Учимся решать задачи с параметром

КАК НАУЧИТЬ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Автор: учитель математики высшей квалификационной категории Петрунина В.А., МБОУ СОШ №141 г.Новосибирска

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ  Аналитический  Геометрическая интерперетация «Переменная-значение»  Геометрическая интерперетация «Переменная-параметр»

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Линейные уравнения с параметром  необходимо привести к виду ax=b. При решении уравнений необходимо рассмотреть  коэффициент при переменной х.  Если а=0, b=0, то 0x=0, х ­ любое число.  Если а=0, b≠0, то 0x=b, нет корней.  Если а≠0, то x=b/a. Ответ:  если а=0, b=0, то х ­ любое число;  если а=0, b≠0, то нет корней;  если а≠0, то x=b/a. .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ     Решить уравнение а2х – а = 4х +2.  Решение. а2х – а = 4х +2 преобразуем и получим линейное уравнение  (а2 – 4)х = а + 2 .  1.а = - 2 . Решением уравнения 0·х = 0 являются все хϵR.  2. а = 2. Уравнение 0·x = 4 решений не имеет.  3. а2 – 4≠0. Уравнение имеет единственное решение x = =  Ответ: х = при а ≠ 2; хϵR при а = -2; нет решений при а =2.

УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ  Решить уравнение     = 0  Данное уравнение равносильно системе , x=1 и х - а0 корней нет. корней нет  1 – а 0.  Итак, если а0, то х = 1, если а=1, то  Ответ: если а0, то х = 1, если а=1, то

    . Решить уравнение  =  .  Решение. Допустимые значения: ах + 2 ≠ 0, 2х + а ≠ 0, т.е. ах ≠ ­2,  2х ≠ ­2.  Преобразуем уравнения при допустимых значениях а и х, получим   4х + 2а =  ах + 2.  Х(а – 4) = 2(а – 1).   При а =4 уравнение решений не имеет.  Если а ≠ 4, то х = . Исключим значения а, при которых ах = ­ 2 , 2х  = ­ а.  ах = ­2 равносильно  = ­ 2   Решая уравнение 2х = ­ а, получаем такие же значения а: 2х = ­ а ,   а = . ↔ ↔   = ­ а ,  , а = .  Ответ: при а = , ; иначе решений нет.

Квадратные уравнения с параметром  задача1. Решить уравнение:        (а­5)х +3ах­(а­5)=0. 2 При решении квадратного уравнения необходимо рассмотреть  значения параметра, при которых старший коэффициент равен 0. В  этом случае квадратное уравнение становится линейным. 2 При a=5 15x=0,     x=0 Далее, при a≠5      a 9 D 4 a 5    2 13 40 100 а 0 а    D 400 1300 900 1  2 13 а 2  40 а  100  ,0 значит D  0 при любых значениях а и квадратное уравнение имеет два различных корня :  3 а х 2,1  а 13  2 а 2   а  100 40 5 Ответ: при a=5     x=0;    при а≠5  3 а х 2,1  2 13 а  2 а  а  100  40 5

 2 х х Задача 2 При каких значениях параметра а уравнение а 1 Решение:       Решим уравнение графически. Построим графики функций  в одной системе координат.   не имеет решений?  Имеет два решения? у у В 1 0 а √2 ­√2 У=√1­х² у=а­х К х А    ΔАВО­прямоугольный,    равнобедренный;     Проведем ОК АВ,  ┴ ОК=КВ=АК=1 ; ОВ=√2 Ответ: 1) уравнение не имеет решения при а>√2, а<­√2; 2) Уравнение имеет два решения при 1≤а<√2

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ     Найдем все значения параметра a, при которых неравенство | x − a | − x2 ≥ 1 (1) имеет решение. Запишем неравенство (1) в виде | x − a | ≥ 1 + x2 Неравенство (2) равносильно совокупности   D неотрицателен т.е. D≥0,  a ϵ (−∞; −0,75] [0,75; +∞).

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НА ПЛОСКОСТИ ХОУ  Графиком функции в  правой части неравенства  является смещенная вверх на  единицу парабола   y=1 + x2, графики  семейства функций из  левой части получаются  горизонтальным  смещением на a графика  функции | x |:  y=| x − a|

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НА ПЛОСКОСТИ XOA  Воспользуемся плоскостью (x; a) и изобразим зависимость (2) с использованием совокупности (3) и графиков квадратичных функций а=х2+х+1 и а=-х2+х- 1 . Пересечение горизонтальных прямых с найденным множеством непусто при a ≤ −0,75 или a≥0,75.

Иррациональные неравенства с параметром Задача 1.      Решить неравенство  Решение: ОДЗ : х   ;1   ах   х 1  0 х = 1 является решением неравенства при любом а. Если х > 1, и                                выполняется при                      1   ах 0 х   1 х x 0  a  0 ах                  решение  неравенства зависит от взаимного расположения чисел х = 1  и х = ­а.  х ,а  а   ;1 то х = 1.  х  ;1 Ответ:  при 1;а Если 1 < ­a, то  Если 1  1 1 1 а х х   ;1  а ; х = 1 . а при а

   ха 1 ха 2   ув 1 ув 2  с 1  с 2 у  у        а 1 в 1 а в 2 2 х  х  с 1 в 1 с в 2 2 Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая. Если , то эти прямые пересекаются в одной точке, в 1 значит в система уравнений имеет одно решение. а  а 2 2 1 Если Если а 1 а 2 а 1 а 2   в 1 в 2 в 1 в 2 с 1 с то прямые совпадают, значит система  уравнений имеет бесконечно много  решений. 2 с 1 , то прямые параллельны, значит с система 2 уравнений не имеет решений.

Системы линейных неравенств с параметрами Решая системы линейных неравенств с параметром, нужно каждое  неравенство привести к виду ах<в, ах>в и т. д. Затем рассмотреть  значения параметра, при которых коэффициент при х равен 0, потом  больше 0 и меньше 0. С помощью координатной прямой решить систему  неравенств. Решить систему неравенств 49  x 7  mx    Решение: x 7 mx      Если m=7 Если m>7 Если m<7 7 m Нет решений 7 m Нет решений m 7 (m;7) X X X

ТАБЛИЦА ОГРАНИЧЕНИЙ

 Спасибо за внимание!