Смежные и вертикальные углы

Смежные и вертикальные углы. Повторяем теорию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Сумма смежных углов равна 180⁰.

∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐵𝐷 = 180⁰

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4 вертикальные. Вертикальные углы равны.

∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.

Проверяем себя

Т1. Закончите предложения:

а) Два угла называются смежными, если … б) Вертикальные углы …

Ответ:   а)   у    них   одна   сторона   общая,   а   две   другие                        являются продолжениями одна другой; б) равны.

Т2. Верно ли утверждение:

а) Если два угла равны, то они вертикальные.

б) Если сумма двух углов равна 180⁰, то эти углы смежные. в) Смежные углы могут быть равными.

г) Смежные углы всегда равны.

д) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

е) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) нет

Т3. Выберите верные утверждения:

а) Сумма вертикальных углов равна 180⁰.

б) Биссектриса угла делит его на два равных угла.

в) Сумма двух вертикальных углов может равняться 240⁰. г) Если угол равен 70⁰, то смежный с ним угол равен 110⁰.

д) Треугольник называется остроугольным, если один из его углов

острый.

Ответ: б, в, г

Решаем задачи

1.   а) Найдите величину угла COB, если OP — биссектриса угла AOC,

∠𝐴𝑂𝑃 = 61⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 58

б) Найдите величину угла AOP, если OP — биссектриса угла AOC, ∠𝐶𝑂𝐵 = 43⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 68,5

в) Найдите величину угла AOP, если OP — биссектриса угла AOC,

∠𝐶𝑂𝐵 = 81⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 49,5

2.   а) Найдите угол AOC, если ∠𝐷𝑂𝐵 = 120⁰ . Ответ дайте в градусах.

Ответ. 120

б) Найдите угол AOD, если ∠𝐶𝑂𝐵 = 80⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 80

в) Найдите угол AOC, если ∠𝐷𝑂𝐵 = 111⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 111

3.   а) Луч PK – биссектриса угла MPB. Найдите величину угла KPB, если ∠𝐹𝑃𝑀 = 110⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 35

б) Луч PK – биссектриса угла MPB. Найдите величину угла KPF, если

∠𝐹𝑃𝑀 = 127⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 153,5

в) Луч PK – биссектриса угла MPB. Найдите величину угла SPK, если

∠𝐹𝑃𝑀 = 99⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 139,5

4.   а) На рисунке ∠1 = ∠3 . Найдите ∠4 , если

∠2 = 40⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 70

б) На рисунке ∠1 = ∠3 . Найдите ∠4 , если

∠5 = 33⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 73,5

в) На рисунке ∠1 = ∠3 . Найдите ∠6 , если ∠2 = 80⁰ . Ответ дайте в градусах.

Ответ. 50

5.   а) Один из смежных углов на 30⁰ больше другого. Найдите градусную меру большего угла.

Ответ. 105

б) Один из смежных углов на 45⁰ больше другого. Найдите градусную меру меньшего угла.

Ответ. 67,5

в) Один из смежных углов на 50⁰ больше другого. Найдите градусную меру большего угла.

Ответ. 115

6.   а) Найдите угол COB, если ∠𝐴𝑂𝐶 + ∠𝐵𝑂𝐷 = 320⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 20

б) Найдите угол AOD, если ∠𝐴𝑂𝐶 + ∠𝐵𝑂𝐷 = 215⁰ . Ответ дайте в градусах.

Ответ. 72,5

в) Найдите угол COB, если ∠𝐴𝑂𝐶 + ∠𝐵𝑂𝐷 = 270⁰ . Ответ дайте в градусах.

Ответ. 45

7.   а)   В   треугольнике ABC угол C равен  151⁰ . Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 29

б)    В    треугольнике ABC угол C равен   92⁰  .

Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 88

в) В треугольнике ABC угол C равен 124⁰ . Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 56

Задачи с развернутым ответом

1.   Найдите   величину   угла   AOK,   если   OK   – биссектриса угла AOF, OE – биссектриса угла COB,

∠𝐶𝑂𝐸 = 25⁰.

Ответ. 65