Задачи на применение производной в физике.