Урок по теме Вероятность событий

Конспект по теме: Вероятность события.

Устно:

1). Из спортсменов А, Б, В, Г, Д и Е выбирается пара для участия в соревнованиях по теннису. Сколько существует способов выбора этой пары?

2). На плоскости отмечены 10 точек, причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из них проведена прямая. Сколько проведено прямых?

3). Сколько диагоналей имеет выпуклый двенадцатиугольник?

4). Сколькими способами можно упаковать 17 различных книг в две пачки, по 8 и по 9 книг в каждой?

ВИДЫ СОТИЙ.

        Запишите в тетрадь Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.   Результат испытания есть событие.

Есть события, которые непременно происходят и не от чего не зависят: смена времён года, смена времени суток. Но есть события, которые зависят от случая, их невозможно предсказать заранее. Например: выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, поражение мишени или промах в результате выстрела, проигрыш, выигрыш или ничья в какой-либо игре и т.д.

    Запишите в тетрадь Определение. Событие, которое в процессе  испытания  может произойти или не произойти, называется случайным событием.

Попробуем определить число возможных исходов.

ЗАДАНИЕ 1. Назовите  множество исходов для следующих испытаний.

а) В урне четыре шара с номерами два, три, пять, восемь. Из урны наугад извлекают один шар. б) В копилке лежат три монеты достоинством в 1 рубль, 2 рубля, и 5 рублей. Из копилки достают одну монету. в) В доме девять этажей. Лифт находится на первом этаже. Кто-то из жильцов дома вызывает лифт на свой этаж. Лифтовый диспетчер наблюдает, на каком этаже лифт остановится.

ЗАДАНИЕ 2. Найдите количество возможных исходов.

а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная. б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число. в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку ; событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику.

        Запишите в тетрадь Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.
     Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

     ЗАДАНИЕ 3. Охарактеризуйте  события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные. Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем: а) задумано четное число; б) задумано нечетное число;  в) задумано число, не являющееся ни четным,  ни нечетным; г) задумано число, являющееся четным или нечетным.

ЗАДАНИЕ 4. В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие: а) из мешка вынули 4 шара и они все синие; б) из мешка вынули 4 шара и они все красные; в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета; г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного  цвета.

Задание 5.  Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное: а) летних каникул не будет; б) бутерброд упадет маслом вниз; в) учебный год когда-нибудь закончится

        Запишите в тетрадь Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из  них исключает появление другого, и совместными в противном случае.
     Два или несколько событий называются равновозможными в данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.

ЗАДАНИЕ 6. Охарактеризуйте события: События: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное- будут…….; События: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное……    

Операции над событиями.

    Запишите в тетрадь.  Два несовместных события, образующих полную группу событий в данном испытании, называются противоположными событиями. Если одно из них обозначено через A, то другое принято обозначать через  (читается «не A»)
   ЗАДАНИЕ7.1. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.

а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.

б) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.

в) На контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

Запишите в тетрадь.

   Определение:   Суммой, или объединением,  событий А и В называется событие, состоящее в том, что, происходит хотя бы одно из данных событий.   Сумма событий А и В  обозначается так: А + В
          Пример. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А состоит в выпадении 4 очков на 1 кости, а событие В – в выпадении 5 очков на другой кости. События А и В совместны. Поэтому событие А +В состоит в выпадении 4 очков на первой кости, или 5 очков на второй кости, или 4 очков на первой кости и 5 очков на второй одновременно.
     Пример. Событие А – выигрыш по 1 займу, событие В – выигрыш по 2 займу. Тогда событие А+В – выигрыш хотя бы по одному займу (возможно по двум сразу).
    Запишите в тетрадь

 Определение. Произведением или пересечением  событий А и В называется событие, которое считается наступившим тогда и только тогда, когда наступают оба события А и В. Произведение  событий  А и В обозначается так: А *В.
          Запишите в тетрадь

События А и В называются равными, если каждое из них происходит тогда и только тогда, когда происходит другое событие.

Классическое определение вероятности

     Вероятность события – численная мера возможности его наступления.
     Событие А называется благоприятствующим событию В, если всякий раз, когда наступает событие А, наступает и событие В. Обозначим какое – либо событие буквой A. Вероятность события обозначается большой латинской буквой P(А)
Запишите в тетрадь

Определение: Вероятностью P(А)  события А в опыте с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов   m благоприятствующих событию А, к числу   n  всех возможных исходов.  .

     Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
     1. Вероятность достоверного события равна единице.
        2. Вероятность невозможного события равна нулю.
    3. Вероятность случайного события есть положительное число,  заключенное между нулем и единицей.      0 ≤ P(A) ≤ 1. 

    Образец выполнения задачи:

Задача 1. В лотерее из 100 билетов имеются 3 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n=100. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=3. Согласно формуле, получим,  Р (А) = =0,003.

Выполни по образцу:

      Задача 2. . В лотерее из 90 билетов имеются 4 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

       Задача3.

      В урне 5 белых и 10 черных шаров. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
Задача 4. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Задача 5.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

3стр

Образец Задача 7. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Общее число возможных исходов

А={все три тетради в наборе – в клетку}.

Выполни по образцу:

Задача 8. В ящике лежат 1 белый и три черных шара. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара.

Задача 9 Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:  обе они согласные;

Задача 10. В урне 8 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

1 ВАРИАНТ

№1.. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым?

