Спирограф

Введение Глава 1. Значимость кривых в нашей жизни 1.1. Исследование проблемы 1.2. Знакомство с кривыми Глава 2. Узоры и арифметика 2.1 Спирограф – это детская игрушка или объект математического  исследования? 2.2 Спирограф с точки зрения математики 2.3 Открытие спирографа Глава 3. Спирография и творчество 3.1. Искусство «изонити» 3.2. Спирограф в домашних условиях Заключение Список используемой литературы и интернет­ресурсов Приложения Введение Окружающие нас предметы, если присмотреться к ним внимательно, не могут быть изображены на чертежах или рисунках с помощью прямых линий. Формы предметов,   по   большей   своей   части,   содержат   сложные   элементы   кривых линий и поверхностей. Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена.  Траектория брошенного камня, струя воды, очертания растений, извилистые  берега рек и морей, а также другие явления природы привлекали внимание  наших предков, а многократные наблюдения послужили основой для  постепенного установления понятия кривой линии. Я   хочу   познакомить   с   некоторыми   поистине   замечательными   кривыми,   из которых состоит мир удивительной геометрии и художественное искусство, с которыми мы встречаемся в нашей жизни даже чаще, чем кажется. Большой   исторический   период   потребовался   для   того,   чтобы   люди   стали сравнивать и отличать одну кривую от другой. Наскальные рисунки, первые примитивные   орнаменты   на  домашней   утвари,  свидетельствуют   о   том,  что люди начали не только отличать прямую линию от кривой, но и различать формы   отдельных   кривых,   сочетание   которых   было   направлено   на удовлетворение информационных и эстетических потребностей. Но это еще было далеко от тех знаний, которыми математика располагает сейчас. Много знаний человечество накопило о кривых линиях: от улитки Паскаля до автоподобных   фигур   и   фракталов,   но   в   начертательной   геометрии незаменимым   прибором   для   вычерчивания   кривых   по­прежнему   остается лекало. «Какие еще приборы существуют для изображения кривых? Может линии, изображаемые   с   помощью   этого   прибора   обладают   какими­то математическими   свойствами?»   ­   эти   вопросы   заинтересовал   меня   больше остальных. Поиску ответов на эти вопросы я и посвящаю свое исследование. Задачи исследования: 1.Изучить литературу по данной теме. 2.Применить знания для объяснения создания графических узоров. 3.Применить построение кривых на практике. При подробном знакомстве с данной темой появляется возможность  расширить свои знания о задачах на построение и приборах, с помощью  которых можно осуществлять построение кривых. Обзор литературы по данной теме: Изучив литературу по данному вопросу, я пришел к выводу, что применение  кривых широко распространено во все областях нашей жизни, а вопрос о  построении остается интересным для многих. Цель работы: изучить материал по теме «Кривые» и объяснить с точки  зрения математики построение кривой с помощью спирографа. Актуальность темы заключается в демонстрации и применении  математических знаний в практической деятельности человека. Объект исследования: кривые и прибор для их построения. Практическая значимость исследовательской работы: думаю, что знания  по этой теме будут интересны не только людям, которые изучают геометрию,  но и тем, кто занимается творчеством, результаты изученного мной  материала, имеют широкое применение. Глава 1. Значимость кривых в нашей жизни. 1.1. Исследование проблемы. С древних времен кривые привлекали к себе внимание не только математиков, но и архитекторов, художников. Кривые в математике использовались  для описания   таких   явлений,   как   траектория   брошенного   мяча,   так   и   орбита космической ракеты... Многие мои одногруппники и не догадываются, что знакомство с кривыми началось давно, о чем свидетельствует опрос: 1.