Степени, их роль в математике и связь с явлениями окружающего мира.

Степени, их роль в математике и связь с явлениями окружающего мира

— Михаил Васильевич Ломоносов, выдающийся русский ученый, первый русский академик, поэт, реформатор русского языка, художник и историк

«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»

Актуальность исследования

В нашей повседневной жизни мы настолько привыкли к возведению числа в степень, что даже не замечаем, что пользуемся этим, так называемым «пятым действием» постоянно. А ведь вопрос «А зачем нам нужно возведение в степень?» актуален и до сих пор ученики его задают. Необходимо рассмотреть все виды ежедневной деятельности человека и показать, что математические знания применяются не только в учебно-познавательном процессе, но и в повседневной жизни.

Гипотеза и цели

Гипотеза: мы предполагаем, что одним из инструментов описания реального мира является возведение в степень.
Цели работы:
1.Выявить связь между возведением числа в степень и явлениями окружающего мира, а также практической деятельностью человека;
2.Показать, что возведение числа в степень находит широкое применение не только в математике, но и жизни человека;
3.Создать ряд практических задач, отражающих применение возведения числа в степень.

Древняя тайна (История возникновения степени числа)

Простейшие математические выражения стали известны людям еще в глубокой древности. В то же время постоянно шло совершенствование как самих операций, так и их записи на том или ином носителе. В частности, в Древнем Египте, чьи ученые внесли заметный вклад как в развитие элементарной арифметики, так и в создание основ алгебры и геометрии, обратили внимание на то, что когда происходит умножение какого-либо числа на одно и то же число много раз, то на это тратится огромное количество ненужных усилий.

История возникновения степени числа

Более того, такая операция вела к значительным финансовым затратам: согласно действовавшим тогда установкам на оформление любых записей, каждой действие с числом должно было подробно описываться. Если вспомнить, что даже самый простейший папирус стоил весьма внушительную сумму денег, то не стоит удивляться тем усилиям, которые египтяне приложили, чтобы найти выход из этой ситуации.

История возникновения степени числа

Решение нашел знаменитый древнегреческий математик Диофант Александрийский, который придумал специальный математический знак, который стал показывать, сколько раз необходимо умножить то или иное число на само себя.

Диофант описывает первые натуральные степени чисел так:
«квадрато-квадраты – от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы – от умножения кубов самих на себя»

История возникновения степени числа

Впоследствии известный французский математик Рене Декарт усовершенствовал написание этого выражения, предложив при обозначении степени чисел просто приписывать ее в правом верхнем углу над основным числом.
Например: a2 , a5

Этими обозначениями мы пользуемся и до сих пор.

История возникновения степени числа

Завершающим аккордом в письменном оформлении степени чисел стала деятельность небезызвестного Никола Шюке, который смело ввел в научный оборот сначала отрицательную, а затем и нулевую степени.
Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

Он сделал также проницательное замечание, что если к верхней строке добавить отрицательное число -n (Шюке обозначал его: 0-n), то нижней ему будет соответствовать дробь 1/an

Что же такое степень числа?

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», большим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

Где в жизни применяется степень числа?

Мы знаем, что степень числа применяется для записи больших чисел, например

1000000000000=1012

Представим, что мы переехали в новую уютную квартиру и нам необходимо выполнить ремонт. Для чего же нам необходимо возводить число в степень? Все просто. Степени нужны нам при подсчете необходимого количества линолеума на пол. При расчёте площади квадратной комнаты или площади квадратной плитки на кухню. Помимо этого, степени необходимы при вычислении площади круга и объема бочки.

Как выжить без калькулятора?

Как выжить без калькулятора?

Возведение в квадрат числа от 11 до 19 проводится суммированием трёх слагаемых: число, умноженное на 10, последняя цифра, умноженная на 10 и последняя цифра в квадрате:
162=160+60+36=256

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5 – цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к произведению приписать справа число 25:

952=9*10 и 25 = 90 и 25 = 9’025

Как выжить без калькулятора?

Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5 – прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры (получится однозначное число – припишите перед ним 0):

592=25+9 и 92 = 34 и 81 = 3’481

Если запомнить результаты возведения в квадрат чисел от 21 до 25 (441, 484, 529, 576, 625), можно научится возводить в квадрат двузначное число N, по формуле Рачинского:

N2=(N-25)*100+(50-N)2
732=48*100+232= 4’800+ 529 = 5’329

В каких науках применяется возведение числа в степень?

Физические величины при измерениях и вычислениях обычно выражают числами. Они могут значительно отличаться друг от друга и выражаться как чрезвычайно малыми, так и гигантскими числами. Наиболее удобный способ записи малых и больших чисел заключается в использовании множителя 10 в некоторой степени.
Например, число 2000 можно записать как 2x1000 или 2x10 в третьей степени

Применение в биологии

Рост количества числа бактерий происходит по закону:

N = 5t
где, N – число колоний бактерий в момент t; t – время их размножения

Применение в биологии

Рост древесины происходит по закону:

A =A0akx(умножить)t
где, A – изменение количества древесины во времени, A0 – начальное количество древесины, t – время, k и a – некоторые постоянные

Применение в биологии

Астрономические числа

Никто, пожалуй, не пользуется так широко возведением числа в степень, как астрономы. Исследователям Вселенной на каждом шагу приходится встречаться с огромными числами, состоящими из одной-двух значащих цифр и длинного ряда нулей.

Астрономические числа

Астрономические числа

При выполнении астрономических расчётов приходится, к тому же, выражать небесные расстояния не в километрах или более крупных единицах, а в сантиметрах.

Масса звезд, например, выражается еще большими числами,
особенно если их выражать согласно требованиям для многих расчетов в граммах. Масса нашего Солнца в граммах равна:

1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Возведение в степень на производстве

Ошибочно полагать, что практика сталкивает нас только со вторыми и третьими степенями, а более высокие показатели существуют лишь в упражнениях алгебраических задачников. Инженер, производя расчеты на прочность, сплошь и рядом имеет дело с четвертыми степенями, а при других вычислениях (например, диаметр паропровода) – даже с шестой степенью.

Примеры задач для решения

Близится начало учебного года. Директору необходимо выполнить косметический ремонт кабинетов. Прогуливаясь по школе, он насчитал, что учителя работают в 39 образовательных кабинетах, а еще 9 занимают ученики начальной школы. Площадь одного из них в среднем 55м2, 53м2, 56м2 и 58м2. Из них 15 кабинетов – 56 м2, 5 кабинетов – 58м2, 13 кабинетов – 53м2 и 7 кабинетов – 55м2. Среди начальной школы 3 кабинета – 56м2 и 6 кабинетов – 58 м2. Сколько квадратных метров линолеума необходимо для косметического ремонта кабинетов?

Примеры задач для решения. Как выжить без калькулятора?

Возведите числа в указанную степень, применяя «хитрости» из презентации.

162
952
592

Примеры задач для решения

Масса атома водорода приближенно равна 0, 000 000 000 000 000 000 0017 г. Запишите в стандартном виде массу атома.

Выводы

В ходе беседы была отражена связь между возведением числа в степень и явлениями окружающего мира, а также практической деятельностью человека;
На конкретных примерах было показано, что возведение числа в степень находит широкое применение не только в математике, но и жизни человека;
Теперь ясно, что степени применяют не только в математике, но и в повседневной жизни. Степени вокруг нас.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!