«Секреты фокусов с числами и цифрами»

Бубликова Анастасия «Числовые фокусы для школьников»  Сборник математических фокусов.                                                            ТЫНДА 2019 Страница 1 МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 7 ИМЕНИ ГЕРОЯ РОССИИ И.В.ТКАЧЕНКО» Г.ТЫНДА АМУРСКАЯ ОБЛАСТЬ Раскрытие секретов числовых фокусов. Под редакцией А.И. БУБЛИКОВА Тында­ МОБУ СОШ №7 Страница 2 2019 "Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев                         делать его немного занимательным» Б. Паскаль Страница 3 1. Число­загадка.   Попросите зрителя написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть  затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Далее предложите зрителю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и  фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на  9.Частное же равняется указанной фокусником разности между крайними цифрами числа,  умноженной на 11.   Например, если сначала взять число 845, то 845­548=279; 279/9=33=11∙(8­5). Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в  виде 100a+10b+с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100c+10b+a. Вычитая второе из первого и деля его на 9, имеем: Страница 4 100a+10b+с­(100c+10b+a)/9=99(a­c)/9=11(a­c)                          2. Фокус с запиской.  Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и  запечатайте его. Затем предложите кому­нибудь написать на этом конверте любое  трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг  от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет  из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние  числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму,  предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к  удивлению, и есть полученное им число. Секрет этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом,  полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий  фокус). Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность  обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100k+10l+m. Имеем: 100k+10l+m=99k+(10l+m+k). Страница 5 Так как разность делится на 99, то это равенство показывает, что обязательно:  10l+m+k=99, откуда вытекает, что l=9, m+k=9. Число с переставленными крайними  цифрами имеет вид 100k+10l+k, и сумма равняется: 100k+10l+m+100m+10l+k=100(k+m) +20l+(m+k)=100∙9+20∙9+9=1089.                             3.Фокус с домино.  Фокусник предлагает желающему задумать какую­либо косточку,  после чего говорит: «Умножьте число очков одной половины на 2, к произведению  прибавьте 7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к результату число очков другой  половины косточки и скажите, что у вас получилось». Фокусник же скажет, какое число вы задумали. Так как же фокусник определил, какое число вы задумали? Для этого надо от сказанного  задумавшим результата отнять 35, тогда цифры полученного двузначного числа будут  указывать на соответствующие числа очков задуманной косточки домино. Действительно,  если a и b – числа очков задуманной косточки домино, то мы последовательно производим  над ними следующие действия. 2а; 2а+7; 10а+35; 10а+35+b. Страница 6 Отнимая от окончательного результата 35, получим двузначное число 10а+b, цифрами  которого будут а и b, т. е. число очков на косточке домино. Само собой разумеется, что мы можем предложить к произведению прибавить не 7, а любое другое число, которое мы обозначим через m, тогда от окончательного результата надо  будет отнять уже не 35, а 5m. Этот же прием можно применить к угадыванию двузначных  чисел.                                    4.Фокусы с игральными костями.  Атрибутом нескольких числовых фокусов служат  игральные кости. Для демонстрации можно изготовить их в увеличенном масштабе, чтобы  за процессом могли наблюдать зрители. Игральная кость имеет форму кубика, на гранях  которого нанесены точки, количество которых соответствует числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем  соблюдается «принцип семерки»: числа на противоположных гранях в сумме дают семь (1­ 6 2­5 3­4). Ориентация первых трех чисел показана на рисунке, остальные по «принципу  семерки». Такая игральная кость соответствует существующему стандарту. 