Решение тригонометрических уравнений профильного уровня с ОДЗ.

Тригонометрические уравнения профильного уровня из материалов ЕГЭ.

Справочный материал.

                                       Часть 3.

Исследование ОДЗ.

1. )  Решите уравнение

 б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что первый множитель содержит тангенс, поэтому Второй множитель  — квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения уравнения задается неравенством На это области второй множитель не обращается в нуль. Рассмотрим случай, когда нулю равен первый множитель. Последовательно получаем:

б)  Корни из отрезка отберём с помощью единичной окружности. Получаем и      Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

512335

а) б)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

2.     а)  Решите уравнение  б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Получаем:

б)  Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем и    Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

512356

а) б)

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

3.    а)  Решите уравнение: б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

a)  Решим уравнение:

б)  Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем и      Ответ: а) б)

4. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Используя формулу синуса двойного угла и формулу приведения, имеем:

б)  При помощи единичной окружности находим, что отрезку принадлежит только корень

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

509820

а) б)

Источник: ЕГЭ по математике 2015. Досрочная волна, резервная волна (часть С)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

5.   а)  ешите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Левая часть уравнения определена при то есть при Числитель дроби должен быть равен нулю:

Серию нужно отбросить. Получаем ответ:

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке

Ответ: а) б)

6. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Область определения данного уравнения задается условием

При этом условии имеем:
откуда или

Корни уравнения не удовлетворяют условию а из уравнения получаем или

б)  Из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

7. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Решим уравнение

б)  Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:

Тогда искомый корень

Примечание.

Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.).

 Ответ: а) б)

8. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения, пр  инадлежащие промежутку

Решение. а)  Выполним преобразования:

Из уравнения (1) находим:

Так как решения уравнения (a) не удовлетворяют условию (2), то окончательно получаем

б)  Из решений, найденных в пункте а), промежутку принадлежит только одно число:      Ответ: а) б)

9. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Перейдём к системе:

Рассмотрим первое уравнение системы:

Условию удовлетворяют только решения и

б)  На отрезке корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем:

Ответ: а) б)

10. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Найдем область определения уравнения:

Найдем корни числителя, используем формулу

Откуда

С учетом области определения уравнения получаем:

б)  Заметим, что значит, из первой серии корней указанному отрезку принадлежит только

Из неравенств следует, что ни один из корней второй серии не принадлежит указанному отрезку.

Ответ: а) б)

11. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поскольку при условии имеем:

Корни первой серии не удовлетворяют условию положительности синуса, поэтому решением уравнения являются только числа

б)  Разность между соседними корнями в серии равна 2π. Поэтому на отрезке имеющем длину 3π, лежит ровно одно число этой серии. Это число

Ответ: а) б)

12. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то есть Преобразуем уравнение при этом условии:

Условию удовлетворяет только

б)  Отберём корни при помощи двойного неравенства:

Указанному отрезку удовлетворяет только

Ответ: а) б)

13. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что уравнение определено при условии и то есть Преобразуем его при этом условии:

В области определения лежат только

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят

Ответ: а) б)

14. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение при условиях :

Ограничениям соответствует только откуда

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят корни 0 и

Ответ: а) б) 0,

15. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют. Первый множитель равен нулю, если откуда При всех таких х второй множитель существует, поскольку он определен для любых значений переменной.

Рассмотрим второй случай:

Проверим выполнение условия Числа вида не подходят, поскольку тангенс любого из них равен нулю. Серия также посторонняя, поскольку соответствующие точки лежат во второй четверти, где тангенс отрицателен. Наконец, используя периодичность тангенса, его нечетность и применяя формулу приведения, получаем, что для всех k:

поэтому серия подходит.

Объединяя случаи, заключаем, что решениями уравнения являются или

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.), подходят числа и

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

626816

а) б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 382.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Перебор случаев, Формулы двойного угла

16.

а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Перейдём к системе:

Получаем

или

При не выполнено условие При находим

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

628749

а) б)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

17.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Упростим правую часть уравнения:

сокращать на можно при условии Далее получаем:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят

Ответ: а) б)

18. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Уравнение определено, если

При таких значениях переменной знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения равны и отличны от нуля, а значит, должны быть равны числители этих дробей. Решим уравнение:

В области определения лежат серии корней

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят:

Примечание.

Выше мы решили уравнение применив формулу приведения и формулу разности косинусов. Можно было использовать условие равенства косинусов:

откуда в нашем случае получаем:

Критерии проверки:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 399.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Разложение на множители, Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

19.   а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие интервалу

Решение. а)  Дважды применим к левой части уравнения формулу синуса двойного угла:

откуда получаем:

Правая часть уравнения определена, если котангенс существует и отличен от  ±1, то есть при где Упростим ее при этих условиях, используя формулу разности квадратов:

Используем свойство пропорции и раскроем скобки:

В силу формулы получаем:

б)  Интервал можно получить поворотом интервала на угол –2π, поэтому достаточно найти решения, лежащие на интервале а затем уменьшить их на  –2π.

Заметим, что а потому в силу убывания арккосинуса

Следовательно,

Интервалу принадлежат корни на  –2π меньшие, то есть числа:

   и

Корни на интервале

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение: б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2. а)  Решите уравнение:    б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

4. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку

5. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

6. a)  Решите уравнение    б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

7. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

8. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

9. а)  Решите уравнение  б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

10. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответы.

1. а) б)        

2. а) б)    

3.  а) б)    

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)       

7. а) б)

8. а) б)    

9. а) б)          

10. а) б)       

Скачано с www.znanio.ru