Топология и пространственное воображение школьника

Научно-практическая конференция учащихся,

посвящённая 100 - летию со дня рождения математика

Евгения Фроловича Мищенко.

Топология и пространственное воображение школьника

Исследовательская работа

                                                        Автор: Куннова Варвара

обучающаяся  8  класса

                                                                       МБОУ  Новлянской СОШ

Селивановского района

Владимирской области                                                                                                                                                                  

                                                Руководитель: Куннова Елена Юрьевна,

учитель математики

       МБОУ  Новлянской СОШ

д. Новлянка

Содержание

 Введение ………………………………………………………………………..3

Основная часть

Глава I. Е.Ф. Мищенко – от сельского школьника до  академика…........……5                                                            

Глава 2. Наука топология и пространственное воображение.……………...….6

2.1.  Топологические родственники………………………….…………..…….6

2.2. «Кёнигсбергские мосты»…………………………………….…..……..……7

2.3. «Одним росчерком»..………………………………………….….………..8

Заключение ………………………………………………………………………12                                     

Список литературы..……………………………………………………………..13                                                                                            

Приложения

Приложение № 1…………………………………………………………………14

Приложение №2………………………………………………………………….15

Приложение №3………………………………………………………………….16

Приложение № 4……………………………………………………………..…..17

Приложение №5……………………………………………………….…………18

Приложение №6…………………………………………………………………19

Приложение №7…………………………………………………………………20

Приложение №8…………………………………………………………………22

Введение

         Наша Владимирская земля богата талантами: поэтами, художниками, артистами, спортсменами и, конечно же, учеными. В этом году исполняется 100 лет со дня рождения нашего земляка - математика Евгения Фроловича Мищенко. При поступлении в аспирантуру МГУ имени М.В. Ломоносова он написал несколько работ по топологии. Ответить на вопрос о том, что такое топология, весьма непросто. Топология - раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Идеи топологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как  Пуанкаре, Кантор, Эйлер. Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема - то есть метрическими свойствами фигур. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл. С понятиями топологии нам постоянно приходится иметь дело в курсе геометрии. В основе восприятия любой фигуры лежат такие фундаментальные топологические понятия как "внутренняя область", "внешняя область", "граница». В разделе «Многогранники» изучается основная теорема топологии, которая носит название «Теорема Эйлера»: число вершин минус число ребер плюс число граней выпуклого многогранника равно двум: В – Р + Г = 2. Топология – наука сложная. Её мы называем вершиной геометрии. В её основе лежат абстрактные понятия, которые школьникам сложно воспринять и понять. Топология выросла из так называемых «занимательных задач», рассматривая которые мы приходим в восторг. Познакомить школьников с занимательными задачами по топологии – цель моей, работы, что позволит сделать знания учащихся более основательными, развить их творческие способности, пространственное воображение и интерес к математике как к предмету.

 Таким образом, возникает необходимость исследования проблемы: как первоначальные знания топологии помогают развивать пространственное воображение школьников.

Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что с помощью элементов топологии можно развить пространственное воображение для лучшего усвоения школьного курса геометрии, получить новые знания.

Цель: Выяснить, как первоначальные знания по топологии развивают пространственное воображение.

Объект исследования: научные статьи по топологии Е.Ф. Мищенко.

Предмет исследования: поверхности геометрических тел, графы.

В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:

·        изучить научную литературу по данной проблеме;

·        провести сравнительный анализ как поведут себя геометрические фигуры при деформации;

·        выяснить что такое графы;

·        выяснить что такое вычеркивание фигур «одним росчерком»

·        сделать подборку задач, решаемых методом «одним росчерком».

Методы исследования: изучение теоретических сведений по проблеме исследования, анализ и синтез, сравнение, конкретизация, обобщение, систематизация.

Практическая значимость работы состоит в том, что разобранные  решения топологических задач могут быть применены в процессе обучения математики и информатики, результаты работы могут быть использованы в качестве дополнительного материала для проведения внеурочных занятий по математике, информатики, конференций, исследовательских работ, для развития пространственного воображения.

