Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

Урок на тему

"Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений"

Цель урока: знакомство учащихся с алгоритмом возведения в квадрат суммы и разности двух выражений.

Обучающая задача: научить применять алгоритм возведения в квадрат суммы и разности двух выражений при решении практических задач.

Развивающая задача: развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы, развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, память, а также самостоятельность в мышлении и учебной деятельности, умение работать в парах и группах; развивать исследовательскую и познавательную деятельность.

Воспитательная задача: воспитывать самостоятельность, активность, ответственность за порученное дело, упорство в достижении поставленной цели.

Ход урока

В начале урока класс делится на рабочие группы (в каждой группе должно быть четное количество учащихся для организации их работы в парах).

1. Стадия вызова

Цели:

• актуализация знаний учащихся по теме;
• пробуждение интереса к изучаемой теме, мотивация каждого ученика к учебной деятельности.

Прием: выдвижение версий, связанных с выполнением, решением предложенного задания.

Формы работы: индивидуальная, парная, групповая.

В начале урока учащимся предлагается задание, которое с одной стороны ориентировано на повторение ранее изученного материала, а с другой стороны подводит их непосредственно к изучению нового материала.

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

Какое равенство называют тождеством?

Что используют для доказательства тождеств?

Вычислите:

а)           б)           в)           г) 11²          д) (6 – 8)²

е) (6 + 8)²          ж) 6² + 8²          з) 101²          и) 999²

Учитель внимательно выслушивает ответы, учащиеся же имеют возможность посчитать, ответить, в случае неверного ответа поправить своего товарища или ему помочь.

Все хорошо до двух последних выражений, когда учащимся не представляется возможным возвести в степень заданное число (рациональным способом). Учащимся предлагается подумать, обсудить предложения в парах и группах, а также предложение своей группы озвучить.

После этого учащиеся приступают к чтению текста до того места, где предлагается сделать остановку.

2. Стадия осмысления

Цели:

• соотнесение уже имеющихся знаний с информацией, которую предлагается прочитать;
• получение новой информации, ее осмысление.

Прием: сопоставление версии с новым фрагментом текста.

Формы работы: индивидуальная, работа в парах, работа в группах.

Каждый учащийся получает для работы первый фрагмент текста.

Возведем в квадрат сумму a + b

Первая остановка в чтении и беседа. Это стадия осмысления предыдущего фрагмента и одновременно стадия вызова для следующего фрагмента текста.

А как вы думаете, на чем основано возведение в квадрат данного выражения? Попробуйте выполнить возведение в квадрат самостоятельно. Обсудите полученные результаты в парах и группах.

Учащиеся уточняют свои первоначальные предположения, опираясь на детали текста. Затем переходят к чтению второго фрагмента.

Для этого представим выражение (a + b)² в виде произведения (a+b)· (a+b) и выполним умножение:

(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Значит, (a + b)² = a² + 2ab + b²

Тождество называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат суммы двух любых выражений.

Остановка в чтении. Стадия осмысления второго фрагмента, уточнение своих предположений на основе текста и одновременно - это стадия вызова для чтения третьей части текста.

А как, по-вашему, может звучать правило возведения в квадрат суммы двух выражений?

Обмен предположениями и - чтение следующей части.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Приведем примеры:

а) (x + y)² = x² + 2xy + y²

б) (r + 3)² = r² + 6r + 9

в) (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25

Представьте в виде многочлена:

а) (с + а)² =

б) (х + 12)² =

в) (10 + 8к)² =

Остановка в чтении. Стадия осмысления третьего фрагмента, уточнение своих предположений на основе текста и одновременно - это стадия вызова для чтения четвертой части текста.

А что вы думаете про возведение в квадрат разности двух выражений?

Возведем теперь в квадрат разность a – b

На чем, по вашему мнению, основано возведение в квадрат данного выражения? Попробуйте выполнить возведение в квадрат самостоятельно. Обсудите полученные результаты в парах и группах.

Учащиеся уточняют свои первоначальные предположения, опираясь на детали текста. Затем переходят к чтению пятого фрагмента.

Получим,

(a – b)² = (a – b) · (a – b) = a² – ab –  ab + b² = a² – 2ab + b²

Значит, (a – b)² = a² – 2ab + b²

Тождество называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат разности двух любых выражений.

Остановка в чтении. Стадия осмысления пятого фрагмента, уточнение своих предположений на основе текста и одновременно - это стадия вызова для чтения шестой части текста.

Вы получили новую информацию. Предложите ваши версии формулировки правила возведения в квадрат разности двух выражений.

Обмен предположениями и - чтение следующей части.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Приведем примеры:

а) (x – y)² = x² – 2xy + y²

б) (10 – с)² = 100 – 20с + с²

в) (4у – 9)² = 16у² – 72у + 81

Представьте в виде многочлена

а) (к – а)² =

б) (7 – 8а)² =

в) (5у – 4х)² =

А что такое на ваш взгляд формулы сокращенного умножения? Где они используются и для чего? Подумайте, обсудите свои предположения в парах и группах, подтвердите или опровергните их на основе прочитанного текста.

Учащимся предлагается прочитать заключительную, седьмую часть текста.

При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного умножения.

(a + b)² = a² + 2ab + b² квадрат суммы двух выражений

(a – b) ² = a² – 2ab + b² квадрат разности двух выражений

3. Стадия рефлексии

Цели:

• оценка своих знаний, вызов к следующему шагу познания;
• осмысление и присвоение полученной информации.

Прием: выдвижение новой версии нахождения значения выражения.

Формы работы: индивидуальная, парная, групповая.

Эта часть занятия является третьей стадией в процессе критического мышления. Завершается работа группой предложенных заданий, но работа с которыми, осуществляется по уже известной схеме: индивидуальная, парная, групповая.

1. Преобразуйте в многочлен:

а) (m + n)²          б) (c – d)²          в)  (x + 9)²          г) (8 – a)²

д) (a – 25)²          е) (40 + b)²          ж) (0,2 – x)²          з) (k + 0,5)²

2. Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

а) ( * + 2b)²  = a²  + 4ab + 4b²

б) (3x + * )²  = 9x²  + 6ax + a²

в) ( * – 2m)² = 100 – 40m + 4m²

г) ( * – 9c)² = 36a⁴  – 108a²c + 81c²

д) (15y + * )² = 225y²  + 12x³y + 0,16x⁶

е) (3a + 2,5b)² = 9a² + 6,25b²  + *

3. Упростите выражение:

а) 18а + (а – 9)²           б) (х – 3)²  + х(х + 9)

в) (5х – 1)² – 25х²          г) (2а + 5)² – 5(4а + 5)

д) 4х² – (2х – 3)²          е) а²  + 12а + 36

ж) (а + 2с)² – 4с²          з) 1 – 2с + с²

Как быть в последних двух случаях? Ведь эти многочлены не содержат подобных слагаемых, но, тем не менее, эти выражения можно упростить. Как?

В качестве домашнего задания учащимся предлагается:

• ответить на поставленные в конце урока вопросы;
• по тексту занятия (он остается у учащихся) придумать свои собственные примеры на возведение в квадрат суммы и разности двух выражений.