Система счисления

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен десяти. В   позиционных   системах  счисления  вес   каждой   цифры   изменяется   в   зависимости   от   ее   положения  (позиции)   в последовательности цифр, изображающих число. Например, в десятичном числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись суммы 700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 • 102 + 5 • 101 + + 7 10▪ 0 + 7 10 ▪ ­1 = 757,7. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание    позиционной    системы счисления — это количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Приняв за основание число 10, получим хорошо знакомую  десятичную систему. Число 60 является основанием древней   вавилонской   шестидесятеричной   системы,   к  которой  восходит   деление  часа   на  60  минут   и  угла   на  360  градусов. Традицию   считать   дюжинами   —   в   году   двенадцать   месяцев,   в   сутках   два   периода   по   12   часов,   в   футе   12   дюймов   ­ распространили англосаксы. В Китае широко использовалась пятеричная система. За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т. д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения a n­1 q n ­1 + a n­2 q n­ 2+ ... +  a1  q1  +  a0q0  +  a  ­1  q  ­1  + ... +  a  –m  q  ­m,  где  аi  ­  цифры системы счисления;  n  и  m  ­  число целых и дробных разрядов соответственно. ПРИМЕРЫ: 1)Разряды      3210  ­1      Число        1011,   12 =  1 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 1 • 2° + 1 • 2 ­1 ; 2)Разряды      210   ­1­2      Число        276,   5 28   = 2 • 82 + 7 • 81 + 6 • 8° + 5 • 8 ­1 + 2 • 8 ­2. В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д. Продвижением цифры называют замену ее следующей по величине. Продвинуть цифру 1 — значит заменить ее на 2, продвинуть цифру 2 — значит заменить ее на 3 и т. д.  Продвижение старшей цифры  (например, цифры 9 в десятичной системе)  означает замену ее на 0.  В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену ее на 0. Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью  Правила Счета  :     для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая­либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую сле    ва от нее.   Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел:     в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;      в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100; в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14; в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11. Кроме десятичной, широко используются системы  с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:  т двоичная (используются цифры  0, 1); восьмеричная    (используются цифры  0, 1, ..., 7);   шестнадцатиричная    (для первых целых чисел используются цифры 0, 1, ..., 9,   а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы А, В, С, D, E, F). Как перевести число из двоичной  (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную: Перевод в десятичную систему числа х, записанного в q­ичной системе счисления (q = 2, 8 или 16) в виде х q = (a n a n­1...а 0,а ­]  а ­2...а ­m) q, сводится к вычислению значения многочлена х10= a  nq  n + a  n­1  q  n­1 + ... + a0q° + a  ­1q  ­l + a  ­2q  ­2  +  + ... + a  –m q  ­m средствами десятичной арифметики. ПРИМЕРЫ: 1)     Разряды    3   2   1   0  ­1     Число            1   0   1   1, 12 = 1 2▪ 3+ 1 2▪ 1 + 1 2° + 1 2  2)     Разряды    2  1  0  ­1     Число            2  7  6, 58 = 2 8▪ 2 + 7 8▪ 1 + 6 8° + 5 8  3)     Разряды    2  1   0    Число             1  F  316 = 1 6▪ 2 + 15 16▪ 1 + 3 16▪ 0 = 49910. ▪ ▪ ▪ ­1 = 11,510. ▪ ­1 = 190,625 10.