  Глава I. Е.Ф. Мищенко – от сельского школьника до  академика

Евгений Фролович Мищенко родился в 1922 году в деревне Хотиловка Владимирской (тогда Ивановской) области в бедной семье Фрола Васильевича и Екатерины Сергеевны. После того как Женя окончил первый класс, семья переехала в близлежащий поселок Ново-Вязники. Женя Мищенко проводил много времени в библиотеке местного клуба. Читая все подряд, он наткнулся на неизвестно как туда попавшие книги по математике. Среди них была книга П.С. Александрова и А.Н. Колмогорова «Введение в теорию функций действительного переменного». Ее самостоятельное изучение привело юного школьника в восторг.  К его школе учителем математики был Александр Иванович Егоров. Женя быстро подружился с ним и в 9-м классе решил стать математиком. Учитель начал заниматься со способным учеником индивидуально. Кроме того, еще до окончания школы он вступил в переписку с П.С. Александровым, который подарил ему несколько математических книг. В 1940 году он получил среднее образование.  С этого же года Е.Ф. Мищенко находился в действующей армии. А с 1941 по 1944 г. на Карельском фронте, пройдя путь от красноармейца до лейтенанта. За военные заслуги награжден орденами Красной Звезды и Отечественной войны I и II степени. В 1946 г. Е. Ф. Мищенко поступает на механико-математический факультет МГУ, по окончании которого (1951) был оставлен в аспирантуре на кафедре геометрии и топологии . Все это время его руководителем был П. С. Александров.  Еще в студенческие годы Е.Ф. Мищенко познакомился с Л.С. Понтрягиным. Как раз тогда Л.С. Понтрягин решил полностью переключиться с топологии на дифференциальные уравнения. Е.Ф. Мищенко активно включился в эту новую для него работу и на ряд лет стал одним из ближайших сотрудников Л.С. Понтрягина. Они не только выполнили несколько совместных научных работ, но Е.Ф. Мищенко существенно помогал Л.С. Понтрягину при разработке нового учебного курса по обыкновенным дифференциальным уравнениям и создании знаменитого учебника. С 1954 г. Е.Ф. Мищенко работает в Математическом институте им. В.А. Стеклова Российской академии наук, где он прошел путь от младшего научного сотрудника до заместителя директора (1959–1994) и академика (1984). Одновременно он продолжал преподавать в МГУ, а затем в Московском физико - техническом институте. За свою педагогическую деятельность Е.Ф. Мищенко воспитал блестящую плеяду учеников, среди которых академик Д.В. Аносов, профессора М.И. Зеликин, Н.Х. Розов, М.С. Никольский, Ю.С. Ледяев, П.Б. Гусятников, А.Ю. Колесов, академик Узбекской академии наук Н.Ю. Сатимов и другие.

20 июля 2010 сердце математика перестало биться. Похоронен Е.Ф. Мищенко на Троекуровском кладбище Москвы.

  Вывод: Благодаря своим врожденным способностям,  особому трудолюбию и настойчивости он прошел путь «от сельского школьника до академика».

Глава 2. Наука топология и пространственное воображение.

    Топология (геометрия положения) является одним из самых «молодых» разделов геометрии, изучающий свойства геометрических фигур (на плоскости) и тел (в пространстве), которые не изменяются при деформации. Фигуры можно сжимать, растягивать, сгибать или выпрямлять, перевернуть или перекрутить, но не допускается разрезание и склеивание. Все это позволяет развивать пространственное воображение. Пространственное воображение - это умение мысленно моделировать и представлять различные объекты или конструкции, видеть их внутренним зрением в цвете и деталях при изучении математики, физики, химии и других предметов. Воображение помогает учащимся при изучении стереометрии оживить абстрактные объекты, наполнить конкретным содержанием.  Эта ветвь математики начала развиваться с того момента, как в середине девятнадцатого века немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги.

2.1.  Топологические родственники

     Топология в основном изучает поверхности тел и находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии кружку, бублика, макаронину, баранку или гайку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно разные. Эти предметы часто называют  «топологическими родственниками». Рассмотрим опыт с поверхностями и отверстиями, полученными из бумажной полоски. У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, то есть, пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку, но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».

Продолжим рассматривать опыты с листом Мёбиуса и подобными ему кольцами.

Возьмём простое кольцо и перекрученное на пол-оборота кольцо (лист Мёбиуса). Разрежем вдоль каждое из них. Разрезав обычное кольцо, у нас получилось два кольца.

При этом длина окружности каждого кольца та же, но кольца в два раза уже.

Разрезав лист Мёбиуса, мы получили кольцо, которое перекручено на два полуоборота, длина его окружности в два раза больше, и кольцо уже исходного в два раза. Хотя казалось бы, что лист должен был распасться.

А вот если взять ленту Мёбиуса шириной 3 см и разрезать её вдоль, отступив от края на 1 см, то получим два кольца – одно большое и сцепленное с ним маленькое. При этом маленькое кольцо – это лента Мёбиуса. Большое представляет собой кольцо, которое перекручено на два полуоборота.

