Системы счислени

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа № 8» с. Спасское

 

 

 

 

 

 

ПРОЕКТ

по предмету математика

Тема: «Системы счисления»

 

 

 

 

 

Автор:Ступник Дмитрий,

5 «А» класс

 

                      Руководитель: Лактионова М.П.,

учитель математики

 

 

 

 

2020 год

 

 

 

Оглавление:

1.Введение

2. Теоретический материал

2.1. Из истории системы счисления.

2.2. Что такое система счисления?

2.3.Позиционные и непозиционные системы счисления.

2.4.Двоичная система счисления.

2.5.Шестидесятиричная система счисления.

2.6.Десятичная система счисления.

2.7.Другие системы счисления.

3.Практическое применение

3.1. Опрос учеников 5-х классов                                                                                                                               3.2.Результаты проведенного опроса

5. Заключение

6. Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение:

Актуальность:

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: запоминает номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет свой семейный бюджет и т.д. Числа и цифры с нами везде!

 

Проблема:

Искусство счета развивалось с развитием человечества. Способов счета было придумано немало. Какую же лучше использовать систему счисления в том или ином случае?

Цель: Узнать какая система счисления наиболее удобна.

Гипотеза:

Десятичная система счисления самая привычная и удобная.

Задачи:

- познакомить учащихся с возникновением и развитием системы счисления;

- дать представление о роли и назначении систем счисления;

- побудить интерес к изучению темы, с использованием информационно-   коммуникационных технологий;

-найти и проанализировать научную литературу;
-отобрать нужный материал по данной теме;
-оформить работу;

 

 Методы исследования:  теоретический анализ, дедуктивный метод.

Планируемый результат:  доказать, что десятичная система самая привычная и удобная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Теоретический материал

2.1. Из истории системы счисления.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике  принято называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Сегодня, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

2.2. Что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

  2.3. Позиционные и непозиционные системы счисления

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.
 Единичная

Алфавит – один знак 1
Значение числа равно сумме всех единиц

111111111

 Римская

Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Первые двенадцать натуральных чисел в римской системе записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Примеры записи чисел XXVIII – 28, MCMXXXV – 1935. С этими числами очень трудно производить арифметические действия. По этой причине в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях – на циферблате часов, в ряде других случаев.

Алфавит – семь знаков I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)

Значение числа равно сумме больших чисел и разности малых чисел, предшествующих большим числам

MCMXCVIII

Впервые идея позиционной системы счисления возникла в древнем Вавилоне, Индии и Китае.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

2 — двоичная);

3 — троичная;

10 — десятичная (используется повсеместно);

12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);

16 — шестнадцатеричная (в программировании, информатике )

60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени).

Я расскажу о некоторых из них.

2.4.Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью двух символов: 1 и 0. Цифра двоичной системы — бит. Восемь цифр – байт.

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё в XVII-XIX веках. Выдающийся математик Лейбниц говорил: “Вычисление с помощью двоек…является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок”. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательное применение двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой.

2.5.Шестидесятеричная система счисления

В современное время шестидесятеричная система счисления используется для измерения времени, углов.

В представлении времени используются три позиции: часы, минуты, секунды, так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только 10, то для каждой шестидесятеричной позиции используются две десятичные цифры (00, 01, …), позиции разделяются двоеточием. h:m:s.

Давайте решим две задачи:

1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут. Сколько секунд потребуется?
2. Нужно испечь 10 пирогов. Сколько потребуется времени?

Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицы сложения и умножения шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60*60, мы- то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятеричную таблицу нам будет ещё гораздо сложнее. Как же быть? Можно решать эти задачи в десятичной системе счисления, а потом результат перевести в шестидесятеричную.

45 минут=0*3600+45*60+0= 2700 секунд

2700*10=27000 секунд потребуется для выпечки 10 пирогов.