4.1  Угадывание суммы выпавших очков.   Фокусник поворачивается спиной к зрителям  и просит одного из зрителей бросить на стол три игральные кости. Затем предлагаете  сложить три выпавших числа, взять любую из трех костей и прибавить число на нижней ее  грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее  число, опять прибавить к сумме. Поворачиваясь к зрителям, фокусник акцентирует их  Страница 7 внимание на том, что ему не может быть известно, какую из трех костей бросали заново, и  какое число стояло у нее на нижней грани перед этим. Затем фокусник собирает кости,  встряхивает их в руке, подносит к уху, и тут же правильно называет конечную сумму. Объяснение фокуса. Прежде чем собрать кости, нужно быстро сложить числа на верхних  гранях и добавив к сумме семерку, получите конечную сумму. 4.2 Отгадывание выпавшего числа очков на 2 костях. Фокусник не глядя на стол, на  котором лежат игральные кости, просит зрителя бросить две игральных кости и запомнить  выпавшие числа. Затем зрителю предлагается: ­ Выбрать одно из этих двух чисел и умножить его на 5; ­ К произведению прибавить 7; ­ Затем удвоить полученную сумму; ­ И, наконец, прибавить к ответу второе число. Узнав полученное таким образом число, вы сообщаете, какие числа выпали на каждой из  двух костей. Для этого, мысленно вычитаете из названного числа 14 и получаете  двузначное число, две цифры которого равны двум исходным числам. В самом деле,  допустим, выпали числа а и b. Нам важно, что каждое из них меньше 10. В результате  проделанных операций получаем: 5а, 5а+7, 10а+14, 10а+b+14. Таким образом, если из окончательного ответа вычесть 14, то останется двузначное число,  цифры в котором соответствуют исходным числам.                                           Страница 8 5.  Фокус с монетами.  У вашего приятеля в одной руке зажат гривенник, а в другой —  копейка (или в одной руке монета десять рублей, а в другой — один рубль). Несколько  волшебных действий по рецептам числовой магии — и вы способны определить, в какой  руке какая из монет находится! Попросите приятеля взять в одну руку десять рублей , а в другую — рубль. Предложите  ему умножить стоимость монеты в левой руке на 2, 4, 6 или 8, затем умножить стоимость  монеты в правой руке на 3, 5, 7 или 9 и сложить получившиеся при этом числа. Выслушайте результат сложения. Если это число получится нечетным, то копейка — в правой руке.  Если полученное число — четное, то копейка — в левой руке. Примеры Левая рука Правая рука    Левая рука       Правая рука Страница 9 6. Математические фокусы Дэвида Копперфильда.  Фокусы знаменитого иллюзиониста  Дэвида Копперфильда восхищают и поражают зрителей не только сложностью и  оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством воплощения,  использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и  приспособлений. Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы  также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из­за того,  что они не очень зрелищны. Тем не менее, ему удалось найти эффективную подачу одного  такого фокуса. Фокусник не только приглашает всех зрителей поучаствовать в нем, но  делает активным участником представления каждого телезрителя. Происходит это  следующим образом: фокусник размещает на экране 15 предметов, например кружков, и  выкладывает их в виде шестерки: в колечке­12, а в хвостике­3. У Копперфильда кружки  заменены одной звездочкой и двумя стрелками (в хвостике) и кружками (в колечке),  изображающим среди прочего самые известные в мире достопримечательности: Эйфелеву  башню, Египетские пирамиды, Статую Свободы и т. д. Зрителям предлагают задумать  любое число больше 3  и отсчитать его сверху вниз, начиная с первой звездочки, по  хвостику и далее по колечку против часовой стрелки. Затем фокусник просит зрителей,  снова подсчитать предметы до задуманного числа, начиная с того, на котором они  остановились, но на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка . Предмет, на  котором при счете падает задуманное число, на рисунке затемнен. В принципе фокус может быть закончен уже на этой стадии, но Копперфильд идет дальше. Он уверенно снимает с  экрана ряд предметов, заявляя, что они лишние и зритель на них остановиться, не мог.  