ЛЕКЦИИ ПО ИНФОРМАТИКЕ

 

 

 

 

 

 

 

Системы счисления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тарасова Ирина Олеговна

 

 

 

 

 

Лекции по информатике

 

Системы счисления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методические разработки

для учащихся

 

 

 

 

 

 

Самара, 2019

 

«Все есть число»,

- так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

 

 

§1.  О системах счисления.

 

 

n1. Немного из истории.

 

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках и узлами на веревках (на рисунке на титульном листе изображен счетовод-казначей, один из коренных жителей Южной Америки (инки), у которого в руках веревочный прибор для узелкового счета). Это и была простейшая и самая древняя – так называемая, унарная система. В ней для записи любых чисел используется всего один символ – палочка, узелок, камушек.  Используя именно эту систему счисления, вас научили считать (сами того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст). 

Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало не удобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Так, например, в Древнем Египте около 4000 лет назад для обозначения чисел использовали иероглифы, показанные на рисунке.

Единица изображена колом, десяток – как бы парой рук, сотня – свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, символом изобилия, сто тысяч – лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила.

Так, например число 5736 записывалось следующим образом

 

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Например, 1232 руб. 24 коп. изображались так как показано на рисунке. Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках: «Чтобы на каждой квитанции кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания.  Употребляемые в квитанции знаки означают:

Звезда – тысяча рублей

Колесо – сто рублей

Квадрат – десять рублей

Х     - рубль

|      - копейку.

 

 

«Дабы неможно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями».

 

 

 

·   запишите свой год рождения при помощи иероглифов Древнего Египта.

·   запишите с помощью старинной русской системы счисления сумму 2357 руб. 53 коп

 

 

 

 

n2. Римская система.

 

До наших дней сохранилась известная вам римская система счисления. В этой системе цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

 

I = 1                 V = 5              X = 10                L = 50

C = 100            D = 500          M = 1000    

 

Для записи промежуточных чисел используется правило:  меньшие знаки, поставленные справа от большего, но не более трех одинаковых подряд, прибавляются к его значению, а меньшие знаки, поставленный слева от большего, вычитаются из него, при этом невозможно ставить более одного меньшего слева от большего.

 

Пример1. Записать число 444 в римской системе.

Решение:

444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV

 

 

Пример2. Записать число 2986 в римской системе счисления.

Решение:

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.

Пример3. Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.

Решение:

CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963

 

 

Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, обозначения веков, разделов и глав в книгах.

 

 

1. Запишите числа в римской системе:

·   2007

·   448

·   1954

2. Запишите числа в десятичной системе:

·   MCDXXIII

·   LXXIX

·   MMCXLI

 

 

 

 

 

n3. Развернутая форма числа

 

Из курса математики вам известно, что цифры десятичной записи числа – это просто коэффициенты его представления в виде суммы степеней числа – основания системы счисления:

    

    25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*10⁴ +5*10³ + 0*10² +7*10¹ +6*10⁰

 

При переводе чисел из десятичной системы счисления в римскую мы и воспользовались этим правилом (444 = 400 + 40 + 4;  2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1.

 

Определение. Развернутой формой записи числа называется такая запись:а₄а₃а₂а₁а₀ = а₄*q⁴ + a₃*q³ + a₂*q² + a₁*q¹ + a₀*q⁰ , где а₄,а₃,а₂,а₁,а₀ –цифры числа, q –основание степени.

 

 

Пример4. Получить развернутую форму числа 7512410.

Решение:

 а₄ = 7, а₃ = 5, а₂ =1 ,а₁ =2, а₀ =4,      q=10

 

4 3 2 1 0

75 124₁₀ = 7*10⁴ + 5*10³ + 1*10² + 2*10¹ + 4*10⁰.

 

 

Пример5. Получить развернутую форму числа 1123.