Что такое кривые? а) график, диаграмма; б) совокупность точек, которая описывается уравнением; в) непрямая линия; г) все ответы верны. 2. Какие кривые вы знаете? а) циклоида; б) парабола; в) эллипс; г) все ответы верны. 3. С помощью каких приборов можно построить кривые? а) циркуль; б) спирограф; в) циркуль и линейка; г) все ответы верны. Результаты опроса приведены в таблице и диаграмме (Приложение № 1): Номер вопроса 1. 2. 3. а) 35% 5% 35% б) 5% 56% 3% в) 50% 24% 45% г) 10% 15% 17% Приложение № 1. Диаграмма результатов опроса Проведенный опрос подтверждает мои предположения о том, что в школьном  курсе математики в качестве кривых рассматриваются графики функций. Также, при рассмотрении графиков функций основное внимание уделяется их аналитическим свойствам. Однако геометрические свойства кривых остаются не изученными, даже для  известных кривых: гиперболы, эллипса, параболы. 1.2. Знакомство с кривыми Знакомство с кривыми, со способами их построения, изучением их свойств  позволит расширить геометрические представления, что так же может помочь при изучении других наук, например: физики и биологии. Так, например, по дошедшей до нас легенде Архимедом были построены  вогнутые зеркала, которые имели форму параболы. С помощью солнечных  лучей, которые отражались от зеркал, были сожжены римские корабли. Одни  ученые опровергают этот факт, обосновывая это тем, что такие зеркала  должны быть огромными, что было не возможно при том уровне развития  техники. Но если даже история о сожжении кораблей является легендой, то  уничтожить римский флот при помощи параболических зеркал все­таки  возможно. Результаты, полученные опытным путем, были основаны на следующем: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от неё  проходит через ее фокус. При направлении такого параболического зеркала на Солнце, все отражаемые  лучи пройдут через фокус параболы, при этом температура в фокусе  окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет  вскипятить воду и даже расплавить свинец. Слово «фокус», которое является  основным понятием для описания параболы, произошло от латинского слова  «очаг». В природе тоже можно найти примеры кривых линий. Автоподобные фигуры,  т.е. фигуры, части которых подобны целому. Примером автоподобной фигуры является золотая или, как ее еще называют, логарифмическая спираль. В форме золотой спирали закручиваются раковины многих моллюсков,  улиток, рога архаров. Эпейра – один из наиболее распространенных пауков,  сплетает паутину по золотой (логарифмической) спирали. Природа повторяет свои находки и в большом и в малом: семечки в подсолнухе располагаются по  золотой спирали, точно так же, как закручиваются многие галактики во  Вселенной. Вывод: С возникновением математической теории стало развиваться учение о линиях. Греческие ученые в III­II веке до н.э. изложили теорию о линиях второго  порядка, которые почти целиком дошли до нас. Разнообразные проблемы  механики, геодезии, астрономии, оптики, биологии в VII­VIII веках привели к  открытию новых линий и изучению их геометрических свойств. 2.1. Спирограф – это детская игрушка или объект математического исследования? Соперничать человеку с природой сложно и трудно, но если я был бы  мастером кривых линий, то стал бы изображать кривые с помощью  несложного устройства ­ спирографа (Приложение № 2). Приложение № 2. Спирограф и спирография. Хотя спирограф продается в магазине детских игрушек, он интересен не  только школьникам, но и людям постарше. Изобретен спирограф британским  инженером Дэнисом Фишером в 1962 году во время работы над взрывателями  для авиабомб. Изобретение не помогло продвинуться инженеру в работе, но  члены семьи оценили эту игрушки, и уже в 1965 году была выпущена первая  партия игрушек. С 1965 по 1969 год, т.