Зачет по теме "Квадратичная функция,ее свойства и график". Алгебра 8 класс

Зачет  по теме: Квадратичная функция, ее свойства и график.  9 класс Демонстрационный вариант с решениями. Сделай самостоятельно по образцу демонстрационного варианта ЧАСТЬ I 1. Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y ­ переменные, а    a, b, c ­ заданные числа,  причем a≠0  , называется квадратичной функцией. Решение: Из функций  у  х 7 2  5 ,  у 1  х 2 6 у 4 х под определение квадратичной функции подходит функция    у  х 7 2  5 1. Какая из перечисленных функций является квадратичной? а)  б)  у  х 3 8 у  29х в)  г)  у 15 х у  х 4 3  7 2. Для функции  у  х 8 3 х 2  4 назовите коэффициенты а,b и с. Решение: Т.к. формула квадратичной функции имеет видy = ax2 + bx + с, то а = ­ 3; b = 8; с = ­ 4 Ответ:а = ­ 3; b = 8; с = ­ 4 2. Для функции  назовите коэффициенты а,b и с. у  10 2 х  х  4 Ответ: а = ___; b = ___; с = ___ 3. Найдите значение функции   в точке ­ 2. у  63 х 2  7 Решение: Подставим ­ 2 вместо х,  у у   )2(6)2(8  1 2  7  Ответ: 1 3. Найдите значение функции  у  72  х  2 х  в точке ­ 1. а)  ­ 8 б)  6 в)  ­1 г)  ­ 8 4. Укажите координаты вершины параболы у  2 х 1 4  х Решение: Координаты вершины параболы  (хв;ув ) находятся по формулам  хв= ; ув= . ac   b b a 2 2  4 В нашем случае хв= 4 a  , проще для нахождения ув подставить хв= 2 в исходную   2  )1( 1  4 2 функцию   ву 212 2 2 1 4 1 Ответ: (2;­1) 4. Укажите координаты вершины параболы у 2  х х 8 а) (1;­7) б)(4;­16) в) (­4;48) г)  (­3;3) 5. По рисунку определите знаки коэффициентов а и с. Решение: Коэффициент а показывает направление ветвей параболы. Если a> 0  , то  ветви направлены вверх, если a< 0, то ветви направлены вниз.  Коэффициент с показывает ординату точки пересечения параболы с осью ординат. В  нашем случае a> 0  c = ­ 3 , значит Ответ:a> 0  c< 0 5. По рисунку определите знаки коэффициентов а и с. а) б) в) г) a > 0  c > 0 a > 0  c < 0 a < 0  c > 0 a < 0  c < 0 6. По рисунку определите сколько корней имеет квадратный трёхчлен ? ах 2 bх  c Решение: При D< 0 квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет корней, а парабола не  имеет точек пересечения с осью ОХ, при D = 0  ­ один корень, значит одна  точка пересечения с осью ОХ, при D> 0 – два корня, следовательно две точки  пересечения с осью ОХ. В нашем случае парабола имеет с осью ОХ одну точку пересечения (3;0), значит квадратный  трехчлен ax2 + bx + c  имеет один корень. Расположение параболы на координатной плоскости. Ответ: один корень. 6. По рисунку определите сколько корней имеет трёхчлен  ? ах 2 bх  c 1 3 а)  б) в) Корней нет г) 2 квадратный  7. На рисунке изображен график функции. Какая из приведенных формул задает эту функцию?  у у у у 2  х  2 х  2 х  2 х  4  6 4 х 6 х  х  5  х  5 ;5 5 Решение: Т.к. ветви параболы направлены вниз, значит  а < 0  и из выше приведенных формул подходит 1 и 3, на графике видим, что коэффициент  с = ­ 5, следовательно функцию задает формула  у  х  62 х  5 Ответ:  у  х  62 х  5 7. На рисунке изображен график функции. Какая из приведенных формул задает эту функцию? ) уа уб ) ) ув ) уг 2  2 х   2 х  2 2 х   2 х х 2 х 2  х  х 3  3  3 3 8. По рисунку определите промежуток, в котором функция убывает. Решение: Точка хв= делит  b a 2 числовую ось на два промежутка, на каждом из которых квадратичная  функция либо возрастает, либо убывает. Характер поведения функции  зависит от знака старшего коэффициента a. При a > 0 квадратичная  функция убывает на промежутке (– ;  ] и возрастает на   b 2 a промежутке [  b 2 a ; + ). При a < 0 характер возрастания и убывания функции меняется на  . противоположный. В нашем случае, a > 0, хв= 2, следовательно функция убывает на  промежутке  Ответ: 2; 2; 8. По рисунку определите промежуток, в котором  функция возрастает. Ответ:________ 9. На рисунке изображен график функции  Используя график, решите  у 12 х неравенство   . х 012 Решение: Нулями функции являются точки х = ­ 1 и х = 1.Т.к нужно решить неравенство  ,  х 012  (точки графика функции находятся ниже оси ОХ), следовательно  при 0у значит  0у 1;1х  1;1 Ответ: 9. На рисунке изображен график функции   . Используя график,  у 2  х 2 х решите неравенство   . 