Теория вероятностей ч.5. Произведение вероятностей.

Произведение вероятностей - А ∩ В
(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.
Событие А·В состоит в совместном наступлении двух независимых событий А и В.

меню

Вероятность попадания = 0,8

Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2

А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся}

Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2

Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02

№4. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:
Событие А – занят с клиентом первый продавец.
Событие В – занят с клиентом второй продавец.
Событие С – занят с клиентом третий продавец.
Р(А) = Р(В) = Р(С) =0,6
Событие Р(A∩B∩C) - все три продавца заняты одновременно.
Событие P(A∩B∩C) = P(А)∙P(В)∙P(С)
События А, В и С независимы.
P(A∩B∩C) =0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 = 0,216

Ответ: 0,216.

№5. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.


Решение:
Здесь удобно сначала найти вероятность события «оба автомата неисправны», противоположного событию из условия задачи. Пусть
А={1-ый автомат неисправен}
В={2-ой автомат неисправен}
По условию Р(А) = Р(В) = 0,05.
Событие «оба автомата неисправны» − это А∩В.
По формуле умножения вероятностей, его вероятность равна Р(А∩В) = Р(А)∙ Р(В) = 0,05∙0,05 = 0,0025. Значит,
Противоположное событие 1 – 0,0025 = 0,9975


Ответ: 0,9975

№6. Биатлонист три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:
Вероятность попадания = 0,7
Вероятность промаха = 1 - 0,7 = 0,3
А={попал, попал, промахнулся}

По формуле умножения вероятностей

Р(А)= 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 = 0,49 ∙ 0,3 = 0,147 ≈ 0,15

Ответ: 0,15

№ 7 . Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,14. Найдите вероятность того, что в течение года а)хотя бы одна лампа не перегорит; б) обе не перегорят.
Решение:
а) Событие А- что хотя бы одна лампа не перегорит.
Событие ( -А ) - обе лампы
перегорят (противоположное событие).
р(-А ) = 0,14 ∙ 0,14 = 0,0196.
р(А) = 1 – р(-А ) = 1 – 0,0196 = 0,9804.

Ответ: а) 0,9804 б) ?

№8 . Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94.
Вероятность , что обе батарейки окажутся исправными равна произведению независимых событий , то есть равна произведению вероятностей этих событий:
0,94·0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836.

№ 9. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Решение:

Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5.
Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5=0,25.

Ответ: 0,25

№ 10. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение:
Вероятность того, что З. не сможет набрать 70 баллов ни по иностранному языку, ни по обществознанию равна
(1 − 0,7) ∙ (1 − 0,5) = 0,3 ∙ 0,5 = 0,15 (события независимые).
Значит, хотя бы по одному из этих предметов он получит 70 баллов с вероятностью 1 − 0,15 = 0,85. Для поступления нужно набрать требуемый балл по математике, русскому языку и хотя бы по одному предмету из иностранного языка и обществознания.
Вероятность поступления равна 0,6 ∙ 0,8 ∙ 0.85 = 0,408.
Ответ: 0,408.

№ 11. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет - магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.


Решение:
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна:
Р(А) = 1 − 0,9 = 0,1.
Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна:
Р(В) = 1 − 0,8 = 0,2.
Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А∩В) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,1 · 0,2 = 0,02.
Ответ: 0,02.

№12 . Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Пусть событие C = «А. выиграл белыми»,
D = «А. выиграл чёрными».
По условию, P(C)=0,5; P(D)=0,34
Необходимо найти вероятность пересечения событий С и D, т. е. P(C∩D).
События C и D независимы (результат одной партии не зависит от результата другой).
Вероятность наступления P(C∩D) равна произведению P(C) и P(D) , т.е наступят события C и D
P(C∩D)= P(C) ∙ P(D) =0,5 ∙ 0,34=0,17
Ответ: 0,17

№13 . Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:
1. Вероятность купить стекло на первой фабрике равна 0,6. Вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Вероятность события А «куплено бракованное стекло первой фабрики» находим по формуле для пересечения независимых событий: Р(А) = 0,6 · 0,04 = 0,024.
2. Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4. Вероятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03. Вероятность события В «куплено бракованное стекло второй фабрики» равна Р(В) = 0,4 · 0,03 = 0,012.
Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместных событий А и В. Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036. Ответ: 0,036.

