Учебно-исследовательский проект по математике на тему: «Решение текстовых задач с химическим содержанием»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ«СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 33» ГОРОДА СМОЛЕНСКА

Учебно-исследовательский проект
по математике на тему:
«Решение текстовых задач
с химическим содержанием»

Работу выполнила:
ученица 9 класса Г
Юрченкова Алина

Руководитель:
Баирова Татьяна Васильевна,
учитель математики

В нашем мире значение такой науки, как математика безмерно. Люди ежедневно сталкиваются с ситуациями, в которых применяют свои математические навыки.
Без математики не могло бы существовать ни физики, ни химии, ни других точных наук.

Как утверждал Николай Иванович Лобачевский: «Математика - это язык, на котором говорят все точные науки».

Фармацевтическая промышленность;
Пищевая промышленность;
Тяжёлая промышленность;
Медицина;
Экзаменационные работы.

1) Определили объект и предмет исследования;

2) Сформулировали цель, задачи и гипотезу;

3) Обозначили основные этапы работы;

4) Разработали методику исследования;

5) Изучили теорию по данной проблеме;

6) Провели исследование;

7) Сформулировали выводы.

Цель исследования:
изучение способов решения различных типов задач с химическим содержанием для подготовки к сдаче ОГЭ по математике.

Объект исследования: задачи на смеси, растворы и сплавы.

Предмет исследования:
типы и способы решения задач с химическим содержанием.

Задачи исследования:
Ознакомиться с литературой.
Рассмотреть различные типы задач с химическим содержанием.
Узнать разные методы решения задач на смеси, растворы и сплавы.
Выявить особенности ии преимущества каждого из методов решения задач.
Решить задачи разными способами.
Создать сборник текстовых задач с химическим содержанием.
Представить проект к защите на школьном Дне Науки.

Гипотеза: если изучить различные способы решения задач на смеси, растворы и сплавы, то это поможет выпускникам 9-ых классов стать успешными при решении задач второй части ОГЭ по математике.

Методы исследования:

I. Теоретические методы:
работа с учебными литературными источниками, КИМами для подготовки к экзамену по математике;
анализ;
синтез;
обобщение;
классификация;
систематизация.
II. Эмпирические методы:
описание;
создание.

I. Теоретическая часть
Понятие текстовых задач и история их возникновения

Текстовая задача - описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации.

Первые известные записи математических задач были найдены в папирусе Ахмеса (1650 год до н. э.), созданном египтянами. Все задачи из папируса Ахмеса имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства.

Текстовые задачи на смеси, растворы и сплавы - важный тип задач, которые используются ежедневно для расчёта необходимого количества какого-либо вещества, исходя из предложенных данных. Эти задачи ярко отражают взаимосвязь математики и химии.

Впервые способы решения задач на смеси, растворы и сплавы были описаны русским математиком и педагогом Леонтием Филипповичем Магницким около 300 лет назад.

Он описал способ решения задач н в учебнике по математике «Арифметика» в 1703 году. Из-за простоты решения этот способ применялся купцами при решении практических задач, поэтому и получил одноимённое название «способ купцов».

1. Задачи на понижение концентрации.
Пример. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
2. Задачи на повышение концентрации.
Пример. Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили 6 7 6 6 7 7 6 7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса исходного сплава?
3. Задачи на «высушивание».
Пример. Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушёные 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушёных?
4. Задачи на смешивание растворов разных концентраций.
Пример. При смешивании 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140 г 30%-го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято?
5. Задачи на переливание.
Пример. В первой кастрюле был 1 л кофе, а во второй - 1 л молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13 л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13 л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

