Школьный этап олимпиады по математике для 10 класса (с решением)

Школьный этап олимпиады по математике для учащихся 10 класса.

1. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника ABC равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Решение. Пусть AD и СЕ – высоты ∆ABC, О – точка их пересечения. Из того, что в прямоугольном треугольнике АОЕ угол АОЕ равен 60°, следует, что ОЕ = АО/2, т. е. ОЕ = OD. Значит, прямоугольные треугольники ОЕВ и ODB равны (ВО – общая гипотенуза). Тогда BE = BD, откуда следует, что ∆ABD =∆ СВЕ (ÐABC – общий). Отсюда АВ = ВС. С другой стороны, ÐABC = 90° – ÐBAD = ÐAOE = 60°. Значит, треугольник ABC равносторонний.

2.Числа a и b подобраны так, что . Найти .

Решение. Первый способ. Заметим, что произведение этих чисел равно -1.

   = - 1. Но тогда второе число равно – 3.

Ответ: - 3.

Второй способ решения. Если , то 3a – 2b = . Возведя в квадрат и делая преобразования, получаем b = . Тогда=  = - 3.

3. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

Ответ. Уменьшится на 2013.

Решение. Пусть изначально были числа  x и  y (с произведением  xy). После того как первый  множитель  увеличили  на  1,  а  второй  уменьшили  на  1,  получилось (х + 1)(у – 1) = ху + у – х - 1. Произведение увеличилось на 2011, то есть  (х + 1)(у – 1) – ху = ху + у – х – 1 – ху = у – х – 1= 2011 или

 у – х = 2012.

 Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится  (х - 1)(у + 1) = ху + х – у – 1.

 (х - 1)(у + 1) – ху = ху + х – у – 1 – ху = х – у – 1= -2013 или  ху – 2013 = (х - 1)(у + 1), т.е произведение уменьшилось на 2013.

4. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Решение. Первый способ. Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9=26.

Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Второй способ. Пусть х – количество попаданий в 7, у – количество попаданий в 8, z – количество попаданий в девятку. Составим уравнение 7х + 8у + 9z + 10∙4 = 90, тогда 7х + 8у + 9z = 50. Но так как стрелок всего сделал 10 выстрелов, из которых в 10 – четыре, то х + у + z =  10 – 4 = 6. Числа х, у, z – натуральные (количество выстрелов), то,  подбираем и получаем,  что  х = 1, у = 2, z = 3.

Ответ. В семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

5. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 рублей, то через год получил бы доход 220 рублей.

Какая сумма была внесена им в банк?

Решение: Пусть х р. – вклад клиента,  то (х + 800) р. - сумма, которая была бы.

0,11(х + 800) р. – доход в 11%, который он мог бы получить с этой суммы.

Составим уравнение: 0,11 (х + 800) = 220, х = 1200.

Ответ: 1200 рублей.

6. Найдите последнюю цифру числа  а = 32²⁰¹⁷.

Решение: Последняя цифра степени 32²⁰¹⁷ совпадает с последней цифрой степени 2²⁰¹⁷.

2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, т.о. последняя цифра степени с основанием 2 повторяется через 4 шага.

Ищем остаток от деления 2017 на 4.  2017 = 2016 + 1. Остаток r = 1, следовательно 2^r = 2¹ = 2.

Итак, последняя цифра – это 2

Ответ: 2