Алгоритм :

1.     Сделать замену переменной

2.     Решить полученное  уравнение.

3.     Вернуться  к  замене.

Биквадратное уравнение

Пример Решить уравнение x x⁴ + − =²  20                                                             0.

Решение:Пусть             y x= 2; -замена        x4 =(x2)2 =y2; тогда y² + − =y 20 0; y₁ = 4, y₂ =−5.

                                                                                                           x² = 4,      x² =−5.

Обратная замена x1,2 =2.

2.

Ответ:

Биквадратные уравнения x⁴ – 13x²+36=0

Пусть

замена  имеем      t² – 13t+36=0

                                                                                                             t₁=4           t₂= 9

                                                                    тогда        или 

Ответ: -3, -2, 2, 3

Примеры Решение уравнений  методом замены

                                    _{№ 1}                      переменной     № 2

(x-1)⁴-5(x-1)²+4=0(x+5)⁴+8(x+5)²-9=0

Пусть (x-1)²=t, t≥0!!!Пусть (x+5)²=t, t≥0!!!

t²-5t+4=0t²+8t+4=0 t₁=4              t₂=1t₁=1           t₂=-9 не уд. усл.

(x-1)²=4        (x-1)²=1

(x+5)²=1

x-1=2;       x-1=1;x+5=1;      x=-4 x-1=-2;   x-1=-1x+5=-1      x=-6 x=3        x=2 x=-1    x=0

Ответ: -6;-4.

Ответ: -1;0;2;3

Уравнения, сводящиеся к квадратным, методом введения переменной

(x+1)²+10(x+1) = -9

Пусть   (x+1)=t- замена, t²+10t+9 =0 Решаем уравнение

Корни  t₁= -9        t₂= -1

х+1=-9      или  (x+1)= -1 x= -10 x=-2

Ответ:  -10; -2

Пример решения уравнения

(x² - x + 1)( x² - x - 7) = 65 Используем метод замены переменной Пусть x² - x = t,- замена

(t + 1)(t - 7) = 65   Раскрываем скобки t² - 7t + t - 7 - 65 = 0 t² - 6t - 72 = 0 D = 36 + 288 = 324

t = 12, t = - 6  Подставляем корни в замену

x² - x = 12         x² - x = -6 x² - x - 12 = 0    x² - x + 6 = 0 D = 49                D = - 23

x₁ = - 3; x₂ = 4 корней нет Ответ: - 3; 4.

Решим уравнение (x² + 2x)² - 2(x² + 2x) - 3 = 0

Пусть x² + 2x = t- замена. Получим квадратное уравнение с переменной t. t² - 2t - 3 = 0

D = (-2)² - 4 ^. 1 ^. (-3) = 16 t₁ = - 1; t₂ = 3

Нашли корни уравнения, подставляем в замену

x² + 2x = - 1               x² + 2x = 3

Решаем полученные уравнения и находим корни x² + 2x + 1 = 0               x² + 2x - 3 = 0

D = 0                                      D = 16

x = - 1                                  x₁ = - 3 x₂ = 1

Решить уравнение с помощью замены переменной (пример)

х² + х - 1 ) ( х² + х + 2 ) = 40

Сделаем замену переменной. Пусть х² + х  =  t , получим :

( t – 1 )( t + 2 ) = 40 t² + 2t – t – 2 – 40 = 0

t² + t – 42 = 0

t₁ = - 7         t₂ = 6

Вернемся  к  замене :

Ответ :  2 ; - 3

Задания для самостоятельного  решения Запишите уравнение, полученное в результате введения новой

переменной и решите его

(7х²+2х–3) (7х²+2х+5)=16 пусть у=_______,7х²+2х

тогда_____________(у–3) (у+5)=16

(3х–5)²– 4(3х–5)=12

пусть у=_______,3х–5

тогда_____________у² – 4у = 12

х⁴ – 25х² + 144 = 0

пусть у=_______, ^х2

тогда_____________ у² – 25у + 144 = 0 (х²+3х+1)²+4(х²+3х+1) – 6 = –1

пусть у=_______,х2+3х+1 тогда_____________у²+4у – 6 = –1

(3х²+5х+2)(3х²+5х–5) –5=16

пусть у=_______,3х²+5х тогда_____________(у+2)(у–5) –5=16

16х⁴ – 8х² + 1 = 0 пусть у=_______,^х2

тогда_____________16у² – 8у + 1 = 0