M₁ - масса раствора с меньшей концентрацией;
a₁ - меньшая концентрация раствора;
M₂ - масса раствора с большей концентрацией;
a₂ - большая концентрация раствора;
a₃ - концентрация конечного раствора.
Формула для расчёта: 𝐌₁ 𝐌₂ 𝐌𝐌₁ 𝐌₁ 𝐌₂ 𝐌𝐌₂ 𝐌₁ 𝐌₂ = 𝐚₂ − 𝐚₃ 𝐚₃ − 𝐚₁ 𝐚𝐚₂ − 𝐚𝐚₃ 𝐚₂ − 𝐚₃ 𝐚₃ − 𝐚₁ 𝐚𝐚₃ − 𝐚𝐚₁ 𝐚₂ − 𝐚₃ 𝐚₃ − 𝐚₁

% %

% %

% %

Алгоритм решения задачи:
1) Найти массу чистого вещества.
2)Найти массу нового раствора в соответствии
с концентрацией в нём вещества.
3) Найти разность масс нового и старого растворов.
4) Записать ответ в задаче.

Этот метод назван именем английского математика и статистика - Карла Пирсона, ведь именно этот ученый придумал такой способ решения задач с химическим содержанием.
Замечание: метод применим только для взаимодействия с двумя компонентами.

Изучив структуру основного государственного экзамена по математике, мы выяснили то, что текстовые задачи с химическим содержаниемвстречаются в 21 задании второй части ОГЭ.

Поэтому, рассмотрев теорию, необходимую для решения таких задач, можно приступать непосредственно к самой практике. В данном разделе нам необходимо прорешать «химические» задачи разными способами и создать сборник задач на смеси, растворы и сплавы для подготовки к ОГЭ по математике.

1. Решение задач с химическим содержанием

Пример. Несколько литров 8-процентного раствора соли смешали с тем же объёмом 1-процентного раствора. Опредклите концентрацию получившейся смеси.

Решение:

x %

1 % (y л)

8 % (y л)

(8 - x) %

(x - 1) %

Пусть x % - концентрация получившейся смеси; y л - объём 1-ого раствора и 2-ого раствора солей; y₁ = y₂.
II. Составим и решим уравнение:

ОДЗ: x ≠ 1

x - 1 = 8 - x;
2x = 9;
x = 4,5; 4,5 % - концентрация получившейся смеси.

III. Ответ: 4,5 %.

Пример. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором растворе?

Пусть x % - концентрация 1-ого раствора; y % - концентрация 2-ого раствора.

II. Составим и решим систему уравнений:

0,12x + 0,08y = 13; / ∙ 100 x + y = 120; / ∙ 8 0,12x + 0,08y = 13; / ∙ 100 x + y = 120; / ∙ 8 0,12x + 0,08y = 13; / ∙ 100 0,12x + 0,08y = 13; / ∙ 100 x + y = 120; / ∙ 8 x + y = 120; / ∙ 8 0,12x + 0,08y = 13; / ∙ 100 x + y = 120; / ∙ 8 0,12x + 0,08y = 13; / ∙ 100 x + y = 120; / ∙ 8

12x + 8y = 1300; 8x + 8y = 960; 12x + 8y = 1300; 8x + 8y = 960; 12x + 8y = 1300; 12x + 8y = 1300; 8x + 8y = 960; 8x + 8y = 960; 12x + 8y = 1300; 8x + 8y = 960; 12x + 8y = 1300; 8x + 8y = 960;

-

4x = 340;
x = 85; 85 % - концентрация 1-ого раствора.

Если x = 85, то y = 35; % - концентрация 2-ого раствора.

III. Ответ: 35 %.

Пример. Имеется два раствора, в первом из которых содержится 14 % некоторого вещества, а во втором - 8 %. Сколько литров первого раствора необходимо долить к 40 л второго раствора, чтобы получить раствор, содержащий 10 % данного вещества?

Пусть x л - объём 1-ого раствора.

II. Составим и решим уравнение:
0,14x + 0,08 ∙ 40 = 0,1(x + 40);
0,14x + 3,2 = 0,1x + 4;
0,04x = 0,8;
x = 20; 20 (л) - объём 1-ого раствора.

