ТЕМА: ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ (КОНЪЮНКЦИЯ, ДИЗЪЮНКЦИЯ, ИНВЕРСИЯ, ИМПЛИКАЦИЯ, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ)

Занятие № 23,24

Тема: Логические операции (конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность)

Цель: Познакомить с основными логическими операциями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Задачи:

1.                       Сформировать у учащихся понятие “логическая операция»;

2.                       Способствовать формированию логического мышления, интереса к изучаемому материалу.

Ожидаемые результаты:

Учащиеся должны знать:

·              логические операции: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность;

·              таблицы истинности логических операций;

·              обозначение логических операций;

·              приоритет логических операций.

Учащиеся должны уметь:

·              определить порядок действий при вычислении значения логического выражения;

·              конструировать простые и сложные высказывания.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

III. Изложение нового материала.

     Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

       Логическая операция — способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Рассмотрим три базовых логических операций — инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные — импликацию и эквивалентность.

Отрицание (инверсия)

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание    , которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно. 

Отрицание высказывания х обозначается       и читается «не х» или «неверно, что х». 

Логические значения высказывания        можно описать с помощью таблицы. 

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности. 

Конъюнкция.

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. 

Конъюнкция высказываний х и у обозначается символом х&у (       , ху ) , читается «х и у» .

Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности: 

Дизъюнкция

Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом «x V у» , читается «х или у» . Высказывания х, у называются членами дизъюнкции. 

Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности: 

Импликация.

Импликацией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний х, у обозначается символом        , читается«если х, то у» или «из х следует у». 

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности: 

Эквивалентность.

Эквивалентностью двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях. 

Эквивалентность высказываний х, у обозначается символом        , читается«для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквивалентности. 

Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности: 

Упражнение 1. Даны два простых высказывания:

А= “Аист – птица”;

В=“Щука — речная рыба”.

Составьте из них все возможные составные (сложные) высказывания и определите их истинность.

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

1.                       инверсия

2.                       конъюнкция

3.                       дизъюнкция

4.                       импликация и эквивалентность

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Например: дана формула .

Порядок вычисления:

 — инверсия

 — конъюнкция

— дизъюнкция

 — импликация

 — эквивалентность.

IV. Закрепление изученного материала.

1. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

1. Какой длины эта лента?

2. Прослушайте сообщение.

3.Делайте утреннюю зарядку!

4. Назовите устройство ввода информации.

5. Кто отсутствует?

6. Париж - столица Англии. (ЛОЖЬ)

7. Число 11 является простым. (ИСТИНА)

8. 4 + 5=10. (ЛОЖЬ)

9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

10. Сложите числа 2 и 5.

11. Некоторые медведи живут на севере.(ИСТИНА)

12. Все медведи - бурые. (ЛОЖЬ)

13.Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.

2. Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте  каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

1.                       Число 456 трехзначное и четное.

2.                       Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

3.                       Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

4.                       На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь.

5.                       Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.

6.                       Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться, и будут ему послушны.

3. Постройте отрицания следующих высказываний.

1.                       На улице сухо.

2.                       Сегодня выходной день.

3.                       Ваня не был готов сегодня к урокам.

4.                       Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.

5.                       Неверно, что число 17 — простое.

4. Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

1.Число 17 нечетное и двузначное.

2. Неверно, что корова - хищное животное.

4. Если число делится на 2, то оно - четное. Переходи улицу только на зеленый свет.

6. На уроке информатики необходимо соблюдать особые правила поведения.

8. Если Маша - сестра Саши, то Саша - брат Маши.

10.Водительские права можно получить тогда и только тогда, когда тебе исполнится 18 лет.

12. Ты можешь купить в магазине продукты, если у тебя есть деньги.

5. По данным формам сложных высказываний запишите высказывания на русском языке.

1.                      

2.                        

3.                      

6. Найдите значения логических выражений:

1.                      

2.                      

3.                      

4.                      

5.                      

6.                      

7.                      

7. Даны простые высказывания: А= {15>13}, В={4=5}, C= {7<4}. Определите истинность составных высказываний:

8. Какие из высказываний А, В должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложное высказывание ?

V. Итог урока.

Обобщить пройденный материал, оценить работу активных учеников.

VI. Домашнее задание.

1. Выучить определения, знать обозначения.

2. Даны высказывания:

А = {На улице светит солнце},

В = {На улице дождь},

С = {На улице пасмурная погода},

D = {На улице идет снег}.

Составьте два сложных высказывания, одно из которых в любой ситуации всегда будет ложным, а другое истинным.

Задача 1

Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки "И", "ИЛИ". Запишите логические высказывания с помощью логических операций и определите их истинность.

1.Андрей старше Светы. Наташа старше Светы.

2.Один десятый класс идет на экскурсию в музей. Второй десятый класс идет в театр.

3.На полке стоят учебники. На полке стоят справочники.

4.   Часть детей - девочки. Остальные - мальчики.

Задача 2

Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:

1) (Y>1 и Y<3) или (Y<8n Y>4)

2) (Х=Y)и (X=Z)

3) Не (Х<0) и Х<10 или (Y>0)

4) (0<Х) и (Х<5) и (не(Y<10))