Тема: «Рациональные способы решения тестовых заданий по математике».

Логические задачи с решениями по  сборникам ЕНТ   1. Суммарный возраст членов семьи из 4  человек равняется 68, а 4 года назад равнялся 53.  Сколько лет младшему члену семьи?  Ответ : 3 года  4 года назад, значит каждый член семьи  должен стать младше на 4 года а => сумма  возрастов уменьшится на 4*4, т.е 16, и сумма  должна быть равна 52, но сумма 4 года назад  была 53. Такое возможно, если 4 года назад  хотя бы один, максимум 3 родственника еще  не родились. В данном случае подходит  только один вариант, что младший еще не  родился. Значит исключим временно его из  суммы возрастов, остальные 3 родственника  прибавят в сумме 3*4 = 12. А общая сумма =  15. 15 ­ 12 = 3 ­ и есть текущий возраст  самого младшего.  2. У треугольника, длины сторон которого  целые числа, длина одной стороны равна 5, а  другой ­ 1. Чему равна длина третьей  стороны?  Ответ: 5  Используя неравенство треугольника (любая  сторона треугольника меньше суммы двух  других), получаем:  a < b + c  a < 5 + 1  a < 6  a > | b ­ c |  a > 5 ­ 1  a > 4  4 < a < 6 => a = 5  3. Какое наименьшее натуральное число при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении  на 9 остаток 8?  Ответ :62  4. Дедушка на первый день рождения своего  внука, подарил ему одну книгу. На второе  день рождения две книги, на третье четыре и  т.д. Внуку исполнилось 6 лет.  Сколько книг у него стало?  Ответ: 63  1+2+4+8+16+32=63  5. Арман: ­ Доброе утро. Который сейчас  час?  Бауржан: ­ Сложи 1/4 времени прошедшего с  полуночи до сейчас с 1/2 от сейчас до  полуночи.  Арман: ­ Спасибо я понял.  Который сейчас час?  Ответ: 9 часов 36 минут  1/4*х+1/2(24­х)=х  0.25х+12­0.5х=х  12­0.25х=х  1.25х=12  х=9.6  6. Два отца и два сына пришли делить три  апельсина.  Мудрец поделил три апельсина так, что  каждому досталось по одному.  Мудрец апельсин не разрезал, не ел и т.п.  Сколько апельсинов досталось каждому?  Ответ: 1  Два отца и два сына ­ это были дед, отец и  сын.  7. В отеле 7 этажей. На первом разместились четыре человека, на каждом последующем ­  на 2 больше, чем на предыдущем. На каком  этаже отеля чаще всего вызывают лифт?  Ответ: на первом  8. На часах 3 часа 15 минут, сколько  градусов между стрелками?  Ответ: 7,5 градусов  1 час = 12 пятиминуток,  1 час = 360 градусов  одна пятиминутка ­ 360 / 12 = 30 градусов.  30 градусов разделить на 4 получается 7.5  градусов, это и есть угол между стрелками.  9. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла,  содержащего 6% примесей. Какой процент  примесей в руде?  Ответ: 53%  20*0.06=1.2  20­1.2=18.8­чистый металл  40­18.8=21.2 примеси  21.240=0.53=53%  10. Один сапфир и два топаза ценней, чем  изумруд, в три раза.  А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь  раз.  Определить мы просим Вас, сапфир ценнее  иль топаз?  Ответ: Все камни в одну цену  x+2y=3z  7x+y=8z  x=y=z  11. На какое максимальное количество  частей можно разделить пиццу за шесть  разрезов? Ответ: 22  12. Арбуз и лимон весят столько, сколько  дыня.  Два арбуза весят столько, сколько дыня и  лимон вместе.  Сколько надо лимонов, чтобы уравнять в весе дыню?  Ответ: 3 лимона  13. Шесть коров съедают всю траву на лугу за 12 дней, а 5 коров ­ за 16 дней. Сколько  коров съедят всю траву на лугу за 24 дня?  