е. четыре года подряд, спирограф был  признан лучшей обучающей игрушкой. Спирограф был так же признан одной  из самых высокоинтеллектуальных игр 20 века. Количество вычерчиваемых  узоров ограничивается только фантазией и способностями самого человека, а  точнее исчисляется числом с четырьмя нулями.  Спирограф способствует развитию воображения, фантазии, творческому и  логическому мышлению, дает возможности реализовывать способность к  рисованию, развитию моторики руки и координации движения кисти.  Улучшает характер почерка и увеличивает скорость письма, учит  моделированию цветов и пространственному мышлению, совершенствует  эстетические способности и повышает интеллект. Взрослым спирограф поднимает жизненный тонус и успокаивает нервную  систему, вследствие чего уменьшается количество стрессов и мелких  заболеваний. Можно рекомендовать спирограф для оформительских и  чертежных работ. Физиолог X. Хогленд, обращая внимание на глубину и  сложность интеллектуальных творческих игр, сказал: "Понимание атома ­ это  детская игра по сравнению с пониманием детской игры". 2.2. Спирограф с точки зрения математики. Стандартный спирограф состоит из набора колес и двух колец с зубцами  одного размера. Они изготовлены из прозрачной пластмассы. Колеса имеют  24, 32, 52, 60, 63, 72 и 80 зубцов. На внутренней стороне одного кольца 96  зубцов, на внешней – 144; на другом кольце соответственно 105 и 150 зубцов.  В полной комплектации есть трафареты, которые имеют формы  геометрических фигур (ромб, треугольник, квадрат, звезда), так же  трафареты в виде фигурок рыб, бабочек, бантика, крестика (Приложение №  3). Приложение № 3 Полная комплектация спирографа В каждом колесе имеются несколько небольших отверстий. Чтобы привести  спирограф в действие, надо одной рукой прижать кольцо к бумаге или  закрепить его булавками на планшетке, колесо поместить внутри кольца и  совместить зубцы. Затем следует укрепить острие шариковой ручки в одном из отверстий в  колесе и вращать колесо без проскальзывания по кольцу. При этом острие  ручки будет вычерчивать на бумаге некоторую кривую. После нескольких  оборотов кривая замкнется, а на бумаге останется прекрасный рисунок. Наверное, многие после того, как получат несколько прекрасных рисунков,  захотят разобраться ­ как же они получаются? Для некоторых интересен вопрос: замкнется ли кривая и почему это  происходит? . Утверждение того, что кривая, изображенная с помощью спирографа,  замкнется, имеет математическое объяснение. (Приложение № 4). Приложение № 4 Конструкция спирографа с условными обозначениями Пусть R — радиус кольца, r — радиус колеса, q ­ расстояние от центра колеса до отверстия, в котором укреплена ручка. При вращении колеса острие ручки  будет двигаться по листу бумаги в некоторой кольцевой области. Ее внешний  радиус Rвнешн. = R­ r+q, внутренний Rвнутр. = R­ r­q. Из последней формулы видно, что если, например, r = ¾ R, q = ¼ R, то кривая окажется уже не в  кольце, а в круге, так как при этом R внутр.=0 Пусть на кольце имеется N зубцов, на колесе — n. Предположим, что после  того, как колесо совершило К оборотов вокруг своего центра и k оборотов по  кольцу, оно вернулось в исходное положение, а острие ручки оказалось в  начальной точке. При этом вычерчиваемая кривая замкнулась, и при  дальнейшем вращении колеса новой кривой не получится — острие ручки  будет повторять уже пройденный путь. Нетрудно сообразить, что в момент,  когда кривая замкнулась, выполняется равенство Kn = kN=D.' (*) Поскольку для любых натуральных чисел N и n найдутся числа К и k,  удовлетворяющие равенству (*), всякая вычерчиваемая с помощью  спирографа кривая окажется замкнутой. При этом числа К и к — это её  наименьшие целые, при которых выполнено равенство (*), a D — наименьшее  общее кратное чисел N и n. На основе этого можно было бы так считать НОК двух чисел m и M: сделать  колесо с m зубцами, кольцо — с М и, вращая колесо внутри кольца до тех  пор, пока кривая не замкнется, считать, сколько оборотов сделает колесо  вокруг собственного центра (число К), или сколько оборотов — по кольцу  (число k). Затем по формуле (*) вычисляется величина D = HOK (m, М). При данных N и n вид кривой зависит от q. На рисунках (Приложение 5) N =  96, n = 60, К = 8, k = 5, но на рисунке 3 величина q больше, чем на рисунке 4.  