Затем снова предлагает отсчитать в любом направлении еще 4 предмета, начиная с  соседнего от того, на котором остановился каждый зритель на предыдущем шаге.  Страница 10 Удивительно то, что в результате манипуляций все указывают на один и тот же предмет.  Фокусы такого типа называются фокусами с предопределенным выбором. Он основан на  том, что, независимо от варианта схемы (количества звездочек на хвостике или предметов  на колечке), действий фокусника и зрителей, результат предсказуем и будет одним и тем  же для всех участников, несмотря на то, что каждый из них задумал свое число. При всей  кажущейся сложности объяснения этих фокусов достаточно просты. Итак, независимо от того, какое первоначальное число задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки (в данном  случае три звездочки) наложить на колечко по часовой стрелке, начиная с предмета,  следующего (тоже по часовой стрелке) за тем, к которому подходит хвостик. Кончик  хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке . Все остальные манипуляции  фокусника ­ лишь отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт. В  зависимости от фантазий фокусника, он может, на каком ­ то этапе даже снять с экрана  предмет, на котором остановился зритель при первоначальном счете, ­ ответ все равно  будет для всех одинаков. Теперь легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в  нашем случае больше трех) только выполнение этого условия позволит зрителям при счете  предметов попасть в колечко – основную фигуру для манипуляции. Узнав секрет фокуса,  вы можете модернизировать его по собственному усмотрению. В заключении предлагаем вам некоторую вариацию описанного фокуса – угадывание  задуманного числа на циферблате часов. Попытайтесь разгадать его самостоятельно. Также начнется с того, что зритель задумывает какое­нибудь число от 1 до 12. Фокусник  берет указку и начинает притрагиваться ее кончиком к числам на циферблате часов,  причем делает это, по­видиму, в совершенно произвольном порядке. Зритель считает про  себя прикосновения фокусника к часам и, дойдя до 20, произносит слово «стоп». И  странное совпадение: в этот момент указка оказывается как раз на задуманном числе. Подсказка. В этом фокусе, также как и в предыдущем, применяются принципы  последовательного счета и предопределение выбора. Чтобы его разгадать, используйте  Страница 11 разность чисел 20 и 12, равную 8, и этот факт, что девятое прикосновение фокусника к  циферблату должно обязательно попасть на одно из этих чисел.                          7. Фокусы с уравнениями.  В книге Я. И. Перельмана в главе «язык алгебры» есть глава  «искусство отгадывать числа». Здесь автор раскрывает секрет фокуса, который очень  прост, и в основе его лежат все те же уравнения. Пусть фокусник предлагает вам  выполнить программу действий. Затем он просит вас сообщить окончательный результат и,  получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает? Чтобы понять  это, достаточно все команды перевести на язык алгебры. Команды на языке алгебры Задумай число Прибавь 2 Умножь результат на 3 Отними 5 Отними задуманное число Умножь на 2 Отними 1 Х х+2 3х+6 Страница 12 3х+1 2х+1 4х+2 4х+1 Из первой колонки видно, что если вы задумали х, то после всех команд у вас должно  получиться 4 х+1. Зная это, нетрудно отгадать задуманное число. Пусть зритель задумал  число 12, то после всех выполненных команд он получает число 49. Фокусник мысленно  решает простое уравнение:4 х+1=49; От результата вычитает 1 и делит полученное число на 4. После сообщает вам, что вы задумали 12.