Ответ: 4 коровы  Пусть Z у.е. ­ количество травы (т, кг, мг, это не важно, выберете что больше нравится)  поедаемое одной коровой в один день. Т.е.  единица измерения z ­ у.е./д.  x ­ трава, y ­ прирост  x,y ­ в тех же ед. измерения что и z.  Система примет вид:  (x + 12y) / 6z = 12  (x + 16y) / 5z = 16  Заметьте, выполняется соответствие  размерностей  [у.е./(у.е./д.)]=[д.]  Как видите из этой системы не удается найти ни x, ни y, но можно выразить их через z.  x = 48z  y = 2z  Пусть w ­ искомая величина:  (x + 24y) / wz = 24  w = (x + 24y) / 24z = 96z / 24z = 4  14. Чему равна разность произведений?  2011 2011 2011 * 2011 2011 2011 ­ 2011 2011  2010 * 2011 2011 2012 Ответ:1  15. Бабушке и внучке вместе 65 лет.  Известно, что внучке столько месяцев,  сколько бабушке лет. Сколько лет бабушке, а сколько внучке?  Ответ:  Бабушке 60 лет, а внучке 60 месяцев, то есть  5 лет.  16. Раздел: Математические В многоэтажном  доме с этажа на этаж идут лестницы  одинаковой длины. Во сколько раз подъём с  первого этажа на шестой длиннее, чем  подъём с первого этажа на третий?  Ответ:: В два с половиной раза.  17. Упорная улитка ползет с постоянной  скоростью вверх по столбу, высота которого  1 метр, и за 6 минут поднимается на 30 см,  следующие 4 минуты она отдыхает и сползает под собственной тяжестью на 15 см.Через  сколько минут улитка достигнет вершины?  Ответ: 55 минут.  18. 9n+ 9n + 9n + 9n + 9n + 9n + 9n + 9n + 9n  =32010  Найдите n  .  Ответ: n=1004  Приводим подобные слагаемые и получаем:  9* 9n =32010  складываем показатели степеней с  одинаковым основанием: 9n+1=32010  приводим степени к одному основанию:  9n+1=91005  дальше решаем простое уравнение: n+1=1005  n=1004 19. У двух девочек есть по несколько яблок.  Если одна даст другой 2 яблока, то у нее их  станет в 2 раза меньше. А если вторая  девочка даст первой 2 яблока, то у них  станет поровну. Сколько яблок у девочек?  Ответ: у первой 10, у второй 14  20. Сколько оборотов сделает каждое из  колес находящихся в сцеплении до  возвращения в исходное положение, если у  одного 12 зубьев а у другого 54?  Ответ: 2 и 9  21. Два человека могут сделать два  велосипеда за два часа. Сколько понадобится людей чтобы сделать 12 велосипедов за 6  часов?  Ответ: 4 человека  Если два человека делают 2 велосипеда за 2  часа, то каждый отдельно делает 1 велосипед за 2 часа, а за час каждый делает 0,5.  Следовательно, за 6 часов, 1 человек делает 6 * 0,5 = 3, так как нужно 12 велосипедов за 6  часов, то понадобиться 12 / 3 = 4 человека  22. Фрёкен Бок съедает торт за полчаса,  Малыш ­ за час, а Карлссон ­ за 5 минут. За  какой время они съедят торт вместе?  Ответ: 4 минуты.  За минуту фрёкен Бок съедает 1/30 торта...  1/30*x + 1/60*x + 1/5*x = 1/4.  23.В гараже стоят 750 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колес, а легковые по  4 колеса. Сколько каких автомобилей в  гараже, если колес всего 3024? Ответ: 738 легковых и 12 грузовых.  Ответ: Сколько было бы колес, если бы все  автомобили были легковыми?  4 x 750 = 3000.  Сколько колес имеется потому, что среди  автомобилей есть грузовые?  3024 ­ 3000 = 24.  На сколько колес у грузового автомобиля  больше, чем у легкового?  6 ­ 4 = 2.  Сколько автомобилей ­ грузовые?  