Урок-проблематизация на тему «Сумма n первых членов арифметической прогрессии» (9 класс, математика)

Урок­проблематизации на тему «Сумма n первых членов арифметической прогрессии» Учитель математики МБОУ СОШ № 49 г. Тоска  Николаева  Светлана Леонидовна Предмет: Алгебра Тема: Сумма n первых членов арифметической прогрессии Контингент учащихся: 9 класс Время проведения, общая продолжительность: 2 академических часа. Оборудование и материалы: доска, экран, проектор, компьютер, раздаточный материал, лист самооценки. Тип урока: урок изучения нового материала. Основная форма проведения занятия: комбинированный урок. Методы и приемы обучения: фронтальная работа, групповая работа, ИКТ. Средства ИКТ для реализации данного вида учебной деятельности: презентация. Цель учебного занятия:  создать условия: для выведения формул суммы n первых членов арифметической прогрессии и взаимообучения ее применения на основе СД по формированию гипотез;   организовать взаимодействие в проблемной группе в процессе совместной учебной деятельности;  формировать умения целеполагания. Задачи: Образовательные  (формирование познавательных УУД): создавать модели и схемы для решения задач, решая учебную проблему; строить логическое   рассуждение, включающее установление причинно­следственных связей на основе выдвижения гипотез; воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):    формирование умения слушать и вступать в диалог; формирование внимательности и аккуратности в вычислениях; воспитание чувства взаимопомощи, уважительного отношения к чужому мнению, культуре учебного труда, требовательного отношения к себе и своей работе;  формирование коммуникативных УУД на основе СД в группе:  формулировать собственное мнение и позицию, аргументировать свое мнение, сравнивать разные точки зрения перед высказыванием общего мнения, оказывать необходимую помощь в сотрудничестве;  формирование действий  целеполагания  в сфере регулятивных УУД:   постановка общей цели, разработка общего способа (плана) реализации цели через координацию других позиций, оценка деятельности;  формирование личностных УУД в рамках деятельностного компонента: самооценка, устойчивый познавательный интерес. Предметные умения Знают определение  арифметической  прогрессии, характеристические  свойства арифметической прогрессии,  формулы п­го члена арифметической  прогрессии, формулы для нахождения  суммы п первых членов  арифметической прогрессии, Уметь применять теоретические  знания для решения основных типов  заданий по теме. Ожидаемые результаты Метапредметные  Регулятивные УУД:   целеполагание ­ как способность соотносить то, что уже известно и усвоено, и то, что еще неизвестно; планирование ­ как   определение   последовательности   промежуточных   целей   с   учетом конечного результата; оценка ­ как выделение и осознание того, что уже освоено и что еще подлежит усвоению; осознание качества и уровня усвоения;  Коммуникативные   УУД: включаемость   в   коллективное   обсуждение вопросов, постановка вопросов, умение слушать и вступать в диалог, инициативное   сотрудничество   в   поиске   и   сборе   информации,   умение аргументировать свою точку зрения Познавательные   УУД: выделение   и   формулирование   познавательной цели,   поиск   и   выделение   необходимой   информации,   выбор   способа действия, умение осознанно применять полученные знания на практике, умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме. Личностные Стремление к саморазвитию, проявление познавательного  интереса к изучению  предмета, формирование  самооценки. . Структура и ход урока “Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии”. Этап урока Деятельность учителя Деятельность учеников 1. Организационны й момент Приветствие, организация  внимания детей, создание  условий на дальнейшую  положительную  деятельность. Включаются в деловой  ритм урока. Врем я  (в мин) 5 Познавательные / специально­предметные Формируемые УУД Личностные Регулятивные Коммуникативные Мотивация учения Организация   своей учебной деятельности Планирование  учебного  сотрудничества с  учителем и  сверстниками. 2.Актуализация знаний 3. Мотивация  учебной  деятельности  учащихся. Предлагает ученикам  сформулировать вопросы  по теме «Числовые  последовательности.  Арифметическая  прогрессия», задать свои  вопросы другим группам,  оценить правильность  ответов. Контролирует работу  учащихся, дает  рекомендации. 7 7 Проверяют и  корректируют свои  теоретические знания по  теме «Арифметическая  прогрессия»: задают  вопросы друг другу,  слушают ответы,  дополняют. Решают в группах задачи  прикладного характера,  проверяют свои  практические знания по  теме «Арифметическая  прогрессия». Поиск и выделение  необходимой  информации. Анализ.  