( х=(49­1)/4=12). Как видно все очень просто:  фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число. Вам предлагается несколько вариантов этих фокусов.                                     8. Числовые фокусы.  Стержнем следующих фокусов является следующий состав числа.  Приведу несколько следующих фокусов, которые вызывают интерес у зрителей. секрет  этого фокуса раскрывает магические обряд над датой моего рождения. Попросите задумавшего умножить первое из задуманных чисел на 2 и к произведению  прибавить 5, полученную сумму умножить на 5 и к результату прибавить 10. К  полученному числу прибавить второе задуманное число и все умножить на 10; к  полученному результату прибавить третье задуманное число и опять умножить на 10;  Страница 13 потом прибавить четвертое/из задуманных чисел и опять умножить на 10 и т. д. Словом,  пусть задумавший несколько чисел, каждое из которых не превышает десяти, постоянно  умножает на 10 и прибавляет одно из задуманных чисел, пока не прибавит последнего.  Вслед за тем пусть задумавший числа объявит последнюю полученную им сумму, и если  задумано только два числа, то, вычтя из этой суммы 35, найдем, что число десятков  остатка дает первое задуманное число, а число простых единиц дает второе задуманное  число. Если же задумано три числа, то из сказанной вам суммы вычтите 350, и тогда число  сотен даст первое задуманное число, число десятков — второе, число простых единиц —  третье. Если задумано четыре числа, то из сказанной вам суммы вычтите 3500, и тогда  число тысяч остатка дает первое задуманное число, число сотен — второе, число десятков  — третье, число единиц ­ четвертое. Ясно, что в случае пяти задуманных чисел нужно из  сказанного вам результата вычитать 35 000 и т. д. Пусть, например, задуманы 3,5,8, 2.  Удваивая первое из них, получаем 6; прибавляя 5, получаем 11; умножая это число на 5,  имеем 55; прибавляя 10, получаем 65; прибавляя второе задуманное число, получаем 70;  умноженное на 10, оно дает 700; прибавляя сюда третье задуманное число, получаем 708;  умножая на 10, получаем 7080; прибавляя сюда четвертое число, получаем 7082. Если  теперь из этого последнего числа вычесть 3500, то получится остаток 3582, который и  выражает по порядку цифр задуманные числа: 3,5,8,2.  Объяснение предложенного способа угадывания: Пусть задуманные числа а, b, c, d… Над ними производятся следующие действия: для  первых двух чисел. (2а + 5) ∙ 5 = 10а + 25 10а + 25 + 10= 10а + 35 10а + 35 + b Для третьего числа: (10а + 35 + b) ∙ 10 + с = 100а + 350 + 10b + с Для четвертого числа: Страница 14 (100а + 350 + 10b + с) ∙ 10 + d = 1000а + 100b + 10с + 3500 и т. д. Отсюда ясно, что, вычитая из результата 35, 350, 3500, смотря по количеству задуманных  чисел, мы получаем все задуманные числа в виде цифр остатка, считая слева направо.                        9.  «Сколько братьев и сестер…» Вы сможете угадать, сколько братьев, сестер, дедушек и бабушек у вашего приятеля, после того как он выполнит несколько арифметических действий на калькуляторе!  Пример: Допустим, у вашего приятеля: братьев — 4; сестер — 3; бабушек и дедушек — 2. Предложите приятелю: Набрать на калькуляторе цифру, соответствующую количеству братьев– 4 1.  Умножить это число на 2. 4´2=8 2.  Прибавить к произведению 3 8 + 3=11 3.  Умножить полученную сумму на 5. 11 ´ 5 = 55 4.Прибавить к результату сестер. 55 + 3 = 58 Страница 15 5. Умножить полученную сумму на 10 58 ´ 10 = 580 6. Прибавить бабушек и дедушек. 580 + 2 = 582 7. И, наконец, прибавить 125. 582 + 125 = 707 Закончив вычисления, попросите у приятеля калькулятор с результатом на табло. Вычтите  из него 275, и на табло чудесным образом появится количество братьев, сестер и бабушек с  дедушками!                                    10. Фокус с книгой.  