«Решение задач на погашение кредита равными долями»

«Решении задач на погашение кредита равными долями»

«Гениальность – это один процент вдохновения и девяносто девять – работы»
Томас Эдисон

Разработала: учитель математики
Муниципальной бюджетной гимназии №19 города Орла
Снегирева Елена Владимировна

1% - это
За 100% принимаем ту величину,

Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:

1) Число a составляет p% от числа в:

a = 0,01bp

2) Число а увеличили на p%:

a·(1+0,01p)

3) Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%:

a·(1+0,01p)·(1+0,01q)

4) Число а уменьшили на p%:

a·(1 - 0,01p)

5) Число а уменьшили сначала на p%, а потом еще на q%:

a·(1-0,01p)·(1-0,01q)

0,01

с которой сравниваем

а) Сберегательный банк начисляет на срочный вклад  16% годовых. Вкладчик   положил на счет 800 рублей. Сколько рублей будет на этом счете через год, если  никаких операций со счетом проводиться не будет?
Применим формулу: число а увеличили на p%: a·(1+0,01p)
a=800, p=16
800·(1+0,01 ·16)=800 ·1,16=928( руб) будет на счете через год.
б) Покупатель приобретает пылесос, цена которого 3000 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с купюры 5000 рублей, если ему предоставят скидку 5 %?
Применим формулу: число а уменьшили на p%: a·(1 - 0,01p)
a=3000, p=5
1) 3000·(1-0,01 ·5)= 3000 ·(1-0,05)=3000·0,95=2850 (руб) –стоит пылесос со скидкой
2) 5000-2850=2150 (руб)-сдача
в) В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 30%, во второй — на 45%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1400 р.?
Применим формулу:
число а уменьшили сначала на p%, а потом еще на q%: a·(1-0,01p)·(1-0,01q)
a=1400, p=30, q=45
1400·(1-0,01·30)·(1-0,01·45)=1400·( 1-0.3) ·(1-0,45)=1400·0,7·0,55=539 (руб)-стал стоить чайник.

Пусть So – первоначальная цена,
S – новая (окончательная ) цена.
Повышение цены на a% n раз на a%

Понижение цены на a% n раз на a%

Задача 2. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 5% и решил в течение 3 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 3 года.

Применим формулу: S= 𝑆𝑜·(1+0,01𝑎) 𝑛 𝑆𝑆𝑜𝑜·(1+0,01𝑎𝑎) 𝑆𝑜·(1+0,01𝑎) 𝑛 𝑛𝑛 𝑆𝑜·(1+0,01𝑎) 𝑛
𝑆𝑆𝑜𝑜=2000, 𝑎𝑎=5, n=3
S= 2000·(1+0,01·5) 3 2000·(1+0,01·5) 2000·(1+0,01·5) 3 3 2000·(1+0,01·5) 3 = 2000·(1,05) 3 2000·(1,05) 2000·(1,05) 3 3 2000·(1,05) 3 =2315,25 (руб) будет на счете через 3 года

S= So· (1+0,01a)

S= So·(1+0,01a) 𝑛 So·(1+0,01a) So·(1+0,01a) 𝑛 𝑛𝑛 So·(1+0,01a) 𝑛

S= So· (1-0,01a)

S= So·(1−0,01a) 𝑛 So·(1−0,01a) So·(1−0,01a) 𝑛 𝑛𝑛 So·(1−0,01a) 𝑛

Часть экономических задач можно решить универсальным способом — с помощью составления таблицы, которая позволит упорядочить данные по временным интервалам.
Для всех типов задач при составлении таблицы используется единый алгоритм.

Задачи на равные платежи по кредиту

В задачах этого типа заёмщик всегда вносит равные суммы.

При решении подобных задач надо следовать ряду советов:

Не торопитесь сразу в ходе решения использовать числовые данные задачи. Решите задачу в общем виде.
Заполняйте таблицу построчно.
Проценты переводите в десятичную дробь.
Используйте повышающий коэффициент Z=1+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝒓𝒓 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒓 𝟏𝟎𝟎

Пусть Р рублей – сумма взятого кредита,
х рублей – выплаты по кредиту,
r – проценты по кредиту.
Если мы берем кредит в размере P рублей под r% годовых сроком на n лет и выплачиваем банку одинаковые суммы, равные x, то по истечении одного года :
1)Сначала долг увеличивается на r% : z·P , где z = 1+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝒓𝒓 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒓 𝟏𝟎𝟎 2) Мы выплачиваем часть долга, равную x : (z·P – x) ;
Проходит еще один год:(z·P – x) ·z– x)
И так далее, пока долг не станет равен 0.

