Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
"Дифференциальные уравнения второго порядка"
по дисциплине: «Математика», 2 курс
разработал преподаватель Кирсановского авиационного технического колледжа– филиала МГТУ ГА: Карнаущенко Н.Н.
2020 год
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Цель занятия: обобщить и систематизировать знания по теме «Дифференциальные уравнения», провести диагностику усвоения системы знаний и умений выполнять задания стандартного уровня.
Задачи урока
Образовательные: познакомиться с понятием дифференциального уравнения второго порядка; научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений второго порядка.
Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.
Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Актуализация опорных знаний
1 вариант | 2 вариант |
𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 1+ 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 = |
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Проверка
1 вариант | 2 вариант |
𝑑𝑥=x + C 𝑑𝑥=x + C 𝑑𝑥=x + C 𝑑𝑑𝑥𝑥=x + C 𝑑𝑥=x + C | 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥𝑥 𝑥 𝑛 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 = х 𝑛+1 𝑛+1 х 𝑛+1 х х 𝑛+1 𝑛𝑛+1 х 𝑛+1 х 𝑛+1 𝑛+1 𝑛𝑛+1 х 𝑛+1 𝑛+1 + C |
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥=− cos x + C 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥=− cos x + C 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥=− cos x + C 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥=− cos x + C 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥=− cos x + C | 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =sin x + C |
𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = - ctg x + C | 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = tg x + C |
𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = lnIxI +C | 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑒𝑒 𝑒 𝑥 𝑥𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 dx = 𝑒 𝑥 𝑒𝑒 𝑒 𝑥 𝑥𝑥 𝑒 𝑥 + C |
𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 = arcsin 𝑥 𝑎 𝑥𝑥 𝑥 𝑎 𝑎𝑎 𝑥 𝑎 + C | 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 1 − 𝑥 2 1 − 𝑥 2 1 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 = arcsin x +C |
𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 1+ 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 =arctg x + C | 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 = 1 𝑎 1 1 𝑎 𝑎𝑎 1 𝑎 arctg 𝑥 𝑎 𝑥𝑥 𝑥 𝑎 𝑎𝑎 𝑥 𝑎 + C |
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Тест на установление истинности
1 вариант | 2 вариант | ||
1. 2у – x = 1 | 1. y' = 3x | ||
2. 3dy = 2xdx | 2. 3y'' = 5x2 | ||
3. Уравнение у' + 1 = у 𝑥 у у 𝑥 𝑥𝑥 у 𝑥 является линейным дифференциальным первого порядка | 3. Уравнение (2х + у)dx – 2xdy = 0 является однородным дифференциальным | ||
4. dy = y‘ dx | 4. dх = y‘ dу | ||
5. 𝑑 2 𝑦 𝑑 2 𝑥 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑 2 𝑥 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑥𝑥 𝑑 2 𝑦 𝑑 2 𝑥 - 4ху 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 | 5. у'' – 8y' + 16у = 0 | ||
6. Назовите процесс обратный дифференцированию? | 6. Назовите процесс обратный дифференцированию? ( дифференцирование) | ||
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Проверка
1 вариант | 2 вариант | ||
1. 2у – x = 1 | нет | 1. y' = 3x | да |
2. 3dy = 2xdx | да | 2. 3y'' = 5x2 | |
3. Уравнение у' + 1 = у 𝑥 у у 𝑥 𝑥𝑥 у 𝑥 является линейным дифференциальным первого порядка | 3. Уравнение (2х + у)dx – 2xdy = 0 является однородным дифференциальным | ||
4. dy = y‘ dx | 4. dх = y‘ dу | нет | |
| 5. у'' – 8y' + 16у = 0 | да | |
6. Назовите процесс обратный дифференцированию? | 6. Назовите процесс обратный дифференцированию? | нет | |
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
ДУ первого порядка
ДУ второго порядка
Дифференциальные уравнения
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ
ДУ сводящиеся к понижению
ДУ с постоянными коэффициентами
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Основные понятия
Уравнение 2-го порядка имеет вид
или
Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения ,
удовлетворяющее начальным условиям:
и
Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение
Простейшее уравнение 2-го порядка
решают двукратным интегрированием.
Уравнение , не содержащее явно у, решают с помощью подстановки
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Линейные однородные уравнения
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение
Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами .
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения .
Оно получается из ЛОУ заменой соответствующей порядку производной степенью k.