Попросите приятеля открыть книгу и загадать какое­либо слово на  любой странице. Совершив магические действия, вы без труда найдете это тайное слово из  тысячи слов этой книги. Предложите приятелю выбрать любую страницу в книге и записать номер страницы, не  показывая вам. (Стр.47). Пусть он выберет любую из первых девяти строк на этой странице, и запишет номер строки (строка 8). Попросите его в этой строке выбрать любое слово из  первых девяти слов, и записать его номер от начала строки и само слово. (Слово 3:  МАГИЯ). Дайте ему калькулятор, и попросите его выполнить следующие действия: 1. Ввести номер страницы:47 2. Умножить этот номер на 2: 47 ´ 2 = 94 3. Умножить это произведение на 5: 94 ´ 5 = 470 4. К результату прибавить 20: 470 + 20 = 490 5. Прибавить к этой сумме номер строки (8): 490 + 8 = 498 Страница 16 6. Прибавить 5 к полученной сумме: 498 + 5 = 503 7. Умножить полученный результат на 10: 503 ´ 10 = 5030 8. Прибавить к этому произведению номер слова: 5030 + 3 = 5033 Узнайте у приятеля окончательный результат. Стоит лишь вычесть из него 250 и вы  назовете номер страницы, номер строки и место загадочного слова от начала строки. 5033 – 250 = 4783. 47 – страница, 8 – строка, 3 – слово. Найдите эту страницу в книге, отсчитайте  столько строк и слов в этой строке и вы обнаружите загадочное слово МАГИЯ. Исключения:  1. Если друг выбрал страницу с однозначным номером, то последнее число будет состоять  из 3 цифр.  2. если будет выбрана страница с трехзначным номером, последнее число будет состоять из пяти цифр.  Объяснение фокуса. а – номер страницы, b – номер строки, с – номер слова. Действия. 1. а; 2. 2а; 3. 10а; 4. 10а + 20; 5. 10а + 20 + b; 6. 10а + 25 + b; 7. 100а + 250 + 10b; 8. 100а + 250 + 10b + с – 250 = 100а + 10b + с. Это стандартный вид  трехзначного числа.                               11. Фокус « Шахерезады». Пусть один из участников на листе бумаги напишет любое  трехзначное число и передаст эту запись кому­нибудь другому, где тот рядом должен  Страница 17 повторить то же самое число. Третий участник должен разделить это число на 7 (уже  понятно, что шестизначное число разделится на 7 без остатка). Пусть четвертый участник  разделит полученный результат на 11(никакого остатка от деления не будет). А потом  пятый участник разделит полученный результат на 13 ( опять деление будет без остатка). В  результате получится самое первое число, написанное на листочке. Например: Итак, первый участник записал: 342 Второй­342342, Третий­ 342342 : 7=48906 Четвертый­ 48906 : 11=4446, Пятый­ 4446 : 13= 342  12. Фокус с отгадыванием числа.  Предложите зрителям задумать трехзначное число и  записать его на бумаге. При загадывании числа должно быть выполнено одно условие:  цифра сотен не должна быть равна цифре единиц и не должна быть на единицу меньше или  больше ее. Если вы еще путаетесь в сотнях и единицах, то на первом месте в трехзначных  Страница 18 числах стоят сотни, на втором десятки, на третьем единицы (например, подойдет число  531). Теперь зрители должны перевернуть задуманное число, т.е. написать цифры в обратном  порядке (135). Затем зрители должны взять эти два числа и из большего вычесть меньшее (531 ­ 135). Получившуюся разницу снова нужно перевернуть (396; 693) и сложить эти два числа (396 +  693). Потом один из зрителей должен прибавить к полученной сумме 100, второй — 200, третий  — 300 и т. д. Теперь вы можете отгадать, что получилось у каждого зрителя. У первого зрителя,  прибавлявшего 100, получится 1 189, у второго — 1 289, у третьего — 1 389.                            13. Фокус М.С. Лермонтова. Задумай любое число, прибавь к нему 25, прибавь еще 125, отнями 36, вычесть задуманное число, остаток умножить на 5, полученное число разделить на 2. Получится 285.  Секрет фокуса : (а + 25 + 125 – 36 ­ а) ∙ 5 : 2 = 114 ∙ 5 : 2 = 285.  Как  видно,  в  процессе  выполнения  действий  задуманное  число  а  исключается,  и собеседник  выполняет  остальные  действия  только  над  теми  числами,  которые  дает  сам отгадчик. Мы рассмотрели этот пример и сделали вывод, что вместо чисел 25, 125, 36, 5 и 2 можно брать, конечно, и другие числа, но тогда и ответ будет иной. Страница 19 14. Фокус « Угадай день рождение».  