Статья на тему: "Основные этапы формирования векторного метода у учащихся"

Основные этапы формирования векторного метода у учащихся

Подготовительный этап формирования метода (основные понятия и основные действия) имеется в каждом из рассматриваемых нами учебных пособиях, хотя он и не ограничен на каком-либо коротком промежутке времени.

На мотивационном этапе можно рассмотреть с учащимися решение нескольких задач, но мы рассмотрим решение следующей задачи:

      Задача: В трапеции ABCD углы A и B равны по 90⁰, а стороны AB=2, BC=1, AD=4. покажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

      Задача решается несколькими способами и показывается, что векторный метод задачи более прост.

 На примере решения задачи проведите

ориентировочный этап, т.е. разъяснить суть метода и показать его основные компоненты:

Выясняется, что нужно доказать на геометрическом языке.

Что для этого достаточно доказать на векторном языке?

Какую операцию осуществил

Есть ли в условии задачи векторы AC и BD?

Каким образом можно получить векторы AC и BD?

Записывается скалярное произведение векторов.

Выполняется преобразования и получается, что AC*BD= 0.

Переводится векторное равенство на геометрический язык.

Показывается, чему необходимо научить учащихся, - это перевод геометрических соотношений на векторный язык. Для формирования умения, навыков необходимо целесообразно с учащимися решать задачи типа:

Точка А принадлежит отрезку ВС. Запишите это соотношение в векторной форме. (ВА=α*ВС, 0< α<1)

Запишите в векторной форме условие перпендикулярности  прямых АВ и РК (АВ*РК=0)

Решение такого типа задач желательно оформить в виде таблицы в кабинете и первое время ею пользоваться при решении задач векторным способом.

Учащимся показывается наиболее целесообразный выбор системы координат и выбор базисных векторов.

Это действие формируется у учащихся с помощью задач:

Найдите угол между вектором ā (1;-2) и b (-3;1)

Четыре точки заданы своими координатами: А (3;1), В (1;4), С (1;0), Д (4;5). Определите угол между прямыми АВ и СД.

Направленные отрезки. Перемещение является самым простейшим примером векторной величины. Если тело пере­местилось из точки А в точку В, то это перемещение ес­тественно изобразить отрезком, направленным из точки А в точку В.Так появляется направленный отрезок. У направлен­ного отрезка указан порядок концов: первый конец счи­тается началом, второй — концом. Рисуют направленные отрезки всегда со стрелкой на конце. Обозначают направленный отрезок с началом А и концом В так: АВ. Направлен­ными отрезками изображают и другие векторы: например, в физике силу, скорость . Векторами называют и сами направленные отрезки. Если направленный отрезок АВ изображает вектор а, то пишем: АВ=. Модуль вектора а — это длина направленного отрезка АВ, или, что то же самое, длина отрезка АВ. Поэтому в геометрии модуль вектора называется также длиной вектора.Два вектора называются коллинеарными, если изобра­жающие их направленные отрезки параллельны или ле­жат на одной прямой. Коллинеарные векторы а и b обозначаются так: a⇈b.Говорят, что векторы взаимно перпендикулярны, если изображающие их направленные отрезки взаимно перпен­дикулярны. Перпендикулярность векторов  и  обозна­чается так: ab. Справедлив первый - признак сонаправленности векторов:векторы АВ и CD сонаправлены, если: 1) они перпендикулярны  некоторой прямой а; 2) лучи АВ и CD лежат по одну от этой прямой.

 Поскольку АВ±а и CD La, то век АВ и CD коллинеарны (по следствию о параллель® перпендикуляров). А второе условие и означает сонаправленность векторов АВ и CD.

Сонаправленность векторов а и b обозначают так: а и b. Если векторы а и Ь коллинеарны, но не сонаправлены то говорят, что они направлены противоположно, и пишут: ab (рис. 254).

Следующая теорема тоже является признаком сонаправленности.

Теорема (о сонаправленных  векторах) Два вектора, сонапленные с третьим вектором, сонаправлены между собой.

Равенство векторов.

 Векторы a и b называется равными если выполняется 2 условия: 1) Длины их равны. 2) Сонаправлены.

Надо обращать внимание, что векторы, имеющие равные длины, но разные направления, не равны.

Для равенства векторных величин  выполняются следующие осеновные свойства:

Каждый вектор равен самому себе: a=b ( рефлексивность)

Если вектор a равен вектору b ,то b равен a: a=b, то  b=a.(симметричность)

 Два вектора, равны третьему вектору, равны: a=b, b=c, то  a=c. (транзитивность)

Первые два свойства вытекает из определения равенство векторов. Докажем третье свойство:

Доказательство (3 свойство). Пусть a=b и  c=b. Тогда = и
, а также. Из равенства модулей следует, что , А из теоремы  о сонаправленности векторов вытекает, что . Поэтому 

Откладывание вектора от данной точки

Если точка А — начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А (рис. 1). Докажем следующее утверждение: От любой точки М можно  отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один.

От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один.

Учитель математики ГКОУ РД «РЦДОДИ»     Гаджимирзаев М.М.