В помощь учителю математике при работе с одареными детьми "Решение занимательных задач для учащихся 7класса""

Задача 1
Управдом Иван Васильевич собрал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Михаил Петрович заинтересовался, почему у них в третьем подъезде надо собрать на 20% больше, чем во втором, хотя квартир во всех подъездах поровну. Не растерявшись, управдом объяснил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трёхзначные – втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?

Решение
Пусть в каждом подъезде х квартир, а- стоимость однозначного номера. По условию задачи есть одно-, двух- и трёхзначные номера, при этом подъезда три, значит, возможны варианты:





Рассмотрим II вариант:
За двузначные номера заплатили в 2 раза больше чем за однозначные то есть 2ах, а за трёхзначные в 3 раза больше чем за однозначные то есть 3ах. Значит жители 3-го подъезда заплатили на

больше, чем жители 2-го подъезда – противоречие ( по условию на 20%)

Рассмотрим III вариант:
Во 2-м подъезде двузначных номеров х и собрали 2ах
В 3-м подъезде двузначных номеров 99-2х, трёхзначных х-(99-2х)=3х-99 и собрали 2а(99-2х)+3а(3х-99)=а(198-4х+9х-297)=а(5х-99)
По условию задачи в 3-м подъезде собрали на 20% больше, чем во 2-м подъезде, то есть в 3-м подъезде собранные деньги составляют 120% от собранных денег во 2-м подъезде.

не удовлетворяет условию

Следовательно в 1-ом подъезде находятся одно и двузначные номера, во 2-ом подъезде находятся двухзначные и трёхзначные номера, а в 3-м – трехзначные номера.








Так как за однозначные номера заплатили а, за двузначные 2а, а за трёхзначные 3а, получаем что во 2-ом подъезде всего собрали:
2а(99-х) + 3а(2х-99)=а(198-2х+6х-297)=а(4х-99)
В 3-м подъезде всего собрали 3ах

По условию задачи в 3-м подъезде собрали на 20% больше, чем во 2-м подъезде, то есть в 3-м подъезде собранные деньги составляют 120% от собранных денег во 2-м подъезде.
Уравнение:
3ах=1,2а(4х-99)
Х=0,4(4х-99)
Х=1,6х-39,6
-0.6х=-39,6
Х=-39,6: (-0,6)
Х=66

В каждом подъезде 66 квартир.

Задание 2
По трассе имеющей форму окружности, длиной 1350 м, в одном направлении едут два мотоциклиста. Первый обгонял второго каждые 27 минут. При движении в противоположном направлении они встречаются каждые 3 минуты. Найти скорость мотоциклистов.
Решение.
Рассмотрим случай, когда два мотоциклиста движутся в одном направлении. Так как по условию задачи 1-й мотоциклист обгонял 2-го каждые 27 минут, то за каждые 27 минут 1-й проезжал на 1350м больше чем 2-й.




При движении в противоположном направлении они встречались каждые 3 мин, значит вместе за 3 мин они проедут 1350м.




1-й и 2-й до встречи проедут м, что составляет 1350м





скорость 1-го =250м/мин
скорость 2-го = 200м/мин.