Постепенно увеличивая или уменьшая q, то есть используя разные отверстия в колесе, можно проследить как деформируются получаемые кривые при  изменении величины q. Приложение № 5 Нумерация точек в порядке их прохождения. Число К легко определить по рисунку — оно совпадает с количеством самых  удаленных от центра кольца точек кривой. На рисунках (Приложение № 5)  эти точки занумерованы в порядке, их прохождения. При вычерчивании кривых лучше поступать наоборот. В тех случаях, когда у  N и n немного общих делителей (например, N = 105, n= 72), для получения  замкнутой кривой колесо, должно сделать большое, количество оборотов.  Чтобы определить момент, когда кривая замкнется, следует заранее  сосчитать число К и ровно столько раз прокатить колесо по кольцу. Знакомые с иррациональными числами могут представить себе идеальный  спирограф — в нем на колесе и кольце нет зубцов, но колесо двигается по  кольцу без проскальзывания. Пусть l ­ длина окружности колеса, L — длина  окружности кольца, по которой перемещается колесо. Если числа l и L  несоизмеримы (например, число l — рациональное, L — иррациональное), то  вычерчиваемая кривая никогда не замкнется, потому что ни при каких  натуральных К и k равенство Kl = kL, соответствующее (*), не может быть  выполнено. Однако след от острия ручки имеет конечную ширину, а потому после  достаточно большого количества оборотов колеса мы получим на бумаге  целиком закрашенное кольцо. Сходная картина возникает при больших  взаимно простых числах N и n (например, 105 и 52). Если же предположить,  что след от острия ручки — это идеальная математическая линия,  получающаяся при несоизмеримых l и L кривая будет расположена в  соответствующей кольцевой области всюду плотно (то есть траектория  движения острия ручки к любой точке внутри области подходит как угодно  близко). Подобные траектории возникают в разных математических задачах и  изучаются, например, в теории дифференциальных вычислений. В тех случаях, когда величина q близка к r, описываемые спирографом  траектории близки к известным кривым, имеющим специальные названия.  Когда колесо катится по внутренней стороне кольца,  получается гипоциклоида. В частности, при N = 96, n= 24 получается  астроида (Приложение № 6). Приложения № 6 Астроида, № 7 Эпициклоида, № 8 Кардиоида Если колесо катится по кольцу извне или по другому колесу, то  вычерчиваемая кривая близка к эпициклоиде (при q близком к r)  (Приложение № 7). Кардиоида получается при использовании двух одинаковых колес. Если же  заставить колесо катиться без проскальзывания по прямой, а величину q взять  по­прежнему близкой к r, то получится кривая, похожая на циклоиду  (Приложение № 8). И в заключение несколько советов тем, кто сам захочет смастерить  спирограф. Кольцо можно вырезать из плотной резины или линолеума, колеса  — из оргстекла, прозрачной пластмассы или изготовить их из других  материалов, у которых достаточно большой коэффициент трения. Следует только заранее рассчитать отношение L : l, например, можно взять  отношение равным 4:3, 3:1, 7:5. В колесах на разных расстояниях от центра  следует просверлить несколько отверстий по диаметру стержня ручки. 