Вы можете провести опыт, который называется «Солдатик-перевёртыш». Вырежьте из бумаги солдатика и отправьте его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса. В каком виде солдатик вернётся к месту старта?

  Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Например, бутылка Клейна – односторонняя поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном. Это изобретение до сих пор применяется в повседневной жизни (Приложение 1).

2.2. «Кёнигсбергские мосты».

Давайте рассмотрим известную задачу, которая положила начало задачам на вычерчивание фигур одним росчерком. Это задача о «кёнигсбергских мостах». Город Кёнигсберг был расположен на берегах и двух островах реки Преголи. Различные части города были соединены семью мостами.

Среди жителей города была распространена такая загадка: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту, а затем вернуться в начальную точку пути? Многие пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок, но это никому не удавалось.

Леонард Эйлер – выдающийся математик, член Петербургской академии наук в 1736 году заинтересовался этой задачей, и ему удалось её разрешить.

Итак, к восточному острову ведут 3 моста. 3 – число нечётное. Если прогулка начинается вне восточного острова, то поскольку по каждому из трёх мостов надо пройти один раз, заканчиваться она должна на этом острове.

Это можно сравнить с включением и выключением настольной лампы. Будем поочерёдно включать и выключать настольную лампу, нажимая на кнопку. Если вначале лампа была выключена, то после трёх таких операций (включили-выключили-включили) лампа окажется включённой.

Участки суши и мосты обозначим буквами.

К западному острову ведут 5 мостов. 5, как и 3, – число нечётное. Следовательно, если прогулка начинается вне западного острова, то заканчивается она на западном острове.

На южный и на северный берега реки ведут по 3 моста, а значит, и к ним можно применить такие же рассуждения.

Получается, что каждый из четырёх участков суши, обозначенных буквами A, B, C и D, должен быть либо началом, либо концом прогулки. Но это невозможно.

План города для решения этой задачи можно изобразить вот таким графом:

Тогда задача сведётся к вычерчиванию этой фигуры одним росчерком. На этом графе четыре узла (они соответствуют берегам C и B и островам A и D) и семь кривых, которые обозначают мосты a, b, c, d, e, f, g. Все узлы этого графа являются нечётными, так как в каждом из них сходится нечётное число линий.

Если бы существовал искомый маршрут, то эту сеть кривых можно было бы изобразить одним росчерком. Получается, что задача о мостах доказывает, что изображённую фигуру нельзя нарисовать одним росчерком. Так же обосновывается наше правило для любой фигуры.

2.3. «Одним росчерком»

К топологическим относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. Такие задачи на самом первом занятии. Мы с вами выяснили, что фигуру, изображённую на рисунке, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя более одного раза никакой линии. Причём начать рисовать фигуру можно с любой вершины.

Также мы привели пример фигуры, которая на первый взгляд проще, так как содержит меньшее количество линий, но вычертить её, не отрывая карандаша от бумаги, не получится.

Почему какие-то фигуры получается нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды, а какие-то нет?

Давайте разберёмся. Посмотрите на рисунок, на котором изображена сеть линий. Она называется графом. «Граф» в переводе с греческого означает «пишу». Точки, в которых соединяются линии, называются узлами.

В нашем графе 5 узлов. При этом в первом, втором и третьем узлах соединяется по две линии, то есть чётное число. Эти узлы называются чётными.

А в четвёртом и пятом узлах соединяется по три линии, то есть нечётное число. Эти узлы называются нечётными.

Получается, что в этом графе 3 чётных узла и 2 нечётных. Данную фигуру можно нарисовать одним росчерком, то есть не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

Теперь посмотрите на фигуру, которая представляет собой домик с дверью. Она содержит 9 узлов. Первый, второй, третий, шестой и седьмой узлы являются чётными, а четвёртый, пятый, восьмой и девятый – нечётными. В этом графе 5 чётных узлов и 4 нечётных. Отметим, что нечётных узлов здесь больше 2.

Запомните! Если в фигуре (на графе) число нечётных узлов больше двух, то её нельзя нарисовать одним росчерком.

Получается, что фигуру в виде домика с дверью нельзя нарисовать одним росчерком.

А сейчас давайте решим задачу. Выясните, какие из фигур можно вычертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии.

Решение.

Решим ещё одну задачу. Выясните, сможет ли пчела последовательно обойти все 12 рёбер куба, не проходя дважды по одному ребру, не подпрыгивая и не перелетая с места на место.

Решение.

Скачано с www.znanio.ru