2 х  х 2 0 Ответ:________ у D х 10. На рисунке изображен график функции у  3 2 х  4 х  15 .  Вычислите абсциссу точки D. Решение: Точка D­ это точка пересечения  графика с осью абсцисс. Составим уравнение  3 2 х  х 4  0 15  и решим его. Найдем дискриминант bD  2 ,4 Dac 2  (34 4 )15  196  14 2 Точка D лежит левее начала координат,  Найдем корни уравнения по формуле х 2,1  b  a 2 D , х 1  5 3 , х 2  3 следовательно абсцисса точки D –отрицатель­ на, т.е. х  = ­ 3 Ответ: ­ 3 10. На рисунке изображен график функции у  2 2 х  х 10 .  Вычислите абсциссу точки А. Ответ:___________ 11. Найдите абсциссу точки, через которую проходит ось симметрии параболы  y = x2 ­3х Решение: Уравнение оси симметрии параболы имеет вид х=хв . Найдем абсциссу вершины  параболы хв=     5,1 b 2 a  )3(  12 Уравнение оси симметрии параболы примет вид х=1,5, значит и абсцисса точки, через которую проходит ось симметрии параболыравна 1,5 Ответ:1,5 11. Найдите абсциссу точки, через которую проходит ось симметрии параболы  y = ­x2 – 5x  а)  2,5 б)  ­ 2,5 г)  ­ 5 в)  5 12. Известно, что парабола  у 2  х bх  8 проходит через точку Т(1;­1). Найдите коэффициент b. Решение: Подставим координаты точки Т в уравнение  у 2  х Ответ: 10 bх  ,8  2 11 ,81 b b  10 12. Известно, что парабола  у  ах 2  3 х  6 проходит через точку К(­1;­2). Найдите коэффициент а. Ответ:___________  13. Постройте график функции ЧАСТЬ II ЧАСТЬ II . Укажите наибольшее значение этой функции.  у  1 2 х 2  2 х  ,1 Решение: Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем  абсциссу вершины параболы .  хв  b 2 a   2 1  (2 2 )  2 Подставим хв  в уравнение параболы и найдем ординату ее вершины, значение которой и  является наибольшим значением данной функции уmax=yв=  2  2 3122 1 2 Для построения графика данной параболы вычислим координаты двух пар ее точек,  симметричных относительно ее оси х=2. х у 0 1 1 2,5 3 2,5 4 1 Ответ: уmax= 3 13. Постройте график функции у  1 2 х 2  4 х  5 . Укажите наименьшее значение этой функции.  Ответ:__________  14. Найдите множество значений функции на заданном отрезке [-1;4] у  9 2 х Решение: х  в b 2 a  ,0 у в  09 2  9 Подставим концы отрезка [-1;2] в исходную функцию  у )1( Значит [5;9] – множество значений функции у )1(9 29   9  5 у )2(   ,7 2 2 х на отрезке [-1;2]. 2 Ответ: [5;9] 14. Найдите множество значений функции на заданном отрезке [-1;1] у  26х Ответ:__________ 15. Постройте график функции .И у  х 3   х 2 2 х 2 определите, при каких значениях bпрямая у= b имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: Упростим правую часть функции х 2 3   х 2 х 2 2 х  )2 ( х х   2 2  х , х  2 Следовательно, графиком данной функции является парабола , с  у  2х выколотой точкой (2;4).Значит, прямаяу = b имеет с графиком ровно одну общую точку при b = 0 и b = 4 (см. рисунок). При любых других значениях b данная прямая либо пересекает график функции в двух точках, либо не имеет с графиком данной функции ни одной общей точки. Ответ: при b = 0 и b = 4. 15. Постройте график функции . При каких значениях х значения функции  у  5 3 2 х 5   х х положительны.  Ответ:__________  16. При каких значениях рвершины парабол у = х2 – 2рх – 1 и у = –х2 + 4рх + р расположены по разные стороны от оси х? Ответ:__________ Ответы: Задание 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. б a= ­10 b= ­1 c=4 б б а г а Задание 10. 11. 12. 2 б 1 ЧАСТЬ II 13. 14. ­3  6;0 8. 9.  3;    ;2;   ;0 15. 16.     ;0;   ;5;5;0  1 4 ; р  p  0 16. При каких значениях рвершины парабол у = –х2+2рх + 3 и у = х2– 6рх + ррасположены по разные стороны от оси х? расположены по одну сторону от оси х? Решение:  Найдём дискриминант трёхчлена –х2 + 2рх +3: D1 = р2 + 3.  При любом значении рдискриминант положителен, значит, парабола у = –х2 + 2рх +3 всегда пересекает ось х. Так как ветви параболы направлены вниз, то её вершина всегда находится выше оси х. Выясним, при каких значениях рвершина параболы у = х2 – 6рх + р располагается ниже оси х. Ветви этой параболы направлены вверх, поэтому нужно выяснить, при каких значениях рэта парабола пересекает ось х, т.е. при каких реё дискриминант положителен: D1 = 9р2 – р; 9р2 – р > 0; р < 0, р > 1 9 Ответ: р< 0, р > 1 9