Заполним таблицу выплаты кредитаза 3 года равными платежами х :

Пусть Р рублей – сумма взятого кредита,
x рублей – ежегодные выплаты по кредиту;r – проценты по кредиту»
z = 1+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝒓𝒓 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒓 𝟏𝟎𝟎 Р=3640000 рублей,
r=20%
z=1,2

«В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 640 000. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей сверх взятой суммы кредита будет выплачено банку, если планируется полностью погасить кредит тремя равными платежами?»
Решение:
z3 P –z2 х – zх – x = 0
z3 P= z2 х + zх +x

z3 P= х· (1+z+z²)
Подставив известные данные в формулу, получим:

Р·1,2³=х· (1+1,2+1,2²)Данное выражение (1+1,2+1,2²) является суммой трех первых членов геометрической прогрессии, где







b 1 b b 1 1 b 1 =1 , q= 1,2

Тогда S 3 S S 3 3 S 3 = 1·(1,2³−1) 1,2−1 1·(1,2³−1) 1·(1,2³−1) 1,2−1 1,2−1 1·(1,2³−1) 1,2−1 =3,64

Так как Р·1,2³=х· (1+1,2+1,2²), то
x = Р·1,2³ (1+1,2+1,2²) Р·1,2³ Р·1,2³ (1+1,2+1,2²) (1+1,2+1,2²) Р·1,2³ (1+1,2+1,2²) => x= Р·1,2³ S 3 Р·1,2³ Р·1,2³ S 3 S 3 S S 3 3 S 3 Р·1,2³ S 3 
P= 3 640 000 рублей

x= 3 640 000·1.2³ 3.64 3 640 000·1.2³ 3 640 000·1.2³ 3.64 3.64 3 640 000·1.2³ 3.64 = 1 728 000 (рублей) –ежегодная выплата.

1 728 000· 3= 5 184 000 (рублей) –выплаты за 3 года.
5 184 000 - 3 640 000 = 1 544 000 (рублей) –переплата по кредиту за 3 года.
Ответ: 1 544 000 рублей.

«Взяли кредит 177 120 рублей в банке на четыре года под 25% годовых и выплатили четырьмя равными платежами.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?»
Решение:
Пусть Р рублей- общая сумма кредита, х рублей – ежегодные выплаты по кредиту.
Z=1 + 𝑟 100 𝑟𝑟 𝑟 100 100 𝑟 100 , где r – процент по кредиту.
((((Р·Z-x) ·Z-x) ·Z-x) ·Z-x)=0
P·Z⁴ = x· ( Z³ + Z² +Z +1)
Выражаем х : x = 𝑃·𝑍⁴ 𝑍³ + 𝑍² +𝑍 +1 𝑃𝑃·𝑍𝑍⁴ 𝑃·𝑍⁴ 𝑍³ + 𝑍² +𝑍 +1 𝑍𝑍³ + 𝑍𝑍² +𝑍𝑍 +1 𝑃·𝑍⁴ 𝑍³ + 𝑍² +𝑍 +1 ,
Где ( Z³ + Z² +Z +1)- сумма первых 4-ех членов геометрической прогрессии.
S4= Z⁴−1 Z−1 Z⁴−1 Z⁴−1 Z−1 Z−1 Z⁴−1 Z−1 , => x= (P·Z⁴ ) ·(Z−1) Z⁴ −1 (P·Z⁴ ) ·(Z−1) (P·Z⁴ ) ·(Z−1) Z⁴ −1 Z⁴ −1 (P·Z⁴ ) ·(Z−1) Z⁴ −1
По условию задачи Р= 177 120 рублей, Z = 1.25 х= (177 120·1.25⁴ ) ·(1.25−1) 1.25⁴ −1 (177 120·1.25⁴ ) ·(1.25−1) (177 120·1.25⁴ ) ·(1.25−1) 1.25⁴ −1 1.25⁴ −1 (177 120·1.25⁴ ) ·(1.25−1) 1.25⁴ −1
Отсюда x=75 000 рублей , а общая сумма выплат за 4 года равна 4·x= 300 000 (рублей)Ответ: 300 000 рублей.