уроках математики.  Ксати, задачка,     данная   во   введении,       имеет   решение   в   восьмеричной   системе счисления.   может   быть   использован     Надеюсь,   что   и   Вам   данный   реферат   был   интересен,   и,   прочитав нижеследующее  стихотворение,  Вы  не  будете  рисовать  в  своем  воображении монстра. Ей было 1100 лет. Она в 101 класс ходила. В портфеле по 100 книг носила. Всё это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И 10 загорелых рук Портфель и поводок держали. И 10 тёмно ­ синих глаз Оглядывали мир привычно. Но станет всё совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. Список литературы                             1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004. 2. Глейзер Г. И.. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964. 3. Кессельман В.С. Занимательная математика. М.:АСТ: Астрель, 2008. 4.   Симонович С. В.   Практическая информатика. Учебное пособие для средней школы. Универсальный курс. – М.: АСТ­ПРЕСС. Инфорком – Пресс, 1999 .  Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987. 5. 15 16