Уравнения и неравенства с модулем

МОДУЛЬ

Определение

Простейшие уравнения с модулем

4) |3x + 2| = -4 нет корней

Предлагаем самостоятельно решить уравнения :

1 вариант 2 вариант

|3x + 2| = 4 |4x - 2| = 6
|x – x| = 0 |x + x| = 0
|8 - |x + 2|| = 7 |10 - |x - 1|| = 8

Решение уравнений

|f(x)| = d(x), где f(x), d(x) – некоторые функции

1) При d(x) < 0 нет решения

2) При d(x) = 0 <=> f(x) = 0

Пример

Решите уравнение

X < -5 2) -5 < x < 4 3) x > 4
(4 – x) – (5 + x) = 19 (4 – x) + (5 + x) = 19 -(4 – x) + (5 + x) = 19
4 – x – 5 – x = 19 0 * x = 10 -4 + x + 5 + x = 19
-2x = 20 x = 10 : 0 2x = 18
x = -10 нет корней x = 9

-10 < -5 9 > 4
корень уравнения корень уравнения

ОТВЕТ: -10; 9

Решите самостоятельно

1 вариант

|x - 3| + |x + 1| = 4
|x - 1| - 3 + |x + 2| = 0
|5x + 3| = 4 - |8 – x|

2 вариант

2|3x + 1| - 4 = |x + 8|
|-2x - 1| + 2|3 - x| = 7
5 - |2x + 1| = |x - 7|

Простейшие неравенства

|f(x)| > a, если a > 0 |f(x)| < a, если a > 0

|f(x)| > 3 |f(x)| < 3

________________ _________________
-3 3 -3 3

f(x) > 3 -3 < f(x) < 3
f(x) < -3

|f(x)| > a, если a < 0 |f(x)| < a, если a < 0

|f(x)| > -2 |f(x)| < -2
верно при любом x нет решений
|f(x)| > 0 |f(x)| < 0
верно при любом x нет решений

Рассмотрим решение на примерах

|2x - 3| < 5



2x – 3 > -5 2x > -2 x > -1
<=> <=>
2x – 3 < 5 2x < 8 x < 4

ОТВЕТ: -1 < x < 4

|2x - 3| > 5



2x - 3 > 5 2x > 8 x > 4
<=> <=>
2x – 3 < -5 2x < -2 x < -1

Решите самостоятельно

1 вариант 2 вариант



|2(x – 4)| < -2 |3 – 11x| < 1/2

|7 – 3x| > -8 |4(x + 5)| < -1

|10x + 3| < 1/4 |2 – 4x| > -7

Автор текста – Бурова Марина