Урок математики "Тригонометрические уравнения"(10класс)

Тригонометрические уравнения                           (Открытый урок, 10а класс)  Учитель математики ­ Гумарова Г.Н Эпиграф к уроку: «Кто смолоду делает и думает сам, тот становится потом надёжнее, крепче, умнее»     В. Шукшин. Цели урока: ­обучающая: подготовить учащихся к контрольной работе по теме: «Тригонометрические  уравнения»;  ­развивающая: формировать умения четко и ясно излагать свои мысли , способствовать  формированию умений применять полученные знания, развивать математическую речь; ­воспитательная: воспитывать познавательный интерес, любознательность, активность,  аккуратность при выполнении заданий.  Тип урока: систематизация и обобщение знаний.  Ход урока: 1 Организационный момент:  Приветствие, объявление темы и целей урока. 2 Повторение теоретического материала: Обобщение и систематизация знаний а) ­ Вспомним определение тригонометрических функций числового  аргумента   (Выступление ученика с заранее подготовленной информацией о  тригонометрических функциях, включая, кроме основных, тригонометрические  функции секансx и косеканс x); б) ­ «Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов», ­ говорил  Луи Пастер. ­ Итак, необходимо тренировать ум , и счастливый билет вам обеспечен.   Изучив   эту   тему   вы   узнали   новые   математические   термины   ­арксинус,   арккосинус, арктангенс, арккотангенс.  Дать определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. На доске появляются записи:Если │а  ≤ 1,   │ то аrcsin a= t         sin t  2    2       аrctg a= t      a a      tgt  2    2  Если │а  ≤ 1,   │ то аrccos a= t             аrcctg a= t     t  cos a  0      ñtgt a 0      Далее повторить, что то аrcsin(­ a)= ­ аrcsin a ,  аrccos(­ a)= ­аrccos a,  аrctg (­a)= ­аrctg a,  аrcсtg (­a)=­ аrcсtg a. 3.  Отработка теоретического материала: Вычислить устно: 1) аrccos  ;               6) аrcctg  ; 3 1 2                                  2) аrccos0;                7) аrccos(tg );  4                                 3) аrcsin1;                 8) аrcsin  + аrcsin(­ 3 2 ); 2 2                                 4) аrcctg (­1);            9)tg(arcsin(­ )); 2 2                                 5)sin(arcsin );         10) аrccos 1 5   +  аrccos(­ 3 2 ). 3 2 Какие уравнения называются тригонометрическими? Какие уравнения относятся к простейшим тригонометрическим? Вспоминаем формулы для решения простейших тригонометрических уравнений в общем  виде:cosx=a,  x= аrccosa +2n, │а  ≤ 1│   tgx=a,  x=arctga  + n,          sinx=a, x=(­1)n аrcsina +n, │а  ≤ 1│ ctgx=a,  x=arcctga  + n.Записать частные случаи  для решения уравнений:  sinx=0, х=n;      sinx=1,  х=  + 2 n;      sinx=­1,  х=­  + 2 n.        2  2 сosx=0, х=   2  + n;    cosx=1,  х= 2 n;      cosx=­1,  х= + 2 n.     4.Решение простейших  тригонометрических уравнений: ) =­1  Что можно сказать про это уравнение?(это частный случай)  1)   cos(х+  3 На что в первую очередь можно обратить внимание в этом уравнении? 2) tg(­3х) =­ 1 3 (  tg(­3х)=­ tg3х)   3) 2 cos( ­х)= 3 3 2 .     А здесь какая особенность  уравнения?(cos( ­х)=­sin х)  3 2 4) Найдите корни уравнения на заданном промежутке: 3ctgx­  =0,   x[­;]. 3 Решив уравнение, получим: х= +  n , х=   3  3 принадлежит этому промежутку.  единственный корень, который  5. Основные методы решения тригонометрических уравнений: 1) 2cos ²x  ­ 3 cosх + 1=0 Какой метод нужно применить для решения этого уравнения? (Метод введения новой переменной:  cosх=t) Получим уравнение: 2t² ­ 3t +1=0 Решив это уравнение и вернувшись к замене, получим совокупность двух уравнений    cosх=1;  cosх= .     Ответ: 2n;   + 2n, n .    3 1 22) cosх + 3 cosх sinx=0. Какой метод нужно применить для решения этого уравнения? (Метод  разложения на множители) cosх(1+3 sinx=0)=0,  cosх = 0  или    1+3 sinx=0.   Ответ:   + 2 n; (­1)n   arcsin  + n, n .  1 3  2 3) 2cos ²x   + 5 sinx  ­ 4=0. Решение.   Заменим cos ²x=(1­ sin²x).  Получим уравнение  2sin²x ­5 sinx  + 2=0. Применим метод введения новой переменной  sinx = t . Получим уравнение: 2t² ­ 5t +2=0 Решив это уравнение и вернувшись к замене, получим совокупность двух уравнений    sinx = 1 2 ;   sinx=2; (это уравнение корней не имеет). Ответ: (­1)n  + n, n .   6 6. Однородные тригонометрические уравнения: На столе у детей раздаточный материал с алгоритмом  решения однородных  тригонометрических уравнений.   sin4x + cos4х =0 и выделить те корни, которые принадлежат  1)  Решить уравнение    3 интервалу (­; 4). Это однородное уравнение первой степени, разделив обе части уравнения почленно на  cos4х, получим tgх=­ ;  х=­  + n.  6 1 3Осталось из найденной серии решений выбрать те корни, которые принадлежат интервалу.  Можно осуществить перебор по параметру n, а я вам покажу еще один прием. ­ <х < 4,    ­ <­  + n < 4,   ­1 <­  + n < 4,  ­  <  n < 4 , 1 6 5 6 1 6  6 Значит n=0,1,2,3,4. Подставить в решение уравнения,  найденные n, тем самым найдем нужные корни. Ответ: ­ ;   ;  ;  ;  . 23 6 17 6 11 6 5 6  6 2) sin²(2­3x) + 5sin(­3х) cos3х + 4 sin²( ­3х)=0. 3 2 Учитывая формулы приведения, получим sin²3x + 5sin3х cos3х + 4 sin²3х=0. Это однородное уравнение второй степени, решаем по алгоритму Ответ: ­  +  , ­ 1 3  3 n  12 аrctg4 + , n .   3 n 7. Подведение итогов урока.  1. Выставление отметок.  2. Рефлексия ­ Что нового вы узнали на уроке? ­ Каким образом можно интерпретировать эпиграф, подобранный к нашему уроку? ­ На каком качественном уровне вы подготовлены к решению тригонометрических  уравнений? ­ Каждое тригонометрическое уравнение – это загадка, и озарение по его решению  приходит к тем, кто готов к нему, кто вооружён знанием формул, способов и методов  решения, то есть «Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» Луи Пастер