Решение:

 

2 1 0

112₃ = 1*3² + 1*3¹ +2*3⁰

 

 

1. Запишите в развернутом виде числа:

·         А₈=143511,62

·         А₂=100111

·         А₁₀=143,511

·         А₁₆=1А3,5С1

2. Запишите в свернутой форме число:

·         9*101+1*100+5*10-1+3*10-2 

·         A*162+1*161+C*160+3*16-1

 

 

 

n4. Основные понятия.

 

Мы увидели, что есть множество способов представления чисел. В любом случае число изображается группой символов. Будем называть такие символы цифрами, символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами счисления (кодирования).

 

Определение. Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

 

Все рассмотренные нами нечисловые системы счисления являются непозиционными.

 

Определение. Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и  IX “вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.

 

Система счисления, которой мы пользуемся в настоящее время, носит название десятичной, так как она основана на счете десятками.  Исключительная роль десятка восходит к древнейшим временам и, несомненно, связана со счетом по пальцам на двух руках. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Поэтому ее и называют десятичной.

 

 

Определение.  Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

 

 

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

 

Давайте рассмотрим  число 55. Из двух написанных рядом цифр левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Таким образом, для написания цифр в десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной.

 

 

Определение. Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

 

 

Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.

 

 

 

 

 

 

N5. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

 

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

 

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

 

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

 

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

 

Применяя это правило, запишем первые несколько целых чисел

 

В десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…

 

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

 

в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

 

В шестнадцатеричной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,1А,1В,..

 

 

 

1. Запишите первые 35 чисел троичной системы

2. Запишите первые 25 чисел двоичной системы

 

N6. Системы счисления, используемые в компьютерах.

 

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

 

Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь  чисел  0,1,2,3,4,5,6,7.

 

Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.

 

 

Таблица соответствия систем счисления.

 

§2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

 

 

n1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.

 

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1.     Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных  на q  до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2.     Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

 

Пример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

 

 

 

 

Ответ: 26₁₀=110102

 

 

 

3

19 18   1

Пример2. Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления. А₁₀→А₃

Решение:

 

 

 

Ответ: 19₁₀=201₃

 

Пример3. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

 

 

 

Ответ: 241₁₀=361₈

 

Пример4. Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

Решение:

 

Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆.

 

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 245₁₀→А2                        д) 404₁₀→А8

б) 1987₁₀→А₂                      е) 673₁₀→А₁₆

в) 161₁₀→А₃                             ж) 45348₁₀→А₁₆

г) 333₁₀→А₅                           з) 444₁₀→А₇

 

 

 

 

n2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую.

 

 

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1.    Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части  на q  до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.

2.    Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

 

 

 

Пример1. Перевести 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:        

 

 

 

 

 

 

 

                                          Ответ: 0,5625₁₀=0,1001₂

 

 

 

Пример2. Перевести 0,5625₁₀ восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:        

 

 

 

 

  Ответ: 0,5625₁₀=0,52₈

 

 

Пример3. Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

0,   665     *     2 1    330     *      2 0    660     *     2 0    320     *     2 0    640     *     2 1    280 …………..     *      2 0   5000     *      2 1   0000

Решение:        

 

 

 

Процесс умножения может продолжаться до бесконечности. Тогда его прерывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа

 

 

Ответ: 0,665₁₀=0,10001₂

 

   

 

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 0, 65625₁₀→А₁₆

б) 0,7₁₀→А₂ с точностью до 4 знаков после запятой

в) 0,4125₁₀→А₈  с точностью до 6 знаков

 

 

 

 

n3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую.

 

Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

 

Пример1. Перевести 26,25₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 26,25₁₀=11010,01₂

Пример2. Перевести 123,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 123,5625₁₀=173,44₈

 

 

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

а) 173,5625₁₀→А₂

б) 404,65625₁₀→А₁₆

в) 125,25₁₀→А₈

 

 

 

 

n4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

 

 

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

 

Пример1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       5  4  3  2  1 0

      1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀

 

Пример2. Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       2  1  0 -1 -2

      1 0 1,0 1  ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример3. Перевести число 122100₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       4  3  2 1  0

1 2 2 0 1 ₃=1*3⁴ +  2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ = 81+54+18+1 = 154₁₀

Ответ: 12201₃ = 154₁₀

 

Пример4. Перевести число 163₇ из семеричной системы счисления в десятичную.