24 : 2 = 12.  Сколько автомобилей ­ легковые?  750 ­ 12 = 738.  Решение полезно проверить:  Сколько колес у 738 легковых автомобилей?  4 x 738 = 2952.  Сколько колес у 12 грузовых автомобилей?  6 x 12 = 72.  Сколько всего колес?  2952 + 72 = 3024.  24. Попpыгyнья стpекоза половинy вpемени  каждых сyток кpасного лета спала, тpетью  часть вpемени каждых сyток танцевала,  шестyю часть ­ пела. Остальное вpемя она  pешила посвятить подготовке к зиме.  Сколько часов в сyтки стpекоза готовилась к  зиме?  Ответ: На подготовку к зиме у стрекозы не  оставалось времени.  25. Поезд длиной в 1 км с ценным грузом  едет с максимальной скоростью 60 км/ч.  Машинист опасается, что впереди в лесу  протяженностью в 1 км может быть засада.  Сколько времени потребуется поезду, чтобы  миновать этот опасный лес?  Ответ: 2 минуты. 26. Пройдя половину пути, катер увеличил  скорость на 25% и поэтому прибыл на  полчаса раньше. Сколько времени он  двигался?  Ответ: 4,5 часа.  Пусть t ­ время, затраченное катером на  первую половину пути. Вторую половину  пути он шёл со скоростью, в 1,25 раза  большей запланированной, а значит, затратил  в 1,25 раза меньше времени, то есть t/1,25 =  0,8t. Составим уравнение:  0,8t = t ­ 1/2.  Отсюда t = 2,5. Таким образом, первую  половину пути катер прошёл за 2,5 часа, а  вторую ­ за 2 часа  27. В класе 35 учеников, из них 20  школьников занимаются в математическом  круже, 11­ в литературном, 10 ребят не  посещают эти кружки. Сколько литераторов  увлекаются математикой?  Ответ: 6  Всего 35 учеников. 10 кружки не посещают.  Значит, посещают кружки 35­10=25  учеников.  25 учеников посещают кружки. 20 учеников  занимаются в математическом кружке.  Значит, только литературный кружок  посещают 25­20=5 человек. В литературном  кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают  только литературный кружок.  Значит, 11­5 = 6 человек­литераторов  посещают ещё и математический кружок  28. Придумайте два числа, чтобы их сумма,  произведение и частное были равны друг  другу. Ответ:  0.5 и ­1  29. На каждой грани бумажного кубика  написана цифра 1, 2 или 3, причем цифры на  противоположных гранях ­ одинаковые.  Какая из фигурок может получиться. если  этот кубик разрезать по некоторым ребрам и  развернуть?  Ответ: Последний кубик (Е) будет сложен  правильно  30. Если отпилить кубику одну вершину, на  сколько измениться количество его вершин?  Ответ: Увеличится на 6  31. Разделите приведенную фигуру на 8  одинаковых частей.  Ответ:  32. После семи стирок длина, ширина и  высота куска мыла уменьшилась вдвое. На  сколько стирок хватит оставшегося куска?  Ответ: Еще на один раз  33.В месяце три воскресенья выпали на  четные числа. Какой день недели был  седьмого числа этого месяца?  Ответ: 7­ пятница  Через семь дней повторяется каждый день  недели. Первые 28 дней содержат четыре понедельника, четыре вторника и т.д. и  четыре воскресенья. Причем, два воскресенья выпадают на четные числа, а два ­ на  нечетные. Значит, третье воскресенье  выпадает на 30 число. Таким образом, 2­го  числа также было воскресенье, а 7­го числа ­  пятница  34. Часы с боем отбивают 6 часов за 5  секунд. За какое время они пробьют 12  часов?  Ответ: За 11 секунд.  35. Какое число должно стоять вместо  вопросительного знака?  