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Решение характеристического уравнения
Корни уравнения | Частные решения уравнения | Общее решение уравнения |
Если корни действительные и различные: 𝑘 1 𝑘𝑘 𝑘 1 1 𝑘 1 ≠ 𝑘 2 𝑘𝑘 𝑘 2 2 𝑘 2 | У1 = 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑒𝑒 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑘 1 𝑘𝑘 𝑘 1 1 𝑘 1 𝑥𝑥 𝑒 𝑘 1 𝑥 | У = 𝐶 1 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝑒𝑒 𝐶 1 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑘 1 𝑘𝑘 𝑘 1 1 𝑘 1 𝑥𝑥 𝐶 1 𝑒 𝑘 1 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 𝑘 2 𝑥 𝐶 2 𝐶𝐶 𝐶 2 2 𝐶 2 𝑒𝑒 𝐶 2 𝑒 𝑘 2 𝑥 𝑘 2 𝑘𝑘 𝑘 2 2 𝑘 2 𝑥𝑥 𝐶 2 𝑒 𝑘 2 𝑥 |
Если корни равны: | У1 = 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑒𝑒 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑘 1 𝑘𝑘 𝑘 1 1 𝑘 1 𝑥𝑥 𝑒 𝑘 1 𝑥 | У = 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑒𝑒 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑘 1 𝑘𝑘 𝑘 1 1 𝑘 1 𝑥𝑥 𝑒 𝑘 1 𝑥 ( 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 + 𝐶 2 𝐶𝐶 𝐶 2 2 𝐶 2 х) |
Если корни комплексные числа ∝ ±𝛽𝛽𝑖𝑖 | 𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 = 𝑒 ∝𝑥 𝑒𝑒 𝑒 ∝𝑥 ∝𝑥𝑥 𝑒 ∝𝑥 cos𝛽𝛽𝑥𝑥 | 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 𝑦 = 𝑒 ∝𝑥 𝑒𝑒 𝑒 ∝𝑥 ∝𝑥𝑥 𝑒 ∝𝑥 ( 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 cos𝛽𝛽𝑥𝑥 + 𝐶 2 𝐶𝐶 𝐶 2 2 𝐶 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑥𝑥) |
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Решение задач
1.Найти общее решение уравнения:
а) у'' = cos 2x
б) у'' = х
в) х у'' = х 𝟐 х х 𝟐 𝟐𝟐 х 𝟐 – 5
2. Учебник Валуцэ И.И. № 71, 74, 78, 81.
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Самостоятельная работа
1 вариант | 2 вариант |
№ 72, 82 | № 73, 79 |
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Проверка самостоятельной работы
1 вариант | 2 вариант |
72. У=С1 е −𝟐х е е −𝟐х −𝟐𝟐х е −𝟐х + С 𝟐 С С 𝟐 𝟐𝟐 С 𝟐 е −𝟒х е е −𝟒х −𝟒𝟒х е −𝟒х | 73. У=С1 е 𝟕х е е 𝟕х 𝟕𝟕х е 𝟕х + С 𝟐 С С 𝟐 𝟐𝟐 С 𝟐 е 𝟐х е е 𝟐х 𝟐𝟐х е 𝟐х |
82. у= е 𝟐х е е 𝟐х 𝟐𝟐х е 𝟐х (С1 cos 2x +C2 sin 2x) | 79.y= (C1 + C2) 𝒆 −𝟕𝒙 𝒆𝒆 𝒆 −𝟕𝒙 −𝟕𝟕𝒙𝒙 𝒆 −𝟕𝒙 |
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Историческая справка по применению дифференциальных уравнений
При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений, ученым удается составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса. Дифференциальные уравнения играют большую роль в деле изучения природы и различных физических, химических и других процессов.
Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения, открытие планет.
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Открытие планеты Нептун
Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не сомневались в «правильности» математики. В середине 19 века французский астроном Леверье и английский астроном Джон Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать ее на небе. Точно в указанном месте эта планета (её назвали НЕПТУН) была затем обнаружена. О ней говорят, что она открыта «на кончике пера» (путем вычислений).
Астроном Джон Адамс
Математик Урбен Леверье
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
ЛИТЕРАТУРА
Дадаян А.А. Математика: Учебник: - 3-е изд.. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2013.
Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян «Практикум по высшей математике». – Ростов-на-Дону, Феникс, 2014.
Электронная поддержка урока: Авторская презентация «Дифференциальные уравнения второго порядка».
Урок и презентация на тему: "Дифференциальные уравнения второго порядка"
Подведение итогов
Таким образом, мы видим, что в теории дифференциальных уравнений математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе. Второй особенностью теории ДУ является ее связь с другими разделами математики. Она как бы находится на перекрестке математических дорог. Некоторые большие и важные разделы математики были вызваны к жизни задачами теории ДУ.
Домашнее задание: № 75, 77, 80.
Самооценка
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
