Задача №13 (ЕГЭ) математика

Задача 13. Весной катер идёт против течения реки в 1 2/3 раза медленнее, чем по  течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость  течения весной (в км/ч). Решение 1: Пусть Х ­ собственная скорость катера, а Y ­ скорость течения Тогда скорость катера по течению Х + Y, а против течения ­  X ­ Y Получаем систему уравнений  X + Y        5 ­­­­­­­­­ = ­­­­   X ­ Y        3                       3 * X + 3 * Y = 5 * X ­ 5 * Y X + Y ­ 1      3      Тогда       2 * X + 2 * Y ­ 2 = 3 * X ­ 3 * Y + 3 ­­­­­­­­­­­ = ­­­­ X ­ Y + 1      2   2 * X = 8 * Y        X = 5 * Y ­ 5      Решая систему, получаем  Х = 20 , Y = 5 , то есть скорость течения весной 5 км/ч.   Решение 2. Вспомним, что при движении по течению, чтобы найти скорость  катера, нужно к собственной скорости катера ( то есть к его скорости в  неподвижной воде) прибавить скорость течения. Это легко представить: при  движении по течению катер "сносит" течением ­ если бы его собственная  скорость была равна нулю (при выключенном двигателе), то он двигался бы со скоростью течения. Чтобы найти скорость катера при движении против течения, нужно из  скорости катера вычесть скорость течения. Действительно, если бы  собственная скорость катера была равна нулю, то его сносило бы в  направлении течения, то есть в направлении, противоположном направлению  движения. Итак, для решения задачи введем неизвестные:  км/ч ­ скорость течения весной. По условию задачи летом течение  Пусть  становится на 1 км/ч медленнее. Следовательно,  км/ч ­ скорость течения летом. Пусть   км/ч ­ собственная скорость катера. Тогда   км/ч ­скорость катера по течению весной. км/ч ­скорость катера против течения весной.  км/ч ­скорость катера по течению летом.  км/ч ­скорость катера против течения летом. По условию задачи весной катер идет против течения реки в  медленнее, чем по течению. Следовательно, весной скорость катера против   раза  течения в   раза меньше, чем по течению. Получаем первое уравнение:  (1) Преобразуем это уравнение. Сначала запишем смешанное число в виде  неправильной дроби: Умножим обе части на 3: Раскроем скобки и выразим   через  : Второе условие задачи: летом катер идет против течения реки в  медленнее, чем по течению. Следовательно, летом скорость катера против  раза  течения в   раза меньше, чем по течению. Получаем второе уравнение:  (2) Запишем смешанное число в виде неправильной дроби и умножим обе части  на 2: Так как из первого уравнения получили  вместо  :   , подставим в это уравнение  Итак, течение весной 5 км/ч. Мы могли бы составить из уравнений (1) и (2) систему уравнений, а затем  решить ее, например, способом подстановки. Ответ: 5 Решение 3:  Скорость движения по течению реки находится по формуле: V = v+х Где v - собственная скорость объекта, x - скорость течения реки. Скорость движения объекта против течения: V = v-х Введем обозначения: v - собственная скорость катера, x - скорость течения реки весной, x-1 – скорость течения реки летом. Составим таблицу.                                                                             Весна                                        Лето Скорость по течению                                       v+x                                           v+(x­1) Скорость против течения                                v­x                                              v­(x­1) 8x = 2(5x­5); 8x = 10x­10; 10 = 2x; x = 5. Ответ: 5. Задача 9. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см.  На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше  диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.    Решение. Вспомним формулу для вычисления объема цилиндра: V= R∏ 2H, где R­ радиус цилиндра, H ­ его высота. По условию задачи уровень жидкости равен 16,  следовательно, высота равна  16: V= R∏ 216 После того, как жидкость перелили в другой цилиндрический сосуд, ее объем  не изменился.  Диаметр второго сосуда в два раза больше диаметра первого.  Т.к. D=2R, следовательно радиус второго сосуда в два раза больше радиуса  первого, и равен 2R. 2h=  4R∏ 2h, где h ­ высота жидкости во втором сосуде. Запишем, чему равен объем жидкости во втором сосуде: V= (2R)∏ Приравняем объемы жидкости в первом и втором сосудах: R∏ 216=  4R∏ 2h Сократим одинаковые величины в левой и правой частях равенства. Получим: 16=4h. Отсюда: h=4 Ответ: 4 см. То есть при одинаковом объеме высота обратно пропорциональна  квадрату радиуса, и, следовательно, диаметра. Если мы диаметр  увеличили в 2 раза, то высота уменьшится в 4 раза.