Решение:     163₇ = 1*7² + 6*7¹ + 3*7⁰  = 49+42+3= 94₁₀.

Ответ: 163₇ = 94_10.

 

Пример5. Перевести число 234,6₈ из восьмеричной системы в десятичную:

    Решение:

       2  1  0 -1

2 3 4, 6₈ = 2*8² +3*8¹ + 4*8⁰ +6*8^-1= 2*64+3*8+4+6*0,125= 128+24+4+0,75 =156,75₁₀

Ответ: 234,6₈ = 156,75_10.

 

Пример6. Перевести число 2Е₁₆ в десятичную систему счисления.

Решение:

       2  1

 2 Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10.

 

Перевести из различных систем счисления в десятичную:

а) 111100111₂                   г) 367,2₈

б) 1001110,11₂                          в) АВ2Е,8₁₆

 

 

 

 

n5. Перевод чисел из двоичной системы счисления в  восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

 

Перевод целых чисел.

 

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=2³) систему счисления необходимо:

·         разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;

·         рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

 

Пример1. Перевести число 11101010₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

11101010

3    5   2

Ответ: 11101010₂ = 352₈

 

Пример2. Перевести число 11110000010110₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111110000010110

7    6   0    2   6

Ответ: 11110000010110₂= 76026₈

 

 

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную (16=2⁴) систему счисления необходимо:

·         разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;

·         рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

 

 

Пример3. Перевести число 11100010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11100010

   Е       2

Ответ: 11100010₂ = Е2₁₆

 

Пример4. Перевести число 11110000010110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11110000010110

3    С     1     6

Ответ: 11110000010110₂= 3С16₁₆

 

 

 

Перевод дробных чисел.

 

Правило Чтобы перевести дробное двоичное число в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления необходимо:

·         разбить данное число, начиная от запятой влево целую часть и вправо дробную часть на группы по 3 (4) цифры в каждой;

·         рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной)системы счисления.

Пример5. Перевести число 0,10110000111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

0,10110000111

  В     0     7

Ответ: 0,10110000111₂ = В07₁₆

 

Пример6. Перевести число 111100001,0111₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111100001,0111

 7    4   1    3   1

Ответ: 111100001,0111₂= 741,31₈

 

Пример7. Перевести число 11101001000,11010010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11101001000,11010010

  7     4     8      D       2

 

 

Ответ: 11101001000,11010010₂ = 748,D2₁₆

 

 

Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

а) 1101000101011₂

б) 100000011,000101110₂

в) 10010111011101,11101011₂

г) 111110000000111111111,000001111100000111110101₂

 

 

 

 

n6. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления.

 

Правило Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.

 

 

Пример1. Перевести число 528₈  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

 5    2     3

101 010 011

Ответ: 528₈ = 101010011₂

 

Пример2. Перевести число 4ВА35,1С2₁₆  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

 4     В       А     3     5    ,   1       С     2 

100 1011 101000110101  0001 1100 0010

 

Ответ: 4ВА35,1С2₁₆ = 10010111010001101010001 11000010₂

 

Перевести числа в двоичную систему счисления

а) 6217,251₈                        в) 23654₈

б) А4ВС10А,5Е₁₆                           г) АСЕ560В₁₆

 

 

 

 

 

 

№1 Переведите число из римской системы счисления в десятичную:

MCMLXXXIV = ____________₁₀

 

№2 Переведите число в римскую систему счисления:

        1499 = _______________________

 

№3 Представьте число в развернутой форме:

235428,2₁₀ = ____________________________________________

12223101₄ = ____________________________________________

 

№4 Переведите числа из десятичной системы счисления в другие:

56₁₀ = _____________₂

56₁₀ = _____________₅

 

№5 Переведите числа в десятичную систему счисления:

11011011₂ = __________________₁₀

1222₃ = ____________________₁₀

§3. Арифметические операции в системах счисления.

