Урок математики "Решение целых уравнений" 9 класс

Урок математики в 9 классе

Тема урока: « Решение целых уравнений»

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. (1 слайд)
2. Актуализация знаний.

-О каких уравнениях мы вели речь на предыдущих уроках? ( О целых уравнениях)

-Какие уравнения называются целыми? (Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.)

Внимание на экран (2 слайд) Какие из уравнений не являются целыми? Почему ?

2. х²=0
3. 2х²-6х⁵+1=0
4. -  =5
5. + 3х = 18
6. х( х – 1)(х – 2) =0
7. = 0
8. х³ – 25х = 0
9. х² = 49

- Как определяется степень уравнения? (Если уравнение с одной переменной, записано в видеР(х) = о, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения видаР(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.)

Внимание на экран (3 слайд) Определите степень уравнения. Дайте ответ и прокомментируйте его.

1.   7х⁵ – 5х⁴ +2 = х (5)

2.   6х⁷ + 6х⁴ -3х² +1 = х + 2 (7)

3.   -11х + 79х² = 17 (2)

4.   х⁵ + 3х⁶ – х³ + 1 = 0 (6)

5.   (х + 4)(х – 7)(х + 8) = 0 (3)

6.   (5 – х)(х + 5) + х(х – 10) (1)

7.   х² (х + 4) –(х – 2)(х² +1) = 3 (2)

8.   (х³ – 2)(3х² + 1) – 3(х⁵ – 2) = 4 (3)

- Сколько корней может иметь каждое целое уравнение п- й степени? (Уравнение п- й степени имеет не более п корней.)

3. Основная часть урока.

Рассмотрим известные вам способы решения целых уравнений. Какие способы вы знаете?1)уравнения, приводимые к линейным и квадратным

2) разложение на множители

3) Введение новой переменной

4) биквадратные уравнения)

Внимание на экран: (4 слайд) Каждый из вас решит одно уравнение и затем объяснит остальным ход его решения. При решении можете пользоваться учебниками, записями предыдущих уроков.

Способы решения целых уравнений

Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2)² = 10

Разложение на множители

х³ – 3х = 3,5х²

Введение новой переменной (х² +2х)² – 2(х² + 2х) – 3 = 0

Биквадратные уравнения х⁴ -13х² + 36 = 0

Внимание на экран, проверим решение ваших уравнений.

(5 слайд) Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2)² = 10

36х² – 12х + 3х – 1 – 36х² – 24х – 4 = 10

- 33х – 15 = 0

-33х = 15

х = 

Ответ: х = 

(6 слайд) Разложение на множители

х³ – 3х = 3,5х²

х³ – 3х - 3,5х² = 0

х(х² -3 -3,5х) = 0

Х₁ = 0 и х² -3,5х -3 – 0

Д = (-3,5)²- 4*1*(-3) = 12,25 - 12 = 0,25

Х₂ =  = 2

Х₃ = = 1,5

Ответ: Х₁ = 0 ; Х₂ = 2; Х₃ = 1,5

(7 слайд) Введение новой переменной

(х² +2х)² – 2(х² + 2х) – 3 = 0 Пусть (х² + 2х) = у, тогда

у² – 2х – 3 = 0

Д = (-2)² – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

У₁ =  = 3

У₂ =  = -1

(х² + 2х) = 3 (х² + 2х) = -1

х² + 2х- 3 = 0 х² + 2х +1 = 0

Д = 2² – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16 Д = 2² – 4*1*1 = 4 – 4 = 0

х₁ =  = 1 х₃ =  = -1

х₂ =  = -3

Ответ: Х₁ = 1 ; Х₂ = -3; Х₃ = -1

(8 слайд) Биквадратные уравнения

х⁴ -13х² + 36 = 0 Пусть х² = у, тогда

у² – 13у +36 = 0

Д = (-13)² – 4*1*36 = 169-144 = 25

У₁ =  = 9

У₁ =  = 4

х² = 9 х² = 4

х₁ = 3 х₂ = -3 х₃ = 2 х₄ = -2

Ответ: Х₁ = 3 ; Х₂ = -3; Х₃ = 2; Х₄ = -2;

4. Самостоятельная работа. Самостоятельная работа состоит из двух частей: обязательного минимума и дополнительных заданий, так же она предполагает два уровня сложности. Подумайте, какой вам уровень выбрать и приступаем к решению. (9 слайд)

1 уровень

2 уровень

Основная часть

Основная часть

1.   Реши уравнения

а) (5 – х)(5 + х) + х(х – 10) = 25

б) 9х³ – 27х² = 0

в) (х – 7)² – 4(х – 7) – 45 = 0

г) х⁴- 5х² + 4 = 0

1.   Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а)  +  = 1

б) х³ – 4х² – 9х + 36 = 0

в) (х² – х + 1)(х² – х -7) = 65

г) х⁴ + 9х² + 8 = 0

Дополнительное задание

Дополнительное задание

Найди координаты точек пересечения функции у = х² – 26х + 25 с осью ОХ

Найди координаты точек пересечения функции у = 12 – 23х – 9х² с осями координат

- Закончили выполнение задания, поменяйтесь с учащимися с тем же вариантом и проверим друг у друга решения, сверяясь с ответами на доске. (10 слайд)

1 уровень

2 уровень

Основная часть

Основная часть

2.   Реши уравнения

а) х = 0

б) х₁ = 0, х₂ = 3

в) х₁ = 16, х₂ = 2

г) х₁ = 2, х₂ = -2, х₃ = 1, х₄ = -1

2.   Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) х = 

б) х₁ = 4, х₂ = -3, х₃ = 3

в) х₁ = 4, х₂ = -3

г) корней нет

Дополнительное задание

Дополнительное задание

Функция у = х² – 26х + 25 пересекается с осью ОХ в точках с координатами (25;0) и (1;0)

Функция у = 12 – 23х – 9х² пересекается с осью ОУ в точке с координатами (0;12)

с осью ОХ в точках с координатами (; о) и (-3; 0)