Урок 5 Бином Ньютона План урока

Раздел долгосрочного плана: 9.1 Элементыкомбинаторики.

Школа:

Дата:

ФИО учителя:

Класс:

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Бином Ньютона и его свойства

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

9.3.1.6 знать и применять формулу бинома Ньютона и его свойства.

Цели урока

Учащийся:

·         узнает формулу бинома Ньютона.

·         познакомится со свойствами чисел, входящих в состав треугольника Паскаля -с числами вида и их свойствами в треугольнике Паскаля;

·         научится понимать и строить треугольник Паскаля до заданного уровня треугольника.

Критерии оценивания

Учащийся:

·         использует треугольник Паскаля при преобразовании степени двучлена;

·         демонстрирует алгоритм построения  треугольника паскаля до заданного уровня треугольника;

·         может доказать свойства расположения коэффициентов в треугольнике Паскаля.

Языковые цели

Учащиеся:

·         умеют устно словесно выразить и описать алгоритм построения треугольника Паскаля при выполнении заданий по теме;

·         умеют доказать и объяснить структуру треугольника.

Полезные выражения для диалогов и письма:

-     бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы;

-     число равно сумме двух расположенных над ним чисел;

-     обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.

Привитие ценностей

Исследуя свойства треугольника Паскаля, учащиеся развивают интерес к необычным свойствам чисел и структуре их расположения в этом треугольнике; получают возможность дальше самостоятельно исследовать следующие свойства и, главное, их применение в реальности.

Межпредметные связи

Комбинаторика, логика, алгебра, теория чисел, комбинаторная геометрия, физика.

Навыки использования ИКТ

Презентация к уроку.

Предварительные знания

Знание формулычисла сочетания без повторений и его свойств.

Формулы квадрата и куба суммы двух чисел.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

5 мин

5 мин

Формальное приветствие и настрой учащихся на усвоение новой информации.

Учащимся предлагается представить в виде многочлена (полинома) следующие степени двучленов: (a+b)⁰;(a+b)¹; (a+b)²;(a+b)³;(a+b)⁴ , выделив при этом коэффициенты слагаемых.

Записав коэффициенты в строки одно под другим в виде равнобедренного треугольника, учащиеся готовятся к «погружению» в исследование этого удивительно симметричного треугольника, называемого треугольником Паскаля.

Учитель:   

Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух чисел являются частным случаем так называемого бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона относится к алгебре, а также к ветви математики, называемой комбинаторикой.  Вы спросите: а почему, собственно, формула бинома, и что такое бином вообще. Здесь употребляется алгебраическая терминология: в алгебре есть понятие многочлена. Многочлен-это Полином - другими словами - сумма произвольного числа слагаемых называется полином. 
Например  - это полином! 
А сумма двух слагаемых называется Биномом! То есть - это бином, или,например (x+y) - тоже бином. Здесь x и y предполагаются неизвестными переменными величинами.Что же изобрел Ньютон?Ньютон изобрел формулу, которая позволяет возвести сумму двух слагаемых в степень с любым показателем, а не только с показателем равным 2!

Можно, конечно, привести вывод формулы бинома, что не входит в нашу программу урока, поэтому запишем эту формулу без доказательства и используем ее для получения общей формулы:

Однако, вычислять коэффициенты через сочетания достаточно сложно. Чтобы облегчить эти вычисления, используютТреугольник Паскаля

Середина урока

15 мин

10 мин

7 мин

Итак, исследуем ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ, как таблицу биномиальных коэффициентов.

«Исследование» происходит по презентации.

Числовой треугольник Паскаля — неисчерпаемый источник всевозможных математических радостей.

В верхней строчке треугольника располагается одинокая единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше — слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю. Треугольник бесконечно простирается вниз; рассматриваются лишь восемь верхних строчек:

Закрепление. 

Продолжить формулу, используя треугольник Паскаля.

Задание выполняется  у доски учителем с помощью учащихся для демонстрации

Ответ. 

Аналогичную работу будут выполнять учащиеся, работая в парах: используя треугольник Паскаля, выписывают коэффициенты необходимого ряда и вставляют вместо биномиальных коэффициентов в бином Ньютона. Обменявшись работами, проверяются работы каждой пары под контролем учителя.

Используя  треугольник  Паскаля,  найти  разложение   двучлена: 

1.

Ответ:

2.

Ответ:

3. (2а +3 b)⁴

^Ответ:

Формативное оценивание (приложение)

Презентация

Слайды1-23

Конец урока

3 мин

Домашняя работа:

·         Презентация будет выслана учащимся для подробного изучения свойств треугольника Паскаля

• Используя треугольник Паскаля, восстановите бином двучлена:

.

Найдите x,y,nчерез a,b

Подведение итогов, рефлексия:

Используя метод незаконченных предложений, ученики описывают свою деятельностьна уроке:

• Сегодня на занятии я узнал(а) …
• Мне оказались непонятны следующие моменты …
• Мне понравилось на занятии …
• Я понял(а), что надо еще раз посмотреть тему …
• Покажите на графике свое эмоциональное состояние на занятии

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Дифференциация будет осуществляться в подборе задач от простого к сложному.

Формативное оценивание, оценивание работы парах, устная работа в течение урока

Проветривать кабинет.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки. 

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?