III. Ответ: 20 л.

Пример. В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

1) 7 ∙ 0,26 = 1,82 (л) - объём вещества.
2) Т. к. добавили 6 л воды (по условию) → объём получившегося раствора:
6 + 7 = 13 (л);
вода - растворитель → объём самого вещества в новом растворе остаётся неизменным.
3) 1,82 : 13 ∙ 100 % = 14 % - концентрация получившегося раствора.

Ответ: 14 %.

Пример. Свежие фрукты содержат 72 % воды, а высушенные - 26 %. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?

Решение:

1) 100 % - 72 % = 28 % - содержание сухого вещества в свежих фруктах.
2) 100 % - 26 % = 74 % - содержание сухого вещества в высушенных фруктах.

Пусть x кг - масса сухих фруктов.

x кг

74 %

222 кг

28 %

II. Составим и решим уравнение:

74x = 222 ∙ 28;
74x = 6216;
x = 84; 84 (кг) - масса сухих фруктов.

III. Ответ: 84 кг.

Пример. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

6 л (25 %)

(x - 15) %

4 л (15 %)

(25 - x) %

10 л
(x %)

Пусть x % - концентрация получившегося раствора.

II. Составим и решим уравнение:
6(25 - x) = 4(x - 15); / : 2
75 - 3x = 2x - 30;
-5x = -105;
x = 21; 21 % - концентрация получившегося раствора.
III. Ответ: 21 %.

Вычисление вероятности события

В этом разделе следует выяснить, а с какой же вероятностью задачи с химическим содержанием встречаются на ОГЭ по математике.

Классическая вероятностная схема:

N(A) - число благоприятных исходов;
N - число всех исходов.

Задачи на движение - 16 шт.
Задачи с химическим содержаниенм - 6 шт.
Задачи на движение по реке - 8 шт.
Задачи на работу - 4 шт.
Задачи на проценты - 2 шт.
Всего: 36 задач.

1) Сначала мы изучили открытый банк заданий ФИПИ для экзамена по математике в 2023 году.
2) Также нами были изучены текстовые задачи линии 21 из сборников для подготовки к ОГЭ 2023.
3) Мы просмотрели тренировочные варианты ОГЭ по математике прошлых лет.
4) Наконец, исходя из всей полученной информации, мы выбрали текстовые задачи из разных источников и разделили их по разным типам.
5) Создание сборника задач в электронном виде.
6) На заключительном этапе нужно напечатать подготовленный сборник и оформить его в виде книги.
7) Сборник текстовых задач с химическим содержанием готов. Теперь его можно представить девятиклассникам.

В процессе работы над учебно-исследовательским проектом по теме: «Решение текстовых задач с химическим содержанием» мы изучили различные источники информации, с помощью которых познакомились с историей возникновения текстовых задач на смеси, растворы и сплавы, рассмотрели различные типы данных задач, особое внимание уделили методам решения и, конечно, прорешали задачи разными способами.

Выдвинутая нами гипотеза оказалась верной. Потому что, проанализировав структуры экзамена по математике, мы выяснили, что задачи с химическим содержанием с большой вероятностью встречаются в 21 задании второй части ОГЭ по математике (17 %).

Рассмотренные нами различные способы решения этих задач и созданный сборник для подготовки к ОГЭ дают возможность девятиклассникам лучше усвоить материал по данной теме, систематизировать свои знания и научиться решать такие задачи, то есть стать успешными при решении задач второй части ОГЭ по математике.

1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций / [А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.]; под ред. А. Г. Мордковича.

2. Математика. 5 класс : учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд.

3. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. / Фридман Л. М., Турецкий Е. Н.

4. Задачи на смеси и сплавы / Н. И. Прокопенко. – М. : Чистые пруды, 2010.

5. ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко.

6. Математика. ОГЭ-2022. 9-й класс. Тематический тренинг: учебно-методическое пособие / под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

8. https://ru.wikipedia.org/wiki

7. https://fipi.ru/