2.3. Открытие спирографа. Восхищаться волшебными кривыми можно бесконечно. Кривые выглядят не  менее привлекательно, если проложить их с помощью ниток. Дети Дэниса Фишера любили рисовать: рисовали карандашами, пальцем на  замершем стекле, угольком на случайной дощечке. Однажды, посещая с  детьми выставку картин, Дэниса Фишера заинтересовала одна из работ,  выполненная на твердом основании или картоне. Картина, которую увидел  инженер, была выполнена в технике «изонить». Истоки техники оригинального натяжения нити пришли из Англии (XVII век). Английскими ткачами был придуман необычный способ крепления и  переплетения нити. Они вбивали в дощечку гвозди и в определенной  последовательности натягивали нити, в результате чего получались ажурные  узоры. В любом узоре присутствует математическая точность, идеальность:  сочетание окружностей, прямых, овалов и ромбов – калейдоскоп, да и только. Позже возникла идея изменить технику, оставив принцип натяжения нити тем  же, выбрав для основания более легкий материал ­ картон или бархатную  бумагу. Бархатная бумага в основании выглядела благороднее, чем картон.  Любители «изонити» перешли к неожиданному и эффектному материалу ­  наждачной бумаге. Наждачная бумага обладает достаточной плотностью, не  стягивает нить при натяжении, имеет интересную цветовую гамму. Д. Фишер использовал идею сочетания графических узоров и цветовые  эффекты для создания узоров на бумаге.  Вывод: математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время  всё шире проникает в повседневную жизнь и даже внедряется в традиционно  далёкие от неё области. Глава 3. Спирография и творчество 3.1. Искусство «изонити» Техника «изонить» существует до сих пор в англоязычных странах  используют название «embroidery on paper» ­ вышивка по бумаге. Иногда  встречается название «paper embroidery», изредка «Form­A­Lines» формы  из линий; по­французски «broderie sur papier». В немецкоговорящих странах  «pickpoints» ­ точечный рисунок. При выполнении работы я освоил приемы работы с «изонитью» (Приложение  № 9). Приложение № 9 Работа в технике «изонить» Один из приемов заполнения угла выполняется так: 1. Начертить на изнаночной стороне картона угол (угол может быть любым); 2. Разделить каждую стороны угла на 6 равных частей (от 5 мм); 3. Пронумеровать точки, начиная от вершины. Вершину обозначить точкой  «0»; 4. Заполнить угол согласно схеме изделия; 5. Выполнение стежков выполнять по изнаночной стороне. Другой прием называется «Заполнение окружности». Предлагаю небольшую инструкцию по выполнению геометрического узора в  технике «изонить»: 1. Начертить окружность. 2. Разделить окружность на 12 равных частей (либо с помощью транспортира,  либо «на глаз»). Можно разделить на большее количество частей, но важно, чтобы количество точек было четное число. 3. Выполнять заполнение окружности по схеме изделия. Создательницей современной техники «изонити» или как ее еще называют  ниткографией является Мэри Эверест Буль – известная английская  исследовательница и математик, автор книг, одна из которых называется  «Подготовка ребенка к восприятию науки». Техника заполнения нитками, по  мнению Мэри Эверест Буль, должна была способствовать изучению  геометрии. Творческое занятие доступно и интересно людям любого возраста, даже помогает тренировать память.  3.2. Спирограф в домашних условиях. Изучив материал по своей теме, я понял, что знание о необычно красивых  узорах могут оказаться полезным. Зрелище спиральных узоров на поверхности стен при помощи небольшой коробочки, завораживает и привлекает внимание. Мои родственники и большинство людей из тех, кому я демонстрировал  узоры спирографа, были согласны танцевать и веселиться напролет всю ночь.  Кошка, которая живет у нас, была готова сказать мне: «Спасибо» за новую  игрушку. Вы можете собрать этот прибор (Приложение № 10) и сами, как это сделал я,  используя легкодоступные материалы: 1. Кулеры от блоков питания компьютера ­ 2 шт ­ 80×80мм. 2. Источник питания постоянного тока – 12 Вольт, 0,5 Ампера. 