Задача о частице в потенциальной яме.

Задача о частице в потенциальной яме. Задачей о частице в потенциальной яме называется задача о нахождении собственных функции и  собственных значений оператора Гамильтона, имеющего вид: ˆ H   2 h 2 m % ( ; U x y z ; )   где  U x y z% ( ; ; ) -потенциальная энергия, имеющая вид ямы. Потенциальная яма ­ ограниченная область пространства, определяемая функциональной природой взаимодействия частиц, в которой полная энергии Е  больше чем вне ее, другими словами,  потенциальная яма – область в которой на частицу действует сила притяжения. Основное свойство: удерживать частицу внутри себя, если ее энергия Е меньше глубины ямы. Основные характеристики потенц. ямы:  1) Ширина ямы – расстояние на котором проявляется действие сил притяжения. 2) Глубина ямы равная разности двух потенц. энергии на краю и на дне ямы. Термин «потенциальная яма» происходит от вида графика потенциальной энергии от  координат. Примеры: 1) кулоновская потенциальная яма, она описывает притяжение атомного электрона к  ядру. 2) Прямоугольная потенциальная яма. Вид такой ямы имеет потенц. энергия электрона в  металле, причем глубина  ямы равна работе выхода электрона из металла.   Потенциальной  яме с бесконечной глубиной  соответствует металл с бесконечно большой  работой выхода. Рассмотрим задачу о движении электрона в прямоугольной потенциальной яме бесконечной  высоты.  ,  0, U xесли   , ( )  0 еслиx U(x)   0 a x  0 еслиx I II 0 III a x    Цели, которые преследуем при решении задачи: 1) методическая – продемонстрировать получение  точного решения стационарного уравнения Шредингера. 2)выяснить отличия в поведении квантовой и классической частиц, 3) Найти причины квантования энергии. Задачу будем решать в рамках стационарного уравнения Шредингера ( одномерный случай). (1) ˆ  ( ) H x  ( ) E x ˆ H   2 2 h ˆ   2 m х 2 (2)  одна переменная, m­масса частицы. % ( ) U x  План решения задачи: 1) разбить поле на области, в каждой из которых потенциальная энергия  постоянна; 2)написать уравнение Шредингера для каждой из областей и решить их; 3) граничные условия для волновой функции задачи; 4) исходя из граничных условий, найти возможные значения энергии Еп и собственную функцию  оператора  Гамильтона. Решение задачи: 1) 3 обл. на рис. 2) (2) в (1) h d 2 m dx  2 2  ( ) ( ) x U x   ( ) x    2 m  ( ) E x h 2 Преобразуем: все что стоит справа перенесем в лев. Часть, объединив два последних  слагаемых.  ( ) x  2 m h 2 ( ( ) U x  E  ) ( ) x  0 (3) 2   х 2 II обл. UII(x)=0  Подчеркнутое слагаемое равно 0 и уравнение перейдет в следующее 2   х 2  II ( ) x  m 2 h 2  E II ( ) x  0 Т.к. Е больше 0, то коэффициент будет положительным, его можно обозначить k2  Поэтому уравнение (5) 2 2 2 k ( ) x ( ) x  II  II d dх Частными решениями диф. уравнения (5) будут:   0 sin kx ,cos kx 2 Проверим методом подстановки: d dх 2 sin   sin sin kx kx kx   k k k 2 2 2 sin kx  0 2 d dх 2 cos kx 2  k cos kx   k 2 cos kx 2  k cos kx  0 Общим решением уравнения (5) будет линейная комбинация частных решений   II A sin kx B  cos kx  (6) A, B – неизвестные, их находят из граничных условий и условия нормировки волновой функции. I, III обл.:  найдем решения, исходя из физических условий задачи. Т.к. стенки ямы бесконечной  высоты, то вероятность обнаружить микрочастицу в первой и третьей областях равна 0. (7)  I x ( )  0 (9) II x ( ) 2  0 (8) III x ( )  0 (10) III x ( ) 2  0 3) Граничные условия: Требуем, чтобы волновая функция была всюду непрерывна, для этого необходимы следующие  граничные условия: (11)  I  II ( ) x ( ) a   II   III ( ) x ( ) a    B 0 0 Сшиваем решения в точке 0 и точке а. В (11) подставляем (6), получим A sin 0  B cos 0 (13) (13) подставляем в (6)        ( ) II x (14) A sin kx в (12) подставим (14) и (10), получим  A sin ka (15) k  n a    ka 0 n    Подставим (15) в (4) и выразим энергию  (16) E п  h  2 2 ma 2 n 2 , n  1, 2,3. 2 n a 2 2 2   h nE 2 Мы нашли собственные значения оператора Гамильтона, т.е. возможные значения энергии частицы в потенциальной яме.Главный вывод задачи:  т.о.  мы показали, что энергия частицы, запертой в  потенциальной яме, квантуется, т.е.  принимает дискретные значения.