СТАРИННЫЕ РУССКИЕ МЕРЫ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ, ВЕСА, ОБЪЁМА ( ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА)

СТАРИННЫЕ РУССКИЕ МЕРЫ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ,  ВЕСА, ОБЪЁМА ( ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА) 1.  [3] В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Можно ли на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке? Р е ш е н и е . 1) 1 бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса – значит, 20 ведер кваса уравниваются с 2 бочками, то есть 1 бочка уравнивается с 10 ведрами; 2) 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами – значит, 1 насадка и 7,5 ведер уравниваются с 1 бочкой, то есть 1 насадка и 7,5 ведер уравниваются (согласно п. 1) с 10 ведрами, а это означает, что 1 насадка содержит 2,5 ведра, то есть в 1 бочке 4 насадки. 2. Некий юноша вышел из Москвы в Вологду. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. На каком расстоянии от Москвы второй юноша догнал первого? Р е ш е н и е . Второй юноша вышел вслед за первым через день, значит, первый в это время находился от него на расстоянии 40 вёрст. Скорость сближения юношей составляет 45 – 40 = 5 (вёрст/день). Следовательно, второй юноша догонит первого за 40 : 5 = 8 (дней). В это время оба они будут находиться на расстоянии 8 ∙  45 = 360 (вёрст),  или 9 ∙  40 = = 360 (вёрст) от Москвы. 3. Старинная задача из сборника И. Верещагина «Сборникъ Арифметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведенiй мужскихъ и женскихъ», 1908 год. В лавке мука находилась в двух мешках, и в первом было на 45 фунтов более, нежели во втором. После того, как из первого мешка было продано 37 фунтов, а из второго некоторое другое   количество   муки,   оказалось,   что   в   первом   осталось   на   78   фунтов   более,   нежели осталось во втором. Сколько фунтов муки было продано из второго мешка? О т в е т . 70 фунтов. 4.  Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен. Какое расстояние будет между собакой и зайцем через 10 минут? В какое время собака догонит зайца?  Р е ш е н и е . 1) 500 : 2 = 250 сажен/мин – скорость зайца;2) 1300 : 5 = 260 сажен/мин – скорость собаки; 3) 10 сажен/мин – скорость сближения собаки и зайца; 4) за 10 минут собака и заяц сблизятся на 100 сажен, то есть расстояние между ними будет 50 сажен; 5) Собака догонит зайца за 15 минут.  5. На   мельнице   имеются   три   жернова.   На   первом   из   них   за   сутки   можно   смолоть   60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать? Р е ш е н и е . Используя все три жернова одновременно, за сутки можно смолоть 60 + 54 + 48 = 162 четверти зерна. Поскольку некто собирается смолоть 81 четверть зерна, то есть ровно половину, на это потребуется половина суток. На каждый жернов следует насыпать пропорционально его производительности, а поскольку зерна вполовину меньше, на первый жернов следует насыпать 30 четвертей, на второй – 27 четвертей, а на третий – 24 четверти. 6.  Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За каждого старого барана он платил 15 алтын и 4 полушки, а за молодого – 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено? (В одном алтыне 3 копейки, а в одной копейке – 4 полушки.)  У к а з а н и е .  100 старых,  12 молодых;  46х + 30 (112 – х) = 4960, где х – старые. 7. А. П. Чехов «Репетитор». Учитель берет задачник и диктует: – «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?» Повторите задачу. Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138. –   Для   чего   же   это   вы   делите?   Постойте!   Впрочем,   так…   продолжайте.   Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте­ка я разделю! Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает. «Странно… – думает он, ероша волосы и краснея. – Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая»… Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63. «Гм!.. странно… Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то». – Решайте же! – говорит он Пете.  – Ну, чего думаешь? Задача­то ведь пустяковая! – говорит Удодов Пете. – Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич. Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, – говорит он. – Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот, разделил… понимаете? Теперь, вот, надо   вычесть…   понимаете?   Или,   вот   что…   Решите   мне   эту   задачу   сами   к   завтраму… Подумайте… Петя   ехидно   улыбается.   Удодов   тоже   улыбается.   Оба   они   понимают   замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол. – И без алгебры решить можно, – говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. – Вот, извольте видеть… Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было. – Вот­с… по­нашему… Р е ш е н и е . Предположим, что купец купил бы 138 аршин только синего сукна, стоимость которого составляла 5 рублей за аршин. Тогда он истратил бы на эту покупку 138 ∙  5 = 690 рублей. Но купец истратил всего 540 рублей, то есть на 150 рублей меньше за счёт покупки синего сукна, которое на 2 рубля дешевле. Таким образом, выигрывая на каждом аршине по 2 рубля, для того чтобы сократить стоимость покупки на 150 рублей, нужно купить 150 : 2 = 75 аршин чёрного сукна. Остальное сукно в количестве 63 аршин (138 – 75) – синее.