№14 .В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Вероятность наступления хорошей погоды по условию равна 0,8, тогда вероятность наступления отличной погоды равна 1 − 0,8 = 0,2.
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:
P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128;
P(XOХ) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128;
P(OОO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008;
P(OХХ) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) =0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =0,392.
Ответ: 0,392.

№115. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение:
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен;
б) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен.
Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:
P(A) = 0,9 · 0,05 = 0,045,
P(B) = 0,01 · 0,95 = 0,0095,
P(A U B) = P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545.
Ответ: 0,0545.

№16.Мышка заползает в лабиринт в т.«Вход». Развернуться она не может, поэтому на каждом разветвлении она выбирает один из путей , по которому еще не шла. Определите, с какой вероятностью она придет к выходу «В».Решение.Мышке надо до выхода «В» пройти 4 перекрестка с вероятностью 0,5 каждый.0,5·0,5 ·0,5·0,5 = 0,5 4 =0,0625Ответ: 0,0625

Решение. Вероятность события находится по формуле классического определения вероятности:
P=количество благоприятных исходов : количество всех событий.
а) Так как к павильонам на выходах B и C, в которых Наташа может купить яблоки, идет одна дорожка, значит благоприятное событие одно. Всего дорожек четыре.
Значит вероятность того, что Наташа купит яблоки равна 1 : 4=0,25.
б) ? ( использовать произведение вероятностей).

№19. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
Пояснение.
Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A)=0,7. Вероятность противоположного события 1 – 0,7 =0,3. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий:
P(B)= 0,3·0,7=0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
 
 P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.
Ответ: 0,91.

№22.Вероятность попадания в 1-ю группу одного из близнецов 13/26, второго 12/25.
Вероятность попадания обоих (13/26)*(12/25)=0,24
Групп 2 , поэтому умножаем на 2.
Итого, 0,48.

№23.Вероятность попадания в 1-ю группу одного 7/21, второго 6/20.
Вероятность попадания обоих
( 7/21)*(6/20)=0,1
Групп 3 , умножаем на 3. Итого 0,3.

6. Стрелок в тире стреляет по мишени пока не поразит ее. Вероятность попадания в цель равна 0,2 при каждом выстреле. Какое наименьшее количество патронов надо дать стрелку, чтобы он поразил мишень с вероятностью 0,6 ?
7. Телефон передает SMS сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой попытке, равна 0,4. Найти вероятность, что для передачи потребуется не боьше двух попыток.
8. Вероятность остановки за смену одного станка 0,15, а второго 0,16. Какова вероятность : а) оба не остановятся; б)оба остановятся; в) не остановится хотя бы один; г) остановится хотя бы один?
9. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Их вынимают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность, что синий появится третьим по счету?
10. В кармане лежат 2 монеты по 2 рубля и 4 монеты по 1 рублю. Три переложили в д
ругой карман. Найти вероятность, что обе двухрублевые лежит в разных карманах.
11. Перед началом матча капитаны тянут жребий , чтобы определить, какая из команд начнет игру. Команда «С» по очереди играет с «Р», «М» и «Л». Какова вероятность, что «С» будет начинать только первую и последнюю игру.
12 Два интернет-магазина. Вероятность, что товар доставят из магазина А, равна 0,8, из магазина Б – 0,9. Заказали товар сразу в обоих. Какова вероятность, что а) доставят из обоих; б) не доставят ни из одного; в) доставят из А и не доставят из Б; г) не доставят из А, доставят из Б?