Объявите зрителям, что вы сможете угадать день рождения любого незнакомого человека, сидящего в зале.  Вызовите любого желающего и предложите ему умножить на 2 число дня своего рождения Затем пусть зритель сложит получившееся произведение и число 5, теперь пусть умножит на 50 полученную сумму. К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль — 7, январь — 1) вслух назвать полученное число и вычесть из этого результата 250. Через секунду вы называете день и месяц рождения зрителя.  Секрет фокуса: Например, мой день рожденья 8 января. 8 * 2 = 16 16 + 5= 21 21 * 50 = 1050 1050 + 1 = 1051 А теперь надо вычесть 250: 1051 ­ 250 = 801 8 ­ это число, а 01­ месяц рождения.  Страница 20 15. Фокус «Угадай возраст».   1.Возраст  умножить на 10. 2.Взять любое число от 1 до 9 и умножить  на 9. 3.Из первого результата  вычесть второй. 4. Просим сказать ответ и складываем этот результат. 5. Удивление зрителя Секрет фокуса:  Например, мне 12 лет.  12 * 10 = 120 Я возьму число 7: 7 * 9 = 63 120 ­ 63 = 57 А теперь надо сложить 5 и 7:                    5 + 7 = 12 16. Фокус « Зачеркнутая цифра» Ведущий предлагает на листе бумаги записать какое­то 4­значное число. Затем  предлагается поменять местами цифры в этом числе в любом порядке. Далее от большего  числа отнять меньшее. В полученном результате зачеркнуть любую цифру, кроме нуля.  Оставшиеся цифры необходимо озвучить ведущему. После чего ведущий отгадывает, какая цифра была зачеркнута. Страница 21 17.Фокус с предопределенным выбором. Записывается число 159654. Предлагается под этим числом записать любое 6­значное  число, при чем желательно, чтобы числа в нем были различными. Под этим числом ведущий записывает другое 6­значное число. Затем под ним предлагается записать еще одно 6­ значное число. Затем ведущий записывает другое 6­значное число. Предлагается сложить  данных 5 чисел, получается какой, то 7­значный ответ, но ведущий предугадал его и  записал на бумаге, которую предварительно отдал.                                      18. Фокусы с часами Вариант 1 Задумайте какой­нибудь час (от 1 до 12). Задуманный вами час запомните. Теперь я буду  указкой постукивать по часам. Каждый раз, когда постучу, прибавляйте к задуманному  вами числу по одному. Когда вы досчитаете до двадцати, остановите меня. Получившееся  число озвучивается ведущему, а в ответ он называет задуманное число. Вариант 2 Также начнется с того, что зритель задумывает какое­нибудь число от 1 до 12. Фокусник  берет указку и начинает притрагиваться ее кончиком к числам на циферблате часов,  причем делает это, по­видиму, в совершенно произвольном порядке. Зритель считает про  себя прикосновения фокусника к часам и, дойдя до 20, произносит слово «стоп». И  странное совпадение: в этот момент указка оказывается как раз на задуманном числе. Страница 22 19. Фокус « Задуманное число».  Задумайте число.  Прибавьте 1.  Умножьте на 3.  Прибавьте снова 1. Прибавьте задуманное число. А теперь результат. Секрет:   Когда вы называете фокуснику конечный результат всех этих выкладок, он  отнимает 4, остаток делит на 4 и получает то, что было задумано. Например,  вы задумали число 12. Прибавили 1 ­получили 13. Умножили на 3 ­получи ли  39.Прибавили 1 – у вас 40. Прибавили задуманное число: 40 + 12 = 52. Когда  вы называете число 52, он отнимает от него 4, а оставшееся 48 делит на 4.  Получает 12 ­число, которое было вами задумано. ЛИТЕРАТУРА • Е.Аратюнян,  Г.Левитас. Занимательная математика. ­ М.: АСТ­ПРЕСС, 1999. • Мартин Гарднер. Математические чудеса и тайны. Москва «Наука»1987. • Я.И.Перельман. Занимательная наука. Москва. Издательство Русанова 1994. Страница 23 • Я.И.Перельман. Веселые задачи. Мир энциклопедий Аванта+Астрель Москва,  2008. • Я.И.Перельман. «Живая математика». ­ Е.: Издательство «Тезис», 1994. • Интернет­ресурсы: festival.ru/1september.ru  Страница 24 Страница 25