Сборник Логических задач

Сборник «Математических – загадок» ВВЕДЕНИЕ Математика! Мир без нее был бы неинтересен. Не было бы научных открытий. Люди  не могли бы исследовать моря, океаны, атом не служил бы нам.   Как  известно, математика – это царица всех наук. И это немудрено. Поскольку все  точные науки сосредоточены на вычислениях. Однако это вовсе не означает, что всё в этом  царстве скучно и занудно.                                                                                                    Все  привыкли считать, что математика это скучная, трудоёмкая работа. Великие математики –  умные, немного скучные люди, которые были зациклены на математике. Но на самом деле  это не так! В своём проекте я докажу, что математика очень увлекательная, занимательная  наука.  Изучая математику можно весело и интересно провести время, узнав много нового  и интересного.       «Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упустить случая,  сделать  его немного занимательным» ­ это высказывание принадлежит выдающемуся французскому математику Блезу Паскалю. Цель: Разработать сборник «Математических загадок» для развития математического и творческого мышления.  Задачи:  1)Изучить историю появления математических загадок;  2) Познакомиться с основными способами решения логических задач;  3)Разработать и подобрать задания для сборника « Математические загадки».  Актуальность.  Наша жизнь непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения  правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудно. Есть люди, для  которых решение логической задачи ­ увлекательная, но несложная задача. Логика учит  человека мыслить четко, лаконично, правильно. Один из самых мощных инструментов  развития мышления и интеллекта – математические загадки. Поэтому я выбрал эту тему. 1 1.ПОЯВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАГАДОК Математика возникла в Древней Греции ещё в 5­6 веках до нашей эры. У греков  эстафету приняли арабы, а уж потом эта новая наука дошла и до европейцев. Слово  «математика» происходит от греческого слова mathema – знание, учение, наука. Она  изучает числа и величины, форму и объём предметов, способы решения задач с помощью  действий. Поэтому, математика и объединяет в себе много различных разделов: алгебра,  геометрия, арифметика, логика и другие, не менее интересные. Математика – одна из  самых сложных наук, которая доставляет нам  немало хлопот во время обучения. В то же  время, навыки устного счета и различные математические приемы необходимо освоить  каждому человеку, поскольку без этих знаний в современном мире жить просто  невозможно. Математика учит рассуждать, обосновывать, доказывать, а без этого  невозможно добиться успеха ни в одном деле. Занимательная математика – это ребусы,  загадки, логические задачи, головоломки, шарады, кроссворды.  Головоломка ­ задача или загадка для решения которой требуется проявить  сообразительность и знания в области, о которой идет речь в головоломке. Как же появились головоломки?! Безусловно, в начале начал была математика. По сути, многие древние задачи представляли собой головоломки, которые использовались в обучении. Решение каких­то из них влекло за собой дальнейшие успехи математики, что, в свою очередь, способствовало разнообразию самих головоломок, так как расширяло их  тематическую содержательность. 2 Уже в древней Месопотамии, почти пять тысяч лет назад, составляли и решали достаточно  сложные алгебраические задачи на определение неизвестной величины. Позже в Древнем  Египте появились первые задачники. Логические головоломки находят в древнегреческих  манускриптах, на стенах египетских пирамид и во многих других исторических  документах и памятниках.  В конце IX века наблюдался расцвет в истории головоломок. В Европе самым первым  собранием головоломок и логических задач стала книга“Задачи для развития молодого  ума” ирландского богослова, ученого и просветителя Алкуина. Она появилась во второй  половине IX века. Итальянцы Фибоначчи (XIII век) и Тарталья (XVI век) включили головоломки в свои  научные изыскания. Именно Фибоначчи способствовал появлению в Европе привычных нам арабских цифр. Случилось так, что сравнительно молодым человеком он оказался в  Северной Африке, где помогал своему отцу в торговых делах. Именно там он узнал от  арабов их форму записи чисел, а затем использовал ее в своих трудах. Тарталья первым обнаружил способ нахождения корней кубического уравнения. В конце XIX начале XX веков, благодаря  американцу Сэму Лойду и англичанину Генри  Дьюдени головоломки получают очень широкое распространение. Они появляются во  многих популярных изданиях и становятся популярны среди населения. Кстати, Сэм Лойд  считается автором такой известной и популярной игры как Пятнашки. Одно время игра  была столь любима, что многие работодатели были вынуждены издать приказы,  запрещающие приносить ее на рабочее место. До 1974 года в мире головоломок наблюдалось некоторое затишье пока на сцену не вышел  венгр Эрне Рубик со своим всемирно известным изобретением. Но Кубик Рубикастал не  только игрушкой, но и объектом серьезного исследования инженеров и математиков. Известно, что число возможных состояний Кубика Рубика равно 43 252 003 274 489 856  000 комбинаций. Но, несмотря на такое огромное число было доказано, что из любого из  этих состояний головоломка может быть собрана не более чем за 20 ходов. Индустрия головоломок в современном мире развивается огромными темпами. На рынке  постоянно появляются новые игры и конструкции, призванны тренировать мозг человека и  3 держать его в тонусе. Появился даже вид спорта — Пазлспорт — соревнование на  скоростное решение головоломок. А с 1992 года проводятся регулярные Чемпионаты  Мира по решению головоломок. 2. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Давайте рассмотрим подробнее с примерами три популярных способа решения  логических задач, которые мы рекомендуем использовать в начальной школе (детям 6­12  лет): 1) метод последовательных рассуждений; 2) разновидность метода рассуждений — «с конца»; 3) табличный способ. 1)  Метод последовательных рассуждений Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных  рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений,  являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос. Пример: На столе лежат Голубой, Зеленый, Коричневый и Оранжевый карандаши. Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш  лежит между Коричневым и Оранжевым. Разложи карандаши в описанном порядке. Решение: Рассуждаем. Последовательно используем условия задачи для формулирования  выводов о позиции, на которой должен лежать каждый следующий карандаш. 1. Больше всего букв в слове «коричневый», значит, он лежит третьим. 4 2. Известно, что голубой карандаш лежит между коричневым и оранжевым.  Справа от коричневого есть только одна позиция, значит, расположить голубой между  коричневым и другим карандашом возможно только слева от коричневого. 3. Следующий вывод на основе предыдущего: голубой карандаш лежит на  второй позиции, а оранжевый — на первой. 4. Для зеленого карандаша осталась последняя позиция — он лежит четвертым. 2) Метод «с конца» Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично  подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины. Пример: Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал. Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю. Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю. На столе осталось 8 рогаликов. Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате  все съели поровну? Решение: Начинаем рассуждение «с конца». Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4  рогалика: 8 + 4 = 12. Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук:  5 12 + 6 = 18. Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27.Бабушка положила на  стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже  съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов. 3)Решение логических задач с помощью таблиц истинности Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов  рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того,  является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы  заполняются знаками «+» и «­» либо «1» и «0». Пример: Три спортсмена (красный, синий и зеленый) играли в баскетбол. Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий». Синий возразил: «Мяч забросил зеленый». Зеленый сказал: «Я не забрасывал». Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду? Решение: Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые  содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа. Затем таблицу  последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные  утверждения — знаком «­». 6 Рассмотрим первый вариант ответа (мяч забросил красный), проанализируем  утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик. Исходя из нашего предположения (мяч забросил красный), утверждение «мяч забросил  синий» — ложь. Ставим в ячейке «­». Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «­». Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+». Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый) и  заполним второй столбик. Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «­«. Утверждение «мяч забросил зеленый« — истина. Заполняем ячейку знаком «+». Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «­«. И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий». Тогда утверждение «мяч забросил синий»   — истина. Ставим в ячейке «+». Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «­»Утверждение  зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+». Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной  таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в  столбце один знак «­»). Подходит третий столбец. Значит, правильный ответ – мяч забросил синий. 7 3.СБОРНИК «МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАГАДОК» №1  В 9­этажном доме есть лифт. На первом этаже живет 2 человека, на втором ­ 4 человека, на третьем ­ 8 человек, на четвертом ­ 16, на пятом ­ 32 и так далее. Какая кнопка в лифте  этого дома нажимается чаще других? №2   Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега  которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как  переправиться на другой берег отцу и сыновьям?  №3 Имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Попробуйте в три приема  отвесить 2 кг этой крупы.  №4 Имеются в наличии три банки: одна пятилитровая – полностью заполненная яблочным  соком, и две пустые – на два и три литра. Используя эти три банки, методом переливания  оставьте в пятилитровой банке четыре литра сока.  №5   Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов,  для того чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?  №6 Возвращаясь с рыбалки домой, рыболов встретил своего приятеля, который  поинтересовался его уловом. Но, так как наш рыболов помимо рыбалки был также  8 большим любителем всякого рода загадок, ответил приятелю следующим образом: “Если к  количеству пойманной мною рыбы добавить половину улова и еще десяток рыбин, то мой  улов составил бы ровно сотню рыб”. Сколько рыбы поймал рыболов?  №7  Имеется 10 мешков с монетами (количество монет одинаковое). В девяти мешках монеты золотые, а в одном фальшивые. Как за одно взвешивание  определить где фальшивые монеты? №8  Проходили соревнования по плаванью участвовали 5 человек: Андрей, Денис, Данил, Таня,  Ксюша. Определите кто занял какое место (от 1 до 5) . Если известно, что Андрей не занял первое, не четвёртое и не пятое. Денис занял первое.  Данил не занял не второе, не третье, не пятое. Таня не заняла не второе, не третье. А  Ксюша не заняла не второе, не четвёртое. №9 Как при помощи 5­ти и 9­ти литрового ведра набрать из реки 3 литра воды. №10 Отделение солдат вышло к берегу реки. На ее противоположный берег запланировано было перебраться через существующий мост, но в связи с ремонтом он оказался закрытым для  перехода. Вблизи моста с лодки рыбачили двое мальчишек, которые с радостью  согласились помочь солдатам в переправе. Однако их лодка была настолько мала, что  могла удержать на плаву либо одного солдата, либо их самих. Но эта проблема сразу  разрешилась, и солдаты благополучно осуществили переправу при помощи этой же лодки.  Каким образом переправа осуществилась? №11 «Шли семь старцев. У каждого старца по семи костылей. На каждом костыле по семи сучков. На каждом сучке по семи кошелей. В каждой кошеле по семи пирогов. В каждом пироге по семи воробьев. Сколько всего?» №12 У одного папы спросили: «Сколько у вас детей?» Он ответил: «У меня четыре сына и у  каждого из них есть родная сестра.» Сколько же у него детей? №13 9 Летела стая гусей. 1 гусь впереди, 2 позади, 1 гусь между двумя и 3 в ряду. Сколько всего  гусей. №14 Шли две матери с дочерьми, да бабушка с внучкой. Нашли полтора пирога. По сколько им  достанется? №15 Меня зовут Толей. У моей сестры только один брат, как зовут брата моей сестры? №16 Как записать число 100 шестью цифрами 4? №17 Шёл Кондрат в Ленинград, а навстречу ему семь ребят. Сколько ребят шли в Ленинград? №18 Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько  мне лет теперь? №19 Какой знак надо поставить между написанным рядом цифрами 2 и 3, так чтобы получилось число, больше двух, но меньшее трёх? №20 Бабушка готовит внуку на ужин гренки. Для их приготовления она использует маленькую  сковороду, способную уместить только два хлебных ломтика. На обжаривание каждой из  сторон ломтика хлеба затрачивается одна минута времени. Чтобы приготовить три гренки,  бабушке достаточно всего лишь трех минут вместо очевидных четырех. Как ей удается это  сделать? №21 Коль в треугольнике угол прямой, Я называюсь его стороной. Букву последнюю мне поменять — Буду, как ветер, вас по морю мчать. №22 В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от  единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись  добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за  несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс ­ будущий великий математик. Как он  это сделал? 10 №23 На столе лежат девять монет. Одна из них — фальшивая. Как при помощи двух  взвешиваний можно найти фальшивую монету? (Фальшивая монета легче настоящих.) №24 Рождаюсь на мебельной фабрике я И в каждом хозяйстве нельзя без меня. Отбросишь последнюю букву мою — Названье большому числу я даю. №25 Какое наименьшее натуральное число при деление на 7 даёт в остатке 6, а при деление на 9  остаток 8? №26 Дедушка на первый день рождения своего внука, подарил ему одну книгу. На второй день  рождения две книги, на третье четыре и тд. Внуку исполнилось 6 лет. Сколько книг у него  стало? №27 Андрей задумал десятизначное число. Причём первая цифра указывает количество нулей в  этом числе, вторая­ количество едениц, … , десятое количество девяток. Какое число  задумал Андрей? №28 В пруду плавают 30 голодных щук. Есть больше нечего, и им приходится пожирать друг  друга. Щука считается сытой если она съела не менее трёх щук (сытых или голодных не  важно). Какое наибольшее число щук моглор насытиться? №29  Продолжите последовательность чисел: 1, 4, 9, 16 …  №30  Найдите закономерность и установите какой результат будет в следующем выражении:  2 + 3 = 10  7 + 2 = 63  6 + 5 = 66 8+6=? 