№2. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 белых, 3 красных и 5 синих. Наугад вынимаются два шара. Найдите вероятность событий: а) В – оба шара красные;

       № 3. Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта?

2 ВАРИАНТ.

№1. В урне 10 белых, 4 чёрных и 6 жёлтых шаров одинакового размера. Из урны достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется: а) белым;  б) чёрным;     в) жёлтым;

№2. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 белых, 3 красных и 5 синих. Наугад вынимаются два шара. Найдите вероятность событий: а) С – оба шара синие.

№ 3. Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта?

ТЕСТ

1 вариант.

1.  Производится опыт – бросание игральной кости. Пусть события А – выпадение четверки, В – выпадение четного числа очков, С – выпадение нечетного числа очков, D – выпадение числа очков, меньше трех.  Выберите среди них пару совместных событий и пару равновозможных событий.

1)   А и В,  А и D       2) А и В, В и С         3) А и С, В и С               4) А и D, В и D

2.   В урне находится 5 белых и 3 черных шара. Наудачу извлекается 1 шар. Что вероятнее: извлечь белый или черный шар?

1)   белый      2) черный    3) вероятности одинаковые   4) данных задачи недостаточно

         3.  Монету бросили два раза. Образуют ли полную группу событий события:

w₁ – герб не выпал ни разу ; w₂ – герб выпал 1 раз; w₃  - герб выпал два раза.

1) образуют     

2) не образуют, так как есть попарно совместные события

3) не образуют, так как события не единственно возможны

4)  не образуют, так как  может наступить не только одно из этих событий.

4.  Брошена игральная кость. Какие исходы этого опыта будут благоприятствовать наступлению события А – выпадению четного числа очков.

1) выпадение 1, 2, 3;  2) выпадение   2, 4, 6; 3) выпадение  3, 4, 5, 6  4)  выпадение 4, 5, 6

5. Чему равна вероятность  наступления события из задания №4.

1) ; 2) ; 3) ;   4)

6.  Какой комбинаторный объект рассчитывается по формуле:

1) число сочетаний без повторения            2) число сочетаний с повторениями

3)  число размещений без повторений       4)  число размещений  с повторениями

7.  По какой формуле находится число сочетаний с повторениями

1)   2)   3)      4) 

8.  С помощью какой комбинаторной формулы можно рассчитать количество способов, которыми можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?

1) число сочетаний без повторения            2) число сочетаний с повторениями

3)  число размещений без повторений       4)  число размещений  с повторениями

9. С помощью какой комбинаторной формулы можно рассчитать количество 5-значных  чисел, которые можно составить из цифр 2, 5, 7, 8

1) число сочетаний без повторения            2) число сочетаний с повторениями

3)  число размещений без повторений       4)  число размещений  с повторениями

10. С помощью какой комбинаторной формулы можно рассчитать количество 5-значных  чисел, которые можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?

1)              2)          3)                4)

2 вариант.

1.  Производится опыт – бросание игральной кости. Пусть события А – выпадение четверки, В – выпадение четного числа очков, С – выпадение нечетного числа очков, D – выпадение числа очков, меньше трех.  Выберите среди них пару несовместных событий и пару равновозможных событий.

1)   А и В,  А и D       2) А и В, В и С         3) А и С, В и С               4) А и D, В и D

2.   В урне находится 5 белых и 5 черных шара. Наудачу извлекается 1 шар. Что вероятнее: извлечь белый или черный шар?

1)   белый         2) черный      3) вероятности одинаковые    4) данных задачи недостаточно

3.  Монету бросили два раза. Образуют ли полную группу событий события:

w₁ – решка выпала один раз; w₂ – решка выпала два раза

1) образуют; 2) не образуют, так как есть попарно совместные события

3) не образуют, так как события не единственно возможны

4.  Брошена игральная кость. Какие исходы этого буду благоприятствовать наступлению события А – выпадению числа очков, не менее трех.

1) выпадение 1, 2, 3;  2) выпадение   2, 4, 6; 3) выпадение  3, 4, 5, 6;  4)  выпадение 4, 5, 6

5. Чему равна вероятность  наступления события из задания №4.

1) ; 2) ; 3) ;4)           

   6.  Какой комбинаторный объект рассчитывается по формуле:

1) число сочетаний без повторения            2) число размещений без повторений

3) число сочетаний с повторениями          4)  число размещений  с повторениями

7.  По какой формуле находится число размещений с повторениями

1)   2)   3)      4) 

8.  С помощью какой комбинаторной формулы можно рассчитать количество способов, которыми можно выбрать 1 красной и 2 розовых гвоздик из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?

1) число сочетаний без повторения            2) число сочетаний с повторениями

3)  число размещений без повторений       4)  число размещений  с повторениями

9. С помощью какой комбинаторной формулы можно рассчитать количество 5-значных  чисел, которые можно составить из цифр 2, 1, 9

1) число сочетаний без повторения            2) число сочетаний с повторениями

3)  число размещений без повторений       4)  число размещений  с повторениями

10. С помощью какой комбинаторной формулы можно рассчитать количество способов, которыми можно распределить 15 выпускников распределить по направлению по 3 районам, если в 1 район имеется 8 вакантных мест, во второй -  5 вакантных мест, в третий – 2 вакантных места.

1)              2)          3)                4)