27000/60=450 (остаток 0)

450/60=7 (остаток 30)

7/60=0 (остаток 7) Получилось 07:30:00

2.6.Десятичная система счисления

Представление чисел с помощью арабских цифр – самая распространённая позиционная система счисления, она называется “десятичной системой счисления”. Десятичной она называется потому, что использует десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Десятичная система счисления – наиболее известное достижение индийской математики (595год). Система с основанием 10 проникла по караванным путям из Индии во многие области Ближнего Востока. Постепенно эту систему всё шире стали применять в арабском мире, хотя одновременно в ходу оставались и другие системы. “Книга абака” Леонардо Пизанского (1202 год) была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Эта книга была грандиозным по тем временам трудом, в печатном виде она насчитывала 460 страниц. Её автор известен ещё и под именем Фибоначчи. Его книга представляла математическую энциклопедию своего времени. Десятичная система получила распространение и признание в Европе только в эпоху Возрождения.

2.7.Другие системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления – используются следующие знаки для записи чисел: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С ,D, E, F.

Двоично-десятичная система счисления. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определённой комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой. Пример:

125₁₀=000100100101_2-10 (3 тетрады)

0000=1 0100=4 1000=8

0001=1 0101=5 1001=9

0010=2 0110=6

0011=3 0111=7

Пятеричная система счисления – Первые математики умели считать лишь по пальцам одной руки, а если предметов было больше, то говорили так: “пять +один” и т.д. Иногда за основу принимали число 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов 146 были десятичными, 106 – пятеричными и десятичными.  Система с основанием 20 существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе.

 

 

 

3.Практическое применение

3.1. Опрос учеников 5-х классов

Вопрос № 1: Знаете ли вы, что такое система счисления?

1. Конечно
2.  Нет, никогда не слышал
3.  Слышал об этом, но сейчас не вспомню что это

Вопрос № 2: Какие системы счисления вы знаете?

1. Десятичная, двоичная, восьмеричная
2.  Троичная, пятеричная, шестеричная
3.  Римская, славянская, египетская
4.  Все варианты

Вопрос № 3: Может ли человек отметить своё тысячелетие?

1. Конечно, почему бы и нет
2.  Сомневаюсь ответить
3.  Нет, слишком большой возраст

Вопрос № 4: Всегда ли 2+2=4?

1. Конечно
2.  Нет, не всегда, но я не могу доказать
3.  Нет, не всегда, я уверенно могу доказать это

Вопрос №5: Всегда ли 2*2 = 4

1. Конечно
2.  Нет, не всегда, но я не могу доказать
3.  Нет, не всегда, я уверенно могу доказать это

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.Результаты проведенного опроса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Заключение.

 

Я  рассказал о нескольких системах счисления, истории их развития. Из всех рассмотренных систем счисления, наиболее интересной мне показалась двоичная система счисления.  А еще я выяснил, что двоичная система счисления намного старше электронных машин. Двоичной системой счисления люди интересуются давно. Особенно сильным это увлечение было с конца 16 до 19 века. Знаменитый Лейбниц считал двоичную систему счисления простой, удобной, красивой. Даже по его просьбе была выбита медаль в честь этой «диадической» системы (так называли тогда двоичную систему счисления).Двоичная система счисления наиболее проста и удобна для автоматизации. Наличие в системе всего лишь двух символов упрощает их преобразование в электрические сигналы. Из любой системы счисления можно перейти к двоичному коду.

Но двоичная система имеет и недостаток, ею пользуются только для ЭВМ;

 

 В ходе исследования я так же выяснил,  как в древности вели устный счет (сложение, вычитание, умножение и деление), а также как использовались счетные доски (например, греческий абак), как с помощью древних цифр происходило представление дробей, какие системы счисления использовали разные народы.

И всё же десятичная система счисления самая привычная и удобная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Литература

 

     1. С.Б. Гащков «Системы счисления и их применение». МЦНМО, 2004г.

2.Д.Я. Стройк “Краткий очерк истории математики” (“Наука”, Москва, 1990 г.).

3.Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова “За страницами учебника математики” (“Просвещение”, Москва, 2008).

4.А.В. Дорофеева “Страницы истории на уроках математики” (“Просвещение”, Москва, 2007).

Интернет – ресурсы “Википедия

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru