Системы счисления

СИСТЕМЫ  СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ  ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова • система счисления • цифра • алфавит • позиционная система счисления • основание • развёрнутая форма записи числа • свёрнутая форма записи числа • двоичная система счисления • восьмеричная система счисления • шестнадцатеричная система счисления

Общие сведения Система  счисления  ­  это  знаковая  система,  в  которой  приняты определённые правила записи чисел.  Цифры ­ знаки, при помощи которых записываются числа,. Алфавит системы счисления ­ совокупность цифр. Вавилонская система счисления Египетская система счисления Древнеславянская система счисления

Узловые и алгоритмические числа Узловые числа  обозначаются цифрами. Алгоритмические числа  получаются в результате каких­ либо операций из узловых чисел.  100 +   10 +  =

Унарная система счисления Простейшая  и  самая  древняя  система  ­  так  называемая  унарная система счисления.  В  ней  для  записи  любых  чисел  используется  всего  один  символ ­ палочка, узелок, зарубка, камушек. Узелки, дощечки  Примеры узлов «кипу» Узелковое письмо «кипу» Зарубки  Камушки

Непозиционная система счисления Система  счисления  называется  непозиционной,  если  (количественное  значение)  количественный  эквивалент  цифры в числе не зависит от её положения в записи числа. 1 5 10 50 Римская система счисления I V X L 100 500 1000 C D M X X V I I I V 1935 M C MX X X Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и  вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:   каждый  меньший  знак,  поставленный  справа  от  большего,  прибавляется  к  его  значению,  а  каждый  меньший  знак,  поставленный слева от большего, вычитается из него. 40 = X L 28

Позиционная система счисления Система  счисления  называется  позиционной,  если  количественный  эквивалент  цифры  в  числе  зависит  от  её  положения в записи числа. системы  счисления  равно  Основание  позиционной  количеству цифр, составляющих её алфавит. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4,  5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система счисления Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э. Арабы стали пользоваться подобной  нумерацией около 800 г. н. э. Примерно в 1200 г. н. э. эту  нумерацию начали применять в  Европе.

Основная формула В позиционной системе счисления с основанием q любое число  может быть представлено в виде: Aq =±(an–1qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1q–1+…+ a–m q–m)   Здесь: А — число; q — основание системы счисления; ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы  счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i­го разряда. Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Развёрнутая форма Aq =±(an–1  qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1  q–1+…+ a–m  q–m)   Примеры записи чисел в развёрнутой форме: 2012=2103 +0102 +1101 +2100 0,125=110­1 +210­2 +510–3 14351,1=1104 +4103 +3102 +5101 +1100 +110–1

Двоичная система счисления Двоичной  системой  счисления  называется  позиционная  система счисления с основанием 2. Двоичный алфавит: 0 и 1. Для целых двоичных чисел можно записать: an–1an–2…a1a0 = an–12n–1 + an–22n–2 +…+ a020 Например: 100112 =124+023+022+121+120 = 24 +21 + 20 =1910 Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления: Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

Правило перевода целых десятичных  чисел в двоичную систему счисления     an–12n–1+an–22n–2+… a121 +a0 = an–12n–2 +…+ a1 (остаток a0) 2         an–12n–1+an–22n–2+… a1 2         an–12n–1+an–22n–2+… a2 2 = an–12n–3+…+ a2 (остаток a1) = an–12n–4 +…+ a3 (остаток a2) На n­м шаге получим набор цифр:  a0a1a2…an–1 . . .

Компактное оформление 36 3 1 18 1 1 90 45 22 11 5 0 1 0 1 1 2 0 1 1 36310 = 1011010112 31 4 0 15 7 1 78 39 19 9 0 1 1 1 4 0 2 0 1 1 31410 = 1001110102

Восьмеричная система  счисления Восьмеричной  позиционная система счисления с основанием 8.  системой  счисления  называется  Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. an–1an–2…a1a0 = an–18n–1+an–28n–2+…+a080 Пример: 10638 =183 +082+681+380=56310. Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную  систему  счисления  следует  перейти  к  его  развёрнутой  записи и вычислить значение получившегося выражения. Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную  систему  счисления  следует  последовательно  выполнять  деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до  тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Шестнадцатеричная система  счисления Основание: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 3АF16 =3162+10161+15160 =768+160+15=94310. Переведём  десятичное  число  154  в  шестнадцатеричную  систему счисления 154 16  9  9  ­144 10 (А) 16  0 15410 = 9А16

Правило перевода целых десятичных чисел в  систему счисления с основанием q 1)  последовательно  выполнять  деление  данного  числа  и  получаемых  целых  частных  на  основание  новой  системы  счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю; 2)  полученные  остатки,  являющиеся  цифрами  числа  в  новой  системе  счисления,  привести  в  соответствие  с  алфавитом новой системы счисления;  3) составить число в новой системе счисления, записывая  его, начиная с последнего полученного остатка. Цифровые весы Ôàéë "SWF" Цифровые весы

Таблица соответствия 10­х, 2­х, 8­х и 16­х чисел от 1 до 16 Десятична я система Шестнадцатерич ная система Двоичная система Восьмерична я система 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12

Двоичная арифметика Арифметика двоичной системы счисления основывается  на  использовании  следующих  таблиц  сложения  и  умножения: + 0 1 1 1 10 х 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 Арифметика одноразрядных двоичных чисел Арифметика многоразрядных двоичных чисел Умножение и деление двоичных чисел Ôàéë "SWF" Ôàéë "SWF" Ôàéë "SWF" Арифметика одноразрядных двоичных чиселАрифметика многоразрядных двоичных чиселУмножение и деление двоичных чисел

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике,  так как: двоичные  числа  представляются  в  компьютере  с  с  двумя  технических  помощью  простых  устойчивыми состояниями; элементов  представление  информации  посредством  только  двух  состояний надёжно и помехоустойчиво; двоичная арифметика наиболее проста; существует  математический  аппарат,  обеспечивающий  логические преобразования двоичных данных. Двоичный код удобен для компьютера.  Человеку  неудобно  пользоваться  длинными  и  однородными  заменяют  двоичные  коды  на  величины  в  восьмеричной  или  шестнадцатеричной системах счисления.  кодами.  Специалисты

Самое главное Система счисления — это знаковая система, в которой приняты  определённые правила записи чисел.  счисления  называется  Система  если  количественный  эквивалент  цифры  в  числе  зависит  от  её  положения в записи числа.  позиционной,  В  позиционной  системе  счисления  с  основанием  q  любое  число  может быть представлено в виде: Aq =±(an–1qn–1 + an–2qn–2 +…+ a0q0 + a–1q–1 +…+ a–mq–m) Здесь: А — число; q — основание системы счисления; ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы  счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i­го разряда.

Вопросы и задания  Объясните, почему позиционные системы счисления с   Цифры каких систем счисления приведены на рис.? Верны ли следующие равенства? Как от свёрнутой формы записи десятичного числа  Укажите, какое из чисел 1100112, 1114,358 и1В16  Чем различаются унарные, позиционные и  Найдите основание х системы счисления, если: Выполните операцию сложения над двоичными   Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел: Какое минимальное основание имеет система   Запишите в развёрнутом виде числа: Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и   Переведите целые числа из десятичной системы   Переведите целые числа из десятичной системы  Переведите целые числа из десятичной системы  Выполните операцию умножения над двоичными  Расставьте знаки арифметических операций так,  Вычислите выражения: основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами  непозиционные системы счисления? а) 143,51110 а) 334 =217 то же число должно быть записано в системах  а) 1728 перейти к его развёрнутой форме? счисления в шестнадцатеричную: счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111,  чтобы были верны следующие равенства в двоичной  а) 14x=910 числами: числами: счисления в двоичную: а) (11111012 +AF16):368 счисления в восьмеричную: является: а) 513 счисления анатомического происхождения. а) 89 а) 101010 + 1101 а) 1010 ∙ 11 а) 513 системе: 241? Определите десятичный эквивалент данных  счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16. б) 2002x=13010 б) 1435118 б) 2ЕА16 а) наибольшим б) 338 =214 б) 1258 + 1012 ∙2A16 – 1418 чисел в найденной системе счисления. б) 600 б) 1010 + 1010 б) 111 ∙ 101 б) 600 б) 600 а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000; б) наименьшим Ответ дайте в десятичной системе счисления. в) 14351116 в) 1010102 б) 1100 ? 10 ? 10 = 100; в) 10101 + 111 в) 1010 ∙ 111 в) 2010 в) 2010 в) 2010 г) 1435,115 г) 10,12 Основание 2 в) 1100 ? 11 ? 100 = 0. д) 2436 Основание 8 Основание 10 Основание 16 101010 127 Задачник «Системы счисления» 321 Ôàéë "SWF" 2А Задачник «Системы счисления»

Опорный конспект Система  счисления  —  это  знаковая  система,  в  которой  приняты определённые правила записи чисел.  Цифры ­ знаки, при помощи которых записываются числа. Алфавит ­ совокупность цифр системы счисления. Система счисления Позиционная Непозиционная Двоичная Десятичная Римская Восьмеричная  Шестнадцатеричная В  позиционной  системе  счисления  с  основанием  q  любое  число  может быть представлено в виде: Aq =±(an–1* qn–1 + an–2* qn–2 +…+ a0*q0 + a–1* q–1 +…+ a–m * q–m). НепозиционнаяСистема счисленияДвоичнаяДесятичнаяВосьмеричная ШестнадцатеричнаяРимскаяПозиционная

Источники  информации 1.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/caeea6cc­bd1d­4f47­9046­1434ac57e111/?from=a30a95 50­6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62 ­11da­8cd6­0800200c9a66  – Умножение и деление двоичных чисел 2.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/402b749c­240b­4e16­9e4d­bea3fc4fa8fa/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 – История развития систем счисления 3.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/1a264912­eca9­4b45­8d77­c3655b199113/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 – Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления 4.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/78ba290c­0f7c­4067­aaf4­d72f40f49f3b/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 ­ Перевод десятичных чисел в другие системы счисления 5.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/67cbf74b­f85a­4e9d­88c5­58f203fb90ce/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 ­ Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел 6.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/8bb7eefa­4ed9­43fe­aebe­4d6ac67bc6ec/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 ­ Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел 7.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535­0c00­4871­b67c­fa2ecf567d46/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 – Задачник 8.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/a96df437­5ae3­4cab­8c5f­8d4cd78c5775/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 ­ Развернутая форма записи числа 9.http://school­collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95­871d­4063­961d­e7dc5725e555/?from=a30a9550­ 6a62­11da­8cd6­0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550­6a62­ 11da­8cd6­0800200c9a66 – Тренировочный тест