3. Переменные резисторы от 0 до (47­­­51) Ом 2Вт – 2шт. 4. Лазерная указка. Приложение № 10 Спирограф в домашних условиях Оба кулера устанавливаются на дне ящичка, сделанного из фанеры.  Ориентировочные размеры дна 250*250мм. Высота ящичка определяется  высотой кулеров с небольшой добавкой, чтобы потом закрыть крышкой.  Отражающие поверхности (зеркала) клеятся на круглых площадках  крыльчаток кулера под небольшим углом к оси вращения. И самое главное – лазерная указка. Лазер должен быть когерентным, то есть  луч света сфокусирован так, что если его направить на стену на расстояние  порядка 6 метров (обычно длина комнаты), то на стене должно быть яркое пятно диаметром 2­3 мм. Он также должен быть надежно закреплен на дне  ящичка. Также в стенке ящичка должно быть просверлено отверстие для  выхода оптического луча. [ 4] Оптическая схема (Приложение № 11) для получения спиральных узоров  приведена на рисунке. Приложение № 11 Оптическая схема прибора Луч, отраженный от зеркала первого кулера должен рисовать на втором  зеркальце круг диаметром равным примерно 1см. Расстояние между зеркалами должно быть 6 см или меньше. Изменяя скорость вращения кулеров, можно получить много разных фигур. Вывод: Сочетание знаний из разных областей науки, в моей работе это физика и  творчество, можно получить много новых изобретений. Если будете следовать советам, то у Вас получится лазерный спирограф, который: 1) Вы собрали своими собственными руками! 2) Стоить по предварительным подсчетам конструкция будет около  2000тысяч тенге! 3) Можете звать друзей и устраивать вечеринку — успех ей будет обеспечен! Заключение. Я очень рада, что мне родители в детстве купили линейку­спирограф. Став  старше, я забыл про нее. Мой маленький брат заинтересовался этой линейкой.  Но я захотел узнать о ней больше, и мне пришлось обратиться к знаниям из  области математики, истории, физики и творчеству. Математика и ее строгость и точность дала возможность доказать, что кривая  линия является замкнутой. История дала возможность изучить, как и кто изобрел чудо­игрушку. Физика объяснила возможность создания домашнего лазерного шоу и успех у  своих одноклассников. Творчество и знание принципов ниткографии помогли мне оформить  фотографию и сделать подарок на День рождения. Но есть у меня и планы на продолжение исследования. Дело в том, что  фигура, получаемая с помощью простейшего спирографа из двух кругов,  когда маленький (радиуса r) с отверстием на расстоянии l от центра  вращается в большом круге (радиуса R) имеет название гипотрохоидой.  Математиками выведена ее формула в декартовой системе координат.  Думаю, что изучение свойств этой кривой приведет меня к новым и  неожиданным открытиям. Список используемой литературы и интернет-ресурсов 1. Берман Г. Н. Циклоида: учебник/Г.Н. Берман. ­ Москва: Наука, 1975­105 с. 2. Васильев Н. Б. Прямые и кривые / Н. Б. Васильев, В. Л. Гутен­махер. ­3­е  изд. Москва: МЦНМО, 2000. ­105 с. 3. Маркушевич А. И. Замечательные прямые: учебное пособие/ А. И.  Маркушевич­ Москва: ЭКСМО, 2010. ­ 352 с. 4. Кулик С.И. Спирограф. Теория и практика/ С.И. Кулик. –Москва: Наука,  2007.­120 с. 5. Савелов А. А. Плоские кривые: учебник для вузов/ А. А Савелов ­ Москва:  Физматлит, 1960. – 265 с. 6. Смирнова И. М. Геометрия: учебник для 7­9 классов  общеобра¬зовательных учреждений / И. М. Смирнова, В.А. Смирнов.­  Москва: Мнемозина, 2005 – 383 с. 7. Березин В. А. Кардиоида/ В. А. Берензин// Квант. – Москва: Наука,1977. ­  № 12. – с.14­15 8. Березин В. Лемниската Бернулли / В. А. Берензин// Квант. – Москва:  Наука,1977. ­ № 1. – с.20­21 9. Бронштейн И. П.Эллипс. Гипербола. Парабола/ И. П. Бронштейн // Такая  разная геометрия/ сост. А. А. Егоров. — Москва: Бюро Квантум , 2001.­ № 2.  – с. 12­14.