Решение задач на тему " Объем конуса". Геометрия 11 класс.

Основные элементы конуса:

R – радиус основания конуса, d – диаметр основания конуса, h- высота конуса.
d = 2R
L – образующая конуса L2=R2 + h2
C –длина окружности основания C=2πR
  S – площадь основания Sосн. = πR2
  V - объем конуса V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Решение.
; 𝑹 𝟐 𝑹𝑹 𝑹 𝟐 𝟐𝟐 𝑹 𝟐 ; 𝒉 𝟐 𝒉𝒉 𝒉 𝟐 𝟐𝟐 𝒉 𝟐 высота в формулу объема входит в первой степени, а радиус − в квадрате. 𝟏𝟔 𝟐𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟑 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝟏𝟔 𝟐𝟑 =2 Ответ:2. Самостоятельно.
1.1. Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
1.2. Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 12 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите

.

Обозначим угол между образующей и плоскостью основания буквой В. Sin B= ℎ 𝐿 ℎ ℎ 𝐿 𝐿𝐿 ℎ 𝐿 ; h= L·Sin B ; h=12·Sin 30°= 12· 1 2 1 1 2 2 1 2 =6 ;
Cos B= 𝑅 𝐿 𝑅𝑅 𝑅 𝐿 𝐿𝐿 𝑅 𝐿 ; R=12·Cos 30°=12· √3 2 √3 √3 2 2 √3 2 =6√3; V = 1 3 1 1 3 3 1 3 π(6√3)2·6 =216π

Самостоятельно.
2.1. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 26 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите 𝑽 𝝅 𝑽𝑽 𝑽 𝝅 𝝅𝝅 𝑽 𝝅 .
2.2. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 16 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите 𝑽 𝝅 𝑽𝑽 𝑽 𝝅 𝝅𝝅 𝑽 𝝅 .

Ответ:216.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 18,5 раза?
Решение.
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h Высота в формулу объема входит в первой степени. При уменьшении высоты в 18,5 раза объем также уменьшится в 18,5 раза. Ответ: 18,5.
Самостоятельно.
3.1. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 20 раз?

3.2. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 27 раз?

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус увеличить в 22 раза?
Решение.
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h Радиус в формулу объема входит во второй степени. При увеличении радиуса в 22 раза объем увеличится в 222 раза. 222 = 484.
Ответ: 484.
Самостоятельно.
4.1. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус увеличить в 4,5 раза?

4.2. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус увеличить в 27 раз?

Объем конуса равен 84. Радиус уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Чему равен объем конуса?
Решение.
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h Радиус в формулу объема входит во второй степени. При уменьшении радиуса в 2 раза объем уменьшается в
22 =4 раза. Высота в формулу объема входит в первой степени. При увеличении высоты в 3 раза объем увеличивается в 3 раза.
𝟖𝟒·𝟑 𝟒 𝟖𝟖𝟒𝟒·𝟑𝟑 𝟖𝟒·𝟑 𝟒 𝟒𝟒 𝟖𝟒·𝟑 𝟒 =63.

Ответ: 63.
Самостоятельно.
5.1. Объем конуса равен 120. Радиус увеличили в 5 раз, а высоту уменьшили в 6 раза. Чему равен объем конуса?
5.2. Объем конуса равен 20. Радиус увеличили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Чему равен объем конуса?

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Решение.

V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h VЖ =54 ; h=2hж ; R=2Rж ; V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π(2RЖ)2·(2hж)=
8· 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π(RЖ)2·(hж) = 8· Vж = 8· 54 =432 ; 432 – 54 =378.
Ответ: 378.
Самостоятельно.
6.1. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
6.2. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Диамет

Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
Решение.
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h ; d=66 ; R = 66 : 2= 33 ; h = R=33;
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π ·332· 33 = 11979π. Ответ: 11979.

Самостоятельно.
7.1. Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный
на π.
7.2. Диаметр основания конуса равен 18, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Диамет


Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на π.
Решение.
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h ; h=12 ; L= 14; R= 𝑳 𝟐 − 𝒉 𝟐 𝑳 𝟐 − 𝒉 𝟐 𝑳 𝟐 𝑳𝑳 𝑳 𝟐 𝟐𝟐 𝑳 𝟐 − 𝒉 𝟐 𝒉𝒉 𝒉 𝟐 𝟐𝟐 𝒉 𝟐 𝑳 𝟐 − 𝒉 𝟐 ; R= 𝟏𝟒 𝟐 − 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 − 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒 𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟒 𝟐 − 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 − 𝟏𝟐 𝟐 ; R= 𝟏𝟗𝟔−𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟗𝟔−𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟔𝟔−𝟏𝟏𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟗𝟔−𝟏𝟒𝟒 = 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟓𝟐𝟐 𝟓𝟐 ;V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π ·( 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟓𝟐𝟐 𝟓𝟐 )2 · 12 = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π ·52· 12 =208π. Ответ: 208.
Самостоятельно.
8.1. Высота конуса равна 20, образующая равна 25. Найдите его объем, деленный на π.
8.2. Высота конуса равна 15, образующая равна 16. Найдите его объем, деленный на π.

Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите объем, деленный на π.
Решение.
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h ; h=27 ; R= 15 ; ɑ=60° ; 𝟔𝟎° 𝟑𝟔𝟎° 𝟔𝟔𝟎𝟎° 𝟔𝟎° 𝟑𝟔𝟎° 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎° 𝟔𝟎° 𝟑𝟔𝟎° = 𝟏 𝟔 𝟏𝟏 𝟏 𝟔 𝟔𝟔 𝟏 𝟔 ;
V = 𝟏 𝟔 𝟏𝟏 𝟏 𝟔 𝟔𝟔 𝟏 𝟔 · 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h
V = 𝟏 𝟔 𝟏𝟏 𝟏 𝟔 𝟔𝟔 𝟏 𝟔 · 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π ·152 ·27 = 𝟏 𝟔 𝟏𝟏 𝟏 𝟔 𝟔𝟔 𝟏 𝟔 · 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π ·225· 27 =337,5π.
Ответ: 337,5.

Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите объем, деленный на π.
Решение.
V = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h ; h=14 ; R= 12 ; ɑ=90° ; 360° - 90° = 270°
𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎° 𝟐𝟐𝟕𝟕𝟎𝟎° 𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎° 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎° 𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎° = 𝟑 𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟒 𝟒𝟒 𝟑 𝟒 ; V = 𝟑 𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟒 𝟒𝟒 𝟑 𝟒 · 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR2h
V = 𝟑 𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟒 𝟒𝟒 𝟑 𝟒 · 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π ·122 ·14 = 𝟑 𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟒 𝟒𝟒 𝟑 𝟒 · 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 π ·144· 14 =504π.
Ответ: 504 .

9.1.

1.1 21.
1.2 16.
2.1 2197.
2.2 512.
3.1 20.
3.2 27.
4.1 20,25.
4.2 729.
5.1 500.
5.2 240.
6.1 252.
6.2 156.
7.1 72.
7.2 243.
8.1 1500.
8.2 205.
9.1 24.
10.1 74,25.