11 №31 Какое число станет продолжением ряда: 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, … №32 Поймите закономерность и скажи ответ на последний пример. 1+3=4 2+4=10 3+5=18 5+6=35 7+8=? №33 В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в химическом кружке, 11 — в историческом, а  10 ничем не занимаются. Сколько ребят занимаются и химией, и историей? №34  Разгадайте ребус (ВМЕСТО КАЖДОЙ БУКВЫ ЦИФРУ ЕСЛИ БУКВЫ ОДИНАКОВЫЕ  ТО И ЦИФРЫ ДОЛЖНЫ ЫТЬ ОДИНАКОВЫЕ) ПТИЦА+ПТИЦА=СОБАКА №35 Как получить из одиннадцати троек  3.(Поставить знаки вместо *)  3*3*3 3*3*3*3*3*3*3*3=3 №36 Какая цифра следующая? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… №37 Данилу и его дедушке вместе 72 года, возраст Кирилла и дедушки вместе 70, а всем им  втроём 80. Сколько лет каждому? №38 Переставьте одну цифру так, чтобы выполнялось равенство. 33 + 6 = 33 №39 12 Лена живет на четвертом этаже, при этом, поднимаясь к себе домой, она проходит по  лестнице 60 ступенек. Юля живет в этом же подъезде на втором этаже. Сколько ступенек  проходит Юля, поднимаясь к себе домой на второй этаж? №40 С борта парохода был спущен стальной трап. Нижние 4 ступеньки трапа погружены в воду. Каждая ступенька имеет толщину в 5 см; расстояние между двумя соседними ступеньками  составляет 30 см. Начался прилив, при котором уровень воды стал поднимается со  скоростью 40 см в час. Как Вы считаете, сколько ступенек окажется под водой через 2  часа? №41 Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут 12 таких же курей за 12 дней? №42 Позавчера Пете было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть? №43  Как Вы считаете ­ чем бег отличается от ходьбы? Прежде чем ответить на этот вопрос,  вспомните, что бег может быть медленнее, нежели иная ходьба, и что бывает даже бег на  месте. №44 При издании книги потребовалось 2 775 цифр того, чтобы пронумеровать ее страницы.  Сколько страниц в книге? №45 Если в 12 часов ночи идёт дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная  погода? №46 Имеется круглое глубокое озеро диаметром 200 метров и два дерева, одно из которых  растет на берегу у самой воды, другое ­ по центру озера на небольшом островке. Человеку,  который не умеет плавать, нужно перебраться на островок при помощи веревки, длина  которой чуть больше 200 метров. Как ему это сделать?  №47 Одного человека спросили: — Сколько вам лет? — Порядочно, — ответил он. 13 — Я старше некоторых своих родственников почти шестьсот раз. Может ли такое быть?  №48  Агенту необходимо было проникнуть на одну “закрытую” вечеринку. Пропуском внутрь  служило особое слово­пароль. Агент спрятался неподалеку от входа и стал  прислушиваться. На вопрос охранника “Двадцать два?” первый посетитель ответил  “Одиннадцать!” и был впущен внутрь. На вопрос “Двадцать восемь?” следующий  посетитель ответил “Четырнадцать!” и также был впущен внутрь. “Всего­то делов”  подумал агент, и на вопрос охранника “Сорок два?” смело ответил “Двадцать один!” и тут  же был изгнан прочь как чужак. Каким должен был быть правильный ответ?  №49  Трехзначное число состоит из возрастающих (слева направо) цифр. Если это число  прочитать, то все слова будут начинаться на одну и туже букву. Что это за число?  №50 Почему блюдце всегда имеет кольцевидную каемку с нижней стороны?  ЗАКЛЮЧЕНИЕ Математические загадки, как понятно из названия, развивают логику (необходимость  способности рассуждать логически в повседневной жизни не требует объяснений), но  почему эти задачи должны решаться на уроках математики? По многим причинам. Во­ первых, немалая доля всей информации, которую дают учебники по математике, связана  исключительно с логикой (доказательства большинства теорем по геометрии и некоторых  по алгебре). Во­вторых, многие задачи по математике подразумевают использование  навыков логического мышления (модуль «Реальная математика» в тестах). В­третьих,  говоря о решении любой задачи, нельзя не упомянуть о логике. Но в любом школьном  курсе математики очень мало логических задач, и это значит, что изучению такой важной  науки, Логики, уделяется очень мало внимания. 14 Я изучил логические задачи и методы их решения. В проектной работе специально  был подобран интересный материал, который не встречается в школьном курсе, а если и  встречается, то менее ярко преподносится. Думаю, данная работа может послужить  методическим пособием для проведения дополнительных уроков. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. А.В. Дмитриева, А.Ф. Овчиников. «Логические задачи. Методы решения.».  Новосибирск 2005. 2. Бизам Д., Герцог Я. Игра и логика. Москва: Мир, 1975. 3. Арифметика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/С. М.  Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин./ ­ 2­е изд. – Москва:  Просвещение, 2002. 4. Арифметика: Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.  Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин./ ­ 2­е изд. – Москва:  Просвещение, 2002. 15 5. Беррондо М. Занимательные задачи. Москва: Мир, 1983. 16