Свойства и признаки делимости

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Признак делимости —алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному^.

Свойства делимости:

1.     Любое целое число, кроме нуля, делится на само себя. а:а=1

2.     Любое целое число делится на единицу. а:1=а

3.     Если a делится на b, а b  в свою очередь делится на с, то а также делится на с.

4.     Сумма слагаемых делится на число с, если на него делится каждое слагаемое по отдельности.

5.     Разность делится нацело на число с, если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на число с.

6.     Если среди слагаемых, все кроме одного, делятся нацело на число с, то сумма этих слагаемых не делится нацело на число с.

7.     Если в произведении нескольких чисел, хотя бы один множитель делится нацело на число с, то и всё произведение делится нацело на число с.

8.     Если в произведении один из множителей делится нацело на число m, а другой на число n, то всё произведение делится нацело на mn.

9.     Среди n последовательных чисел ровно одно делится нацело на n.

10. Произведение n последовательных целых чисел делится нацело на n.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11.

-Число делится на 2, если на 2 делится его последняя цифра.

-Число делится на 3, если на 3 делится сумма всех его цифр.

-Число делится на 4, если на 4 делится число, составленное из двух его последних цифр.

-Число делится на 5, если на 5 делится его последняя цифра.

-Число делится на 9, если на 9 делится сумма всех его цифр.

-Число делится на 11 тогда и только тогда:

*когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10 + 37 + 85 = 132  и 01 + 32 = 33.

*число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11. Например, 9 163 627 делится на 11, так как

| ( 9 + 6 + 6 + 7 ) − ( 1 + 3 + 2 ) | = 22  делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как

| ( 9 + 0 + 7 ) − ( 9 + 7 ) | = 0

 делится на 11.