 

n1. Сложение  в двоичной системе счисления.

                                                                         

Правило   0+0 =0 1+0=1 0+1=1 1+1=10

Пример1.  Сложить числа 1112 и 102. Решение:     111                +    10              1001 Проверка:  1112 = 710,   102= 210,   10012 =910       7+2=9 Ответ: 10012

     

Пример2. Сложить числа 11111₂ и 111₂

  

Решение:         11111

                   +     111

                     100110

Проверка: 11111₂=1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰=16+8+4+2+1=31₁₀

111₂ = 7₁₀

100110₂=1*2⁵+0+0+1*2²+1*2¹+0=32+4+2=38₁₀

31+7=38

Ответ: 100110₂

 

Пример3. Сложить числа 1111₂, 1011₂, 111₂.

Решение:

1111                          +      1011                              111                       100001

(Пояснение: 1+1+1=11, 1 пишем,1 в уме, 1+1+1=11 плюс 1 в уме равно 100, 0 пишем, 0 в следующий разряд,1- через разряд и т.д.)

        Ответ: 100001₂

 

Пример4.  Выполните сложение 1111,101₂+101,11₂.

Решение:

111,101                  +  101,11                       1101,011

(Пояснение: по правилам математики при сложение дробных чисел запятая записывается под запятой)

       Ответ: 1101,011₂

 

Выполните действия:

1)    11111001101₂+1111111₂                      3)  111,1101₂+101,0011₂

2)    101010111₂+111110₂                              4)  111,0101011₂+101011,1111₂

n2. Вычитание в двоичной системе счисления.

 

Правило   0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 (занимаем у старшего разряда)

Пример1. Из числа  10012 вычесть                       число 1112. Решение:          _ 1001                  111                                                            10  Проверка:    10012 =9, 1112  = 7, 102  = 2,  9-7=2 Ответ: 102

 

Пример2.      Из числа 100001₂  вычесть число 111₂

Решение:        _ 100001

        111

    11010

Ответ: 11010₂

 

Пример3.      Выполнить действие 100101,01₂ – 111,111₂

Решение:        _ 100101,010

        111,111

    11101,101

Ответ: 11101,101₂

 

 

Выполните действия:

1)  11111001101₂-1111111₂                       

2)  101010111₂-111110₂                              

3)  111,1101₂-101,0011₂

4)  101011,11112 - 111,0101011₂

 

 

 

n3. Умножение в двоичной системе счисления.

 

Умножение в двоичной системе счисления производится аналогично умножению в десятичной системе счисления.

 

Пример1. Умножить число 101₂ на 110₂

Решение:     101

                  *110

                  000

            +   101

                101   .

                11110               Ответ: 11110₂

Пример2.      Выполнить действие 1011,01₂ ∙ 111,11₂

Решение:      1011,01

*   111,11

    101101

  101101

      +   101101

    101101

  101101       ,

    1010111,0011

 

Ответ: 1010111,0011₂

Выполните действия:

1)  11111001101₂-1111111₂                       

2)  111,1101₂-101,0011₂

 

 

n4. Деление в двоичной системе счисления.

 

Операция деления выполняется также как и в десятичной системе счисления.

 

Пример1. Разделить число 101000101₂ на число 1101₂.

Решение:

101000101  1101

  1101         11001

    1110

          1101

           1101

                1101

                     0                       Ответ: 11001₂

 

 

Пример2. Выполните деление с точностью до 3 знаков после запятой 1001₂:11₂

Решение:

        1011  11

          11  . 11,010

          101

                11

           100

                  11

                    101

                      11

                      10                    Ответ: 11,010₂

 

Выполните действия:

1)    101111001101₂:110101₂

2) Выполните деление с точностью до 4 знаков после запятой 1001₂:101₂

 

 

 

n5. Сложение  и вычитание в восьмеричной системе счисления.

 

Используя таблицу и привычные правила сложения, совсем не трудно  складывать и вычитать числа в восьмеричной системе счисления

 

Правило

Пример1. Вычислите 6348+2758 Решение:         634     +  275        1131          Ответ: 11318   Пример2. Вычислите 305,48+24,758 Решение:         305,4     +   24,75         332,35         Ответ: 332,358

 

Пример3. Вычислите 634₈-275₈

Решение:         634     -   275           337                              Ответ: 3378

Пояснение: Т.к. от 4 не отнять 5, то занимаем у следующего разряда (т.к. система восьмеричная то 1 разряд составляет 8 единиц). От 8 -5+4=7 Аналогично, т.к. у тройки одну единицу заняли, то необходимо от 2 отнять 7, поэтому, заняв у следующего разряда, получаем 8-7+2=3 и т.д.

 

        Пример4. Вычислите 305,4₈-24,75₈

Решение:

        305,40

    -    24,75

260,43         Ответ: 260,43₈

Выполните действия:

1)    56037₈+55572₈                   

2)    536,241₈+5673,66₈

3)    5023₈- 4444₈

4)    56,32₈-37,567₈

 

 

 

n6. Умножение  в восьмеричной системе счисления.

 

Используя правило умножения и сложения восьмеричных чисел не трудно и перемножать данные числа

 

Правило

Пример. Вычислите 638∙27,58 Решение: 27,5                       63                1067              2156  ,              2264,7                             Ответ: 2264,78

 

Выполните умножение чисел:

1)        56037₈∙55572₈

2)        536,241₈∙5673,66₈

 

 

 

 

n7. Сложение и вычитание  в шестнадцатеричной системе счисления.

 

Сложение и вычитание осуществляется аналогично таким же действиям в восьмеричной системе счисления

 

Правило

Пример. Вычислите E5F616+A0716   E5F6   A07 EFFD             Ответ: EFFD 16

Выполните действия:

1)    5BE1₁₆+70EF3₁₆                      4)  7E1F3₁₆ - 5BE₁₆

2)    EB,5A₁₆+7C,B74₁₆                 5) ADDC,1E₁₆ - 789,B5₁₆

 

 

n8. Умножение  в шестнадцатеричной системе счисления.

 

Правило

Пример       FFA,3   *   D,E   DFAEA  CFB47  / DDAF,5A

 

 

Выполните действия:

1)    3ED₁₆∙A05₁₆

2)    5C2,5A₁₆∙3D,9EF₁₆

§4. Нестандартные задачи

 

На Новый год на ёлке висело 32 игрушки и 11 конфет. Всего 103 предмета. В какой системе счисления записаны числа?

 

Решение:

32_р = 3*р+2

11_р = 1*р+1

103_р = 1*р² +0*р+3

 

32_р + 11_р = 103_р

3*р+2 + 1*р+1 = 1*р² +0*р+3

4р+3 =р² +3

р² – 4р=0

р(р-4)=0

р₁ = 0;       р₂ = 4.

 

Так как основание системы счисления не может быть меньше 2, то ответом является число 4.

 

Ответ: В данном примере использована 4-ичная система счисления.

 

 

 

Вычислите 10111₂ -  51₁₆ : 33₈, записав результат в двоичной системе счисления.

 

Решение:

Привычнее всего производить расчеты в десятичной системе счисления, поэтому сначала  переведем все числа в десятичную систему и затем произведем соответствующие вычисления.

