Угол между скрещивающимися прямыми

     1)                        Куб  2)

3)                               4-5)

№ 1.   а)  ∠( ВВ₁ ; С₁D₁ ) =      

            б) ∠( ВС ; А₁D₁ )  =

            в) ∠( АB₁  ; СD₁. )  =

№ 2. Найти угол между прямыми А₁С₁ и  СВ₁.

№ 3. Точки К и Т  – середины АА₁ и А₁В₁ соответственно, точки М и  Е – середины В₁С₁ и С₁D₁ соответственно . Найти угол между прямыми КТ и МЕ.

№ 4-5. О –  середина BD. Найдите угол между прямыми В₁О и С₁D  и угол между прямыми  В₁О и А₁С₁ 

                           Тетраэдр

№ 6. SMNK – тетраэдр, точки A  и B– середины SM  и NM соответственно. Найти угол между прямыми SK и AB.

№ 7. SABC – тетраэдр Точки К и Е  – середины АB и SB соответственно, точка D  – середины АS. Найти угол между прямыми КЕ и СD.

№ 8.

   – куб, точки К ,   F   и  Т  – середины АВ, D₁C₁  и В₁В соответственно. Найдите:

  а)  синус угла  между прямыми

  б)  косинус угла между прямыми    

а)  1

б)

№ 9.

  - правильная треугольная призма, площадь  основания которой равна  , а длина  бокового ребра  1 см. Найдите  синус угла между прямыми  и .

№ 10.

Прямая   параллельна диагонали BD  ромба  ABCD и не лежит в плоскости ромба. Найдите угол между прямыми DC и , если угол АВС равен .

№ 11.

 –  прямая четырехугольная призма, основание которой – квадрат. Найдите  косинус угла между прямыми А и  ,если площадь основания равна 36 , а площадь боковой поверхности призмы равна  72  .                                   

№ 12.

В  правильной треугольной пирамиде  SABC точка О -  точка пересечения медиан основания АВС, а точка D – cередина ребра SB. Найдите  котангенс угла  между прямыми АС и ОD.

        0

№ 13.

прямоугольный параллелепипед, где  АВ=1см, , AD=3 см. Точки F и K лежат на ребрах   и AD так, что

. Найдите тангенс угла между прямыми   и D₁К.

№ 14.

Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны, точка К- середина SС. Найдите косинус угла между прямыми DK  и АS.

№ 15.

На ребре  куба  взята точка К – середина этого ребра. Найдите тангенс угла между прямыми  и DK.

3

№ 16.

SABCD – правильная четырехугольная пирамида, у которой равны. Точка F – середина ребра SC . Найдите косинус угла между прямыми  DF  и АС

№ 17.

В правильной треугольной призме  все ребра которой равны, найдите косинус угла между прямыми АВ и С

№ 18.

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны. Точка К – середина ребра SA,  Найдите   косинус угол между прямыми AD и СК

№ 19.

В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны. Медианы грани АВС пересекаются в точке О. Точки Р, Е и D –  середины ребер SC,SA и SB  соответственно. Найдите тангенс угла между прямыми ВС и ОD.

№ 20.

В кубе  точки F и Т – середины ребер AD и  соответственно. Точка О – точка пересечения АС и BF. Точка К делит диагональ куба    в отношении 2:1 , считая от вершины D.  Найдите угол между прямыми ОК и   и тангенс угла между прямыми ОК и CD.

1)

2) 2

№ 21.

В правильной треугольной пирамиде SABC  все ребра равны, точка К – середина ребра SB, точка М – середина ребра ВС. Найдите косинус угла между прямыми АК и SM.

№ 22.

Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны, точка F- середина DS. Найдите значение выражения  , где α-угол между прямыми AF и SC.

21

№ 23

 – куб . Точка  Е делит диагональ  грани     в отношении 3:2, считая от вершины  .  Точка М делит ребро   в  отношении  3:4, считая от вершины D. Точка Р  лежит на ребре  AD  так , что PD:AD=3:7, Найдите значение выражения , где α – угол между прямыми   и МР.

99

№ 24.

Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны, точка К лежит на ребре SB  так, что  . Найдите 120, где α – угол  между прямыми DK  и SC.

108

№ 25.

В правильной треугольной призме   боковое ребро в два раза меньше ребра основания.  Найдите тангенс угла между прямыми АС и

2

№ 26.

Точка М – середина ребра AD куба . Точка Е лежит на отрезке  так, что    Точка О – точка пересечения отрезков ВМ и АС. Найдите  значение выражения  27, где α – угол между прямыми OE  и МС.

18

№ 27.

SABCD – правильная четырехугольная пирамида, у которой боковое ребро в два раза больше ребра основания. Точка F – середина ребра SВ. Найдите  квадрат  тангенса угла между прямыми  АF  и BD

11

№ 28.

В правильной треугольной пирамиде DABC боковое ребро в два раза больше ребра основания. Точка М – середина ребра DB, точка О  - центр основания пирамиды. Найдите значение выражения , где α – угол между прямыми DО  и МС.

18

№ 29.

В правильной треугольной пирамиде SABC  все ребра равны,  точка Т  делит ребро AS   в отношении 3:2, считая от вершины S.  Точка  О - точка пересечения биссектрисc грани SBC .  Найдите косинус угла между прямыми АС  и  ТО. В ответе укажите

105

№ 30

В кубе  точка М – середина ребер AD . Точка О – точка пересечения МС и BD. Точка К лежит на  диагонали куба     и .  Найдите  косинус угла между прямыми ОК и .  В ответе укажите

6