Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Пребудет вечной истина, как скороЕе познает слабый человек!И ныне теорема ПифагораВерна, как и в его далекий век.
А. фон Шамиссо

История теоремы

Египетский треугольник

Метод Вальдхейма

Дано:
Треугольник АВС
Доказать

Доказательство:
1) Дополнительные построения. Трапеция ACDE2) Угол СОВ=3)
4)

Метод вычитания

Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат ABDE, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:
 треугольники 1, 2, 3, 4;
прямоугольник 5;
прямоугольник 6 и квадрат 8;
прямоугольник 7 и квадрат 9;
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты 8 и 9, построенные на катетах. Этими частями будут:
 прямоугольники 6 и 7;
прямоугольник 5;
прямоугольник 1(заштрихован);
прямоугольник 2(заштрихован);
Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:
  прямоугольник 5 равновелик самому себе;
четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);
прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован).

Доказательство по определению косинусов

По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AС2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2.
Складывая полученные равенства почленно, замечаем, что AD+DB=AB.
Тогда получим: АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. 
Теорема доказана.

Дано:
Треугольник АВС
CD- высота
Доказать АВ²=ВС²+АС²

Векторное доказательство

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах.
Согласно правилу сложения векторов:

откуда имеем

Возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярно b , то ab=0, откуда c²=a²+b²
Теорема доказана.

Доказательство Эйнштейна

ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C
Доказать АВ²=ВС²+АС²

Доказываем равенство треугольников и получаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Ты же будь твёрдым: божественный род присутствует в смертных,Им, возвещая, священная всё открывает природа.Если не чуждо это тебе, ты наказы исполнишь,Душу свою исцелишь и от множества бедствий избавишь.Яства, сказал я, оставь те, что я указал в очищеньяхИ руководствуйся подлинным знанием — лучшим возничим.Если ты, тело покинув, в свободный эфир вознесёшься,Станешь нетленным, и вечным, и смерти не знающим богом.