Умение общаться со сверстниками,  высказывать и  отстаивать свою  точку зрения. Применение  теоретических знаний на  практике. Умение общаться со   сверстниками, высказывать   и отстаивать   свою точку зрения. 4. Постановка  проблемной  Создает проблемную  ситуацию через задачу  Решают задачи  прикладного характера  10 Выделение необходимой  информации. Выделение  Определение личностной Умение слушать и  вступать в диалог.  Умение выражать  свои мысли. Владение речью. Умение вступать в  диалог, участвовать в  коллективном  обсуждении вопроса. Постановка вопросов, организация   Проверять результаты вычислений, адекватно воспринимать указания   на   ошибки и исправлять найденные   ошибки, оценивать собственные   успехи в   вычислительной деятельности. Контроль и  коррекция задачи  (Целеполагание). прикладного характера.  Рассказывает  математическую легенду о  Гауссе. 5. Работа в  проблемных  группах. Контролирует   осознание учащимися   своей   УД (учебной деятельности). на нахождение суммы n  первых членов  арифметической  прогрессии.  Формулируют  проблемный вопрос  урока. Создают   свою   учебную деятельность   при   СД   в группе:  1) формулируют  цель групповой работы; 2) (способов) достижения  цели; 3) доказательство гипотез; 4) формулируют  выводы  подтверждающие, или  опровергающие гипотезу; 5) само оценивают  результаты  индивидуальной и  групповой деятельности. реализуют план и  составляют план Комментирует, направляет работу учащихся 5. Решение задач  на нахождение  суммы n первых  членов  арифметической  прогрессии 6. Представление  результатов  групповой  работы. Контролирует  правильности  представления  деятельности. Решение задач на  нахождение суммы n  первых членов  арифметической  прогрессии. Один ученик на доске, а остальные в  тетради выполняют  задания. Представитель каждой  группы представляет  результаты работы  группы перед классом. 15 7 10 существенных  характеристик объекта,  установление  закономерности и  использование ее при  выполнении задания.  Выбор способов решения.  Вывод формулы, выбор  способов ее использования  при решении  нестандартных задач. ценности изучаемых понятий. Формирование ответственности за   выполненную работу. отклонений от  собственного  понимания. Оценка  осознания  усвоенного. Планирование своей  деятельности для  решения  поставленной задачи  и контроль  полученного  результата.     и Выделение формулирование познавательной цели, рефлексия   способов   и условий действия. Анализ объектов и синтез. Осуществление самоконтроля. Жизненное, личностное, профессиональное самоопределение. Планирование   своей деятельности   для решения поставленной   задачи и контроль полученного результата   взаимопроверки выполненной работы.       Организация групповой   работы таким образом, чтобы было наиболее эффективное решение   проблемы, определение   цели   и функции всех участников   группы, создание условия для сотрудничества   при контроль, СД: коррекция,   оценка деятельности   членов группы;   добиться того,   чтобы   каждый член   группы   смог предъявить   результат работы. Умение   слушать   и вступать   в   диалог. Коллективное обсуждение   проблем (при необходимости) Организация системы   проб своих возможностей. Развитие деятельности.   речевой 7. Выступление  оппонента. Задаёт вопросы и  корректирует ответы. Анализирует результаты  групповых работ,  задает  7 Умения   информацию. сопоставлять Вносить   коррективы выполнение в   Умение  слушать   и понимать   партнера, вопросы, определяет  степень обоснованности  выводов, делает вывод о  соответствии полученных результатов, дает  рекомендации и советы  выступающим, обсуждает возражения. Выполняют решение  задачи 3* в тетради,   анализируют свою  работу. Эксперты проставляют в  лист контроля баллы,  набранные на  уроке за  групповую работу.  Анализируют регулятивные  и частично  коммуникативные умения.  Записывают домашнее  задание в зависимости от  уровня освоения темы.  Рефлексируют, сдают  листы самооценивания. 5 10 7 8. Решение задач  на нахождение  суммы n первых  членов  арифметической  прогрессии(практ ическая проверка метода). 9. Подведение  итогов  урока.  Анализ работы  групп  экспертами. Комментирует, направляет работу учащихся.  Выявляет качество и  уровень усвоения знаний, а также устанавливает  причины выявленных  ошибок. Подводит итоги работы  класса в целом. Задает разноуровневое  домашнее задание 10. Рефлексия. Проводит рефлексию,  анализирует. действий. развитие деятельности.   речевой Моделирование   решения в   новых   условиях. Решение учебной задачи в зависимости от   условий. конкретных оценка Адекватная информации. /   Решать задачи   в   видоизмененной ситуации.     Определение личностной   и профессионально й ценности изучаемых понятий.     учебной на Решение задачи   неизученных условиях,    в Участие коллективном обсуждении   проблем, продуктивное взаимодействие сотрудничество   и Формирование уважительного, доброжелательно го   отношения   к другому человеку   и   его мнению. Оценка промежуточных результатов   и саморегуляция   для повышения мотивации   учебной деятельности   Умение   отображать   в речи содержание совершаемых действий, как в форме громкой социализированной речи,   так   и   в   форме внутренней речи. Рефлексия   результатов своей   деятельности   на уроке Формирование уважительного, доброжелательно го   отношения   к другому человеку   и   его мнению.  Умение оценивать себя. Использование диалога. Цели урока:   создать условия: для выведения формул суммы n первых членов арифметической прогрессии и взаимообучения ее применения на Тема урока: «Сумма n первых членов арифметической прогрессии» основе СД по формированию гипотез;   организовать взаимодействие в проблемной группе в процессе совместной учебной деятельности;  формировать умения целеполагания. 9 класс Задачи урока:  формирование познавательных УУД: создавать модели и схемы для решения задач, решая учебную проблему; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно­следственных связей на основе выдвижения гипотез;  формирование коммуникативных УУД на основе СД в группе:  формулировать собственное мнение и позицию, аргументировать свое мнение, сравнивать разные точки зрения перед высказыванием общего мнения, оказывать необходимую помощь в сотрудничестве;  формирование действий  целеполагания  в сфере регулятивных УУД:   постановка общей цели, разработка общего способа (плана) реализации цели через координацию других позиций, оценка деятельности;  формирование личностных УУД в рамках деятельностного компонента: самооценка, устойчивый познавательный интерес. Ход урока Погружение в решение проблемы 1. Организационный момент. "Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю" древний мыслитель и философ Китая Как вы понимаете эти слова? Какое отношение они имеют к нашему предмету: математика? Слова древнего мыслителя и философа Китая стали китайской пословицей: «Расскажи мне, и я забуду,  покажи мне, и я запомню, дай мне сделать самому, и я пойму» 2.Актуализация знаний. 1. Какую тему мы проходим сейчас на уроках алгебры? 2. Сформулируйте   вопросы   по   теме   «Числовые   последовательности.   Арифметическая   прогрессия».   Задайте   свои   вопросы   другим группам, оцените правильность ответов. (Примеры вопросов) Приведите примеры последовательностей. Как называются числа, образующие последовательность? Как обозначаются члены последовательности и сами последовательности? Перечислить виды последовательностей и привести примеры каждого вида последовательности. Какие способы задания последовательностей вы знаете? Привести примеры последовательности, заданной формулой n ­ го члена. Найти первые 5 членов этой последовательности. Дайте определение арифметической прогрессии.  Записать формулу n – го члена арифметической прогрессии. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 3. Мотивация учебной деятельности учащихся. Задачи прикладного характера Задача 1.  Студенты   должны   выложить  плиткой  мостовую.  В  первый   день  они   выложили  3  м2.  Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2  больше, чем в предыдущий. Сколько м2  плитки уложат студенты за 5 дней? Прочитайте внимательно задачу. Скажите, сколько м2 плитки выложили студенты в первый день? Во второй день? В третий день? Продолжите последовательность и ответьте на вопрос задачи. .11;9;7;5;3 Задача 2.   В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 50­ом ряду?  а 1  ;7 d  ;2 а 50  27 49 105 4. Постановка проблемной задачи (Целеполагание). Задача 3*.  Бегун за 1 минуту пробежал 400 метров, а в каждую минуту последующую пробегал на 5 метров меньше, чем в предыдущую. Какой путь он пробежал за один час?  Можно ли сразу ответить на вопрос задачи? Почему? (Не знаем как найти сумму 60­ти членов АП)  Какие действия нужно предпринять для того, чтобы ответить на вопрос задачи? (Вывести, получить формулу суммы n первых членов АП) Но прежде я расскажу вам интересный случай. В 1787 году в одной из саксонских народных школ произошел такой случай. Учитель, желая занять учеников третьего класса на целый урок, предложил им сложить все натуральные числа от 1 до 100. Не успел учитель написать условие задачи на доске, как один из учеников встал и положил на учительский стол свою грифельную доску с ответом. Короче говоря, он закончил вычисления, едва только учитель продиктовал задание. Естественно, учитель поначалу очень рассердился, решив, что ученик поленился считать аккуратно и сдал свою доску для того, чтобы отделаться от задания. Однако, к удивлению учителя, там был написан   правильный ответ. Ученика, быстро и правильно решившего задачу, звали Карл Фридрих Гаусс. Впоследствии он стал одним из самых великих математиков в мире. Как удалось юному Гауссу так быстро сосчитать сумму ста чисел?  Почему правильный ответ был только у него?  В этой истории немало вопросов.   В этом проявились не только находчивость и сообразительность будущего гения. Для математика, для ученого вообще важно, получив задачу, подумать – а нет ли иного метода решения, стоит ли идти проторенным путем, не поискать ли свой способ решения, новый, лучший, оригинальный? Попробуйте и вы быстро ответить на этот вопрос. Хотя у вас есть преимущества, вы работаете в группе и можете использовать СД.  Найти суму чисел: 1+ 2+ 3+ …..+ 98+ 99+ 100?        1          1 100 99 98 97   ...     S   101 101 101 101 ... 101 101 101   4   ...    98 99             3         2        2          3       .   100   S S   Поскольку таких слагаемых сто штук, то  2 S 100 101 . Следовательно,  S  100 101  2  . 50 101 5050   А теперь сформулируйте проблемный вопрос урока, получив ответ на который, вы сможете вернуться к решению 3* задачи. Проблемный вопрос  – как найти сумму n первых членов арифметической прогрессии? 5. Работа в проблемных группах. Цель: осознание учащимися своей УД (учебной деятельности). 1) Формулировка цели групповой работы:  учебные: вывести формулу, научиться ею пользоваться, рассмотреть примеры её применения при решении нестандартных задач;  коммуникативные: организовать групповую работу таким образом, чтобы было наиболее эффективное решение проблемы, определить цели и функции   всех   участников   группы,   создать   условия   для   сотрудничества   при   СД:   контроль,   коррекция,   оценка   деятельности   членов   группы; добиться того, чтобы каждый член группы смог предъявить результат работы;  возможность использовать на практике. 2) Составление плана (способов) достижения цели. План работы в группе по решению проблемной задачи: (могут использовать как шаблон) 1. Провести анализ условия задачи, которую необходимо решить. 2. Обозначить проблему исследования (сформулировать).  3. Озвучить предложение по решению проблемы (образ гипотезы). 4. Обосновать предложение (1 – 2 человека: кто предложил + другие). 5. Сформулировать и записать окончательную гипотезу. 6. Обсудить и записать план проверки гипотезы. 7. Практическая или воображаемая проверка правильности выдвинутых гипотез (работают все члены группы). 8. Аргументация и приведение в порядок обнаруженных фактов. 9. Формулировка вывода на основе принятой гипотезы или опровержение гипотезы. 3) Реализация плана и доказательство гипотез. 4) Формулировка выводов подтверждающих, или опровергающих гипотезу. 5) Самооценка результатов индивидуальной и групповой деятельности.  (       S        S 2  a 1  a k  S (       a 2      a k  a a 1 k         1  )  a          3           a k  ( a a k 2     ...      ...     a ( 3  1 )  1             a 2 a ) k  2  a     1 k  a      1   ... ( a k                                   a k  1  a 2 )  ( a k  a 1 ) . Чтобы метод Гаусса работал, нужно, чтобы все скобки были равны друг другу: a 1 a 2 a 3 a k a k a k ...     2    1  Это свойство выполняется, например, для таких последовательностей: 1, 2, 3, 4, …, 1000;  101, 103, 105, …, 197, 199; 3, 6, 9, 12, …, 135; и вообще для всех последовательностей, у которых разность между соседними членами постоянна. Такие «ряды» называются арифметическими прогрессиями. Название   «арифметическая   прогрессия»   связанно   с   тем,   что   каждый   член   арифметической   прогрессии   равен   среднему арифметическому двух своих соседей. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на количество слагаемых, т. е. S  a 1  a 2   ... a n  ( n a 1  2 a n )  2 a 1   1)  n ( d n 2 , где  a a 1 , 2 ,..., a n  – конечная арифметическая прогрессия,  n  – количество членов арифметической прогрессии.) 6) Представление результатов групповой работы. 1) Цели 2) План реализации цели 3) Ответ на проблемный вопрос 7) Выступление оппонента: анализирует результаты групповых работ,  задает вопросы, определяет степень обоснованности выводов,  делает вывод о соответствии полученных результатов, дает рекомендации и советы выступающим, обсуждает возражения. 8) Решение задач на нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии (практическая проверка метода). Решить задачу №3*  Задача 3*. Бегун за 1 минуту пробежал 400 метров, а в каждую минуту последующую пробегал                          на 5 метров меньше, чем в предыдущую. Какой путь он пробежал за один час? Решение: За 1 минуту бегун пробежал 400 м, за 2 – 395 м, за 3 – 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390 образуют арифметическую прогрессию, у которой a1 = 400, d = ­ 5. Путь за 1 час, т. е. за 60 мин,  равен сумме первых 60 членов прогрессии. S60 = (2a1 + 59d)*60/2 = 15150 м. Таким образом, за один час бегун пробежит 15 км 150 м. 9) Подведение итогов  урока. Анализ и оценка работы групп экспертами: Домашнее задание: 1. Письменная рефлексия.  2. Творческое задание: найти интересный материал про Гаусса или арифметическую прогрессию. 3. Учебник, § 16. если оценка “5” – № 16.45(а, б), № 16.65 если оценка “4” – № 16.37(в, г), № 16.39 если оценка “3” – № 16.33(в, г), № 16.35(в, г) 10) Рефлексия. (Дают эксперты групп, дополняют ученики, дома выполняют письменную рефлексию) Вопросы: 1. Смогли ли мы ответить на проблемный вопрос урока? 2. Какую задачу ставили перед собой в группах? 3. Удалось ли решить поставленную задачу? 4. Каким способом была реализована поставленная цель? 5. Согласовали цель или нет; у кого более продуктивный способ достижения цели, менее продуктивный? 6. Какие получили результаты в ходе совместной деятельности? 7. Что нужно сделать ещё? 8. Где можно применить новые знания? Приложение. 1. Оценка регулятивного действия целеполагания (наличие которых определяется через наблюдение). Элементы целеполагания (поэтапно). Лимит времени на каждый этап. Есть / нет – через наблюдение. Число участников деятельности на каждом  этапе, на отдельных операциях.  Примечания. 1. Постановка цели. 1. Соответствие проблемы и цели деятельности. 2. 3. 1. 2. 1. 2. 3. 1. 2. 3. Наличие только предметной цели. Наличие межпредметной или метапредметной цели. 2. Разработка плана реализации цели. Определение пунктов плана. Распределение операций по реализации цели между членами группы. 3. Реализация плана Участие в части общей деятельности (выполнение операций). Соорганизация деятельности. Обсуждение и формулировка общего результата группы. 4. Оценка Самооценка. Оценка членов группы. Оценка работы группы в целом. 5. Экспертная оценка. 6. Оценка оппонента. 7. Оценка учителя (при необходимости) 2. Оценка СД в группе в целом по получению познавательного результата в УУД в виде нового знания, нового метода познания. Работа группы в целом оценивается по оптимальности результата и эффективности построения деятельности в группе. Оценка  производится экспертом (учеником), находящимся внутри группы и внешним оппонентом (учеником), наблюдающим и корректирующим  совместную деятельность всех групп. Оценка оппонента на основе  предъявления группой результата. Пояснение оценки Критерии Наличие «научного» результата (результат  единственный, верный). Наличие нескольких  результатов («научный» ­ верный, дополнительные результаты). Результат оригинальный. Подведение итога. Эксперт, при необходимости – учитель. 3. Оценка процесса организации работы в группе, степени совместной деятельности, коммуникативных УУД. Критерии Оценка эксперта на основе наблюдения Пояснения оценки 1. Проявление этапов работы группы. 1) наличие всех этапов 2) длительность работы на этапе 2. Активность членов группы на каждом этапе. 1) внешняя активность, число обсуждающих 2) внутренняя активность, число внимательно слушающих 3) проявления активности: предложения, вопросы, возражения 3. Общая характеристика слаженности работы группы на каждом этапе. (Насколько все члены группы на своем уровне вовлечены в СД). 4. Критерии  оценки деятельности учащегося (регулятивных умений) в проблемной группе старших подростков. Критерии: Баллы: Формулировка целей  1 Участвовал в обсуждении цели деятельности 2 Предложил свою цель и не принял дополнений 3 Предложил цель и согласовал с  другими 4 Не участвовал в обсуждении Составление способа достижения цели (плана) 1 Предъявил свой способ, не воспринимая предложения группы 2 Предъявил свой способ, согласованный с группой 1 2 3 0 2 3 3 Обсуждал способы 4 Не участвовал в обсуждении 1 0 Фамилия, имя 1 2 3 4 5 6 7 8 Сумма баллов Оценка №  п/п 1 2 3 4 5 6 Оценка за работу в группе: 5 – 6 баллов — «5» 3 – 4 балла — «4» 2 –  балла — «3» Менее  2 баллов — «2»