10111₂ = 23₁₀

51₁₆ = 81₁₀

33₈ = 27₁₀

81₁₀ : 27₁₀ = 3₁₀

23₁₀ – 3₁₀ = 20₁₀

20₁₀ = 10100₂

 

Ответ: 10100₂

 

 

 

 

 

 

 

№1 Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную:

11011011₂ = ____________₁₀

 

№2 Переведите числа из двоичной системы счисления в соответствующие:

1101111011₂ = ________________________________₈

1101111011₂ = ________________________________₁₆

 

№3 Переведите числа из соответствующих систем счисления в двоичную:

35572₈ = _________________________₂

А517ВЕ₁₆ = _______________________₂

 

№4 Выполните действия:

110111₂ + 11110₂ = ______________________₂

110111₂ - 11110₂ = _______________________₂

110111₂ * 11110₂ = _______________________₂

 

 

№5 Вычислить:

    A1CA₁₆:165₈ – (100010100₂:12₁₀ + 10000011₂)= _____________₂

 

Индивидуальная работа учащегося

 

Выполнить следующие задания:

 

ü  Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:   101011011;     100010,011101;    0,000110101

ü  Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:  111111;    100000111,001110;    0,011011011 

ü  Переведите восьмеричные числа в двоичную систему счисления:   276;     0,635;     25,024

ü  Переведите шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления    1А2С7; 0,3С1;  F4A,C1C

ü  Переведите числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьме­ричную:   А54;   21E,7F;    0,FD

ü  Переведите числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцате­ричную:  344;    0,7612;    333,222

ü  Выполните сложение:

1001001+10101

101101 + 1101101

1110101 + 1001101+111101

11000,11+11010,11

ü  Выполните вычитание:

10001000-1110011

11010110-10101110

1111001-1010111

1101100-10110110

ü  Выполните умножение:

111010*10010

11100*10110

11010*10110

100001*111,11

ü  Выполните деление:

1000000:1110

10111001101:110101

11101001001:111101

100111:1100

ü  Выполните действия в восьмеричной системе счисления:

345+502;  46,2*64,4; 312*226; 502,23+612,15

ü  Выполните действия в шестнадцатеричной системе счисления:

3ЕА5С+235ВА;  35DB*7A2

_ü    Вычислите:  4156₈*11011₂ – 2АС6₁₆: 110010₂

 

 

 

ТВОРЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ:

 

ü  Восстановите двоичные цифры, на месте которых в приведенных ниже примерах стоит знак «*»:

**0*01**1 + 10111*10**=100*1*00010

***0**00 - 11*11*11=1101*1

1*01 · 1**=101101

ü  Подсчитайте сумму всех троичных чисел в диапазоне от 10₃ до 112₃, включая границы диа­пазона. Ответ запишите в двоичной системе счисления.

ü  Какое число необходимо прибавить к числу 100111101111₂ чтобы получилось сокращенное английское название дисковода для мягких магнитных дисков. Ответ записать в восьмеричной системе счисления.

ü  В нашем классе 11000₂ учеников. 110010% из них учатся на «хорошо» и «отлично». Сколько учеников учатся на «хорошо» и «отлично»?

Литература

 

В лекциях использованы материалы учебных пособий:

 

1.    Андреева Е., Фалина И. Системы счисления и компьютерная арифметика. Изд. 2-е, - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2.    Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002.

 

 

 

Содержание:

 

§1.  О системах счисления. 5

n1. Немного из истории. 5

n2. Римская система. 6

n3. Развернутая форма числа. 7

n4. Основные понятия. 8

N5. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?. 10

N6. Системы счисления, используемые в компьютерах. 11

§2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. 12

n1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую. 12

n2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую. 13

n3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую. 14

n4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную. 15

n5. Перевод чисел из двоичной системы счисления в  восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. 16

n6. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления. 18

§3. Арифметические операции в системах счисления. 20

n1. Сложение  в двоичной системе счисления. 20

n2. Вычитание в двоичной системе счисления. 21

n3. Умножение в двоичной системе счисления. 21

n4. Деление в двоичной системе счисления. 22

n5. Сложение  и вычитание в восьмеричной системе счисления. 23

n6. Умножение  в восьмеричной системе счисления. 24

n7. Сложение и вычитание  в шестнадцатеричной системе счисления. 24

n8. Умножение  в шестнадцатеричной системе счисления. 25

§4. Нестандартные задачи.. 26

Индивидуальная работа учащегося. 28

Литература. 29

 

 

Скачано с www.znanio.ru