4 5 6 7 8 9  61 52 63 94 46 ?  Ответ: 18  Числа нижнего ряда являются квадратами  чисел верхнего ряда с переставленными  цифрами. Вместо вопросительного знака  должно стоять число 18.  36. Найдите три числа, которые при  попарном сложении дают в сумме двадцать,  тридцать и сорок.  Ответ: Числа 5, 15 и 25  37. Дамир решил в саду посадить 10  деревьев. Асель предложила разместить  деревья в саду так, чтобы получилось 5 рядов и в каждом ряду по 4 дерева.  Как Дамир расположит деревья?  Ответ:  Необходимо расположить деревья "звездой". В точках пересечения линий садить дерево  38. Лейла моложе в 6 раз своего прадедушки, если же между цифрами ее возраста вставить  0, то получиться возраст ее прадеда. Сколько ей лет?  Ответ: !8 лет  39. Ира, Аня, Катя, Оля и Эля живут в одном доме: две девочки на первом этаже и три на  втором.. Оля живёт не на том этаже, где Катя и Эля. Аня ­ не на том этаже, где Ира и Катя. Кто живёт на первом этаже?  Ответ: Аня и Оля живут на первом этаже.  Составим таблицу  1­этаж 2­этаж  Ира +  Аня +  Оля +  Эдя +  Катя +  40. Прямоугольный лист бумаги длины 3,  ширины 4 согнули по диагонали и склеили.  Найдите периметр полученной фигуры?  Ответ: 12,75  Диагонали прямоугольника будет равны 5.  При склеивании получится четырехугольная  пирамида, и длина её ребер будет равна  12,75.  41. Чему равна одна треть от одной  четвертой от одной пятой от 120.  Ответ: 1  Решаем задачу сконца:1) 120 : 2 =60  2) 60 : 5 = 12 3) 12 : 4 = 3  4) 3 : 3 = 1  42. Найди следующее число:  1; 2; 6; 24; 120; …  Ответ: 720  Закономерность: аn = аn­1 * (n­1)  43. На левой стороне улице находятся дома с  нечетными номерами от 1 до 39, а на правой  стороне ­ дома с четными номерами от 2 до  34. Сколько домов на этой улице?  Ответ: 37 домов  На нечетной улице находятся дома: 1, 3, 5, … 39, всего 20 домов,, на четной ­ 2, 4, 6, ..34,  всего 17 домов. А на все улице 37.  44. Половина от одной сотой ­ это  Ответ: 0,005  0,01 : 2 = 0,005  45.В магазин привезли 223 литра масла в  бидонах по 10 литров и 17 литров. Сколько  было бидонов?  Ответ: 16 бидонов  46. Производительность труда повысили на  25%. На сколько процентов уменьшиться  время выполнения задания?  Ответ: 20%  (1 ­ ( 60 / 1,25 ) / 60 ) * 100 = 20%  47. Сколько детей в семье, если известно, что у каждой дочки братьев столько же, сколько  и сестёр, а у каждого сыночка сестёр вдвое  больше, чем братьев. Итак Сколько братьев и сколько сестёр в семье? Ответ: 4 дочери и 3 сына.  48. На сковороде могут одновременно  жариться две котлеты. Каждую котлету  нужно обжаривать с двух сторон, при этом на обжаривание ее с одной стороны требуется 2  мин. Голодный студент мечтает побыстрее  поджарить три котлеты. Какое наименьшее  время ему потребуется?  Ответ: 6 минут  Поджарив одну сторону пары котлет, студент переворачивает одну котлету, другую  снимает и заменяет ее на третью. Через 2 мин на сковороде будет одна готовая котлета,  которую можно уже есть и заменить на  снятую ранее со сковороды. Всего на  поджаривание уйдет 6 мин.  49. 3*2006 = 2005 +2007+ ? Найдите число?  Ответ: 2006  50. Мяч и клюшка стоят 500 тенге, а три  мяча и две клюшки ­ 1200. Сколько стоит  мяч?  Ответ: 200 тенге.  Мяч ­ Х клюшка ­ У  Х+У =500; 2Х+2У=1000; 3Х+2У=1200=>  1200­1000= 200