Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Сумма бесконечной  геометрической  прогрессии

Геометрическая прогрессия              Определение.           Числовая последовательность, все члены  которой отличны от 0 и каждый член которой  начиная со второго получается из предыдущего  члена умножением его на одно и то же число q,  называют геометрической прогрессией. При  этом число q называют знаменателем  геометрической прогрессии.

Формулы геометрической  прогрессии  Формула n – го члена геометрической  прогрессии b n  n qb 1 1  Формула суммы n членов геометрической  прогрессии  S n )1 (1 qb q n   1

Рассмотрим последовательность  сумм геометрической прогрессии b 2 b 2 b 2  b S 1 1  S b 1  S b 1  S b 1 .......... .......... S b 1 .......... .......... b 3 b b 4 3 .......... ..  b b ... n 3 .......... ......... b 2 2 3 4 n

 Если последовательность           сходится к  nS S S пределу      , то число           называется  суммой бесконечной геометрической  прогрессии.  Если эта последовательность расходится, то  о сумме бесконечной геометрической  прогрессии не говорят, хотя сумму n – членов  прогрессии можно найти и в этом случае.

q Рассмотрим случай, когда знаменатель  , геометрической прогрессии  удовлетворяет условию  1)  Вычислим 1q )1 n можно     вынести   qb ( 1 q   1    n ( q lim   n множитель   Постоянный  2)  за предела знак                                                     b lim 1  1 q  n Зная, )3 lim  n qn lim что   n  lim ( )1  n b 1  q  при 0  Следовател lim  n ьно  )4  )1 q n q 1 n  q lim  n  1, 1 получим  1 b 1  q  11 b 1  q   n ( q  )1

q Таким образом, если знаменатель        геометрической прогрессии  удовлетворяет неравенству            , то  сумма прогрессии существует и  вычисляется по формуле          1q S b 1  q  1

Пример 1 ская прогрессия   геометриче  ­) 8 9 ;... Найдем знаменател    ь прогрессии   q n Дано (b : 8   ;  8;­ ;24 3 S: Найти  )1     q 8 24 1 3                               )2 q   1 3   удовлетвор  яет условию   q  1  )3 Вычислим S b 1  q  1  1  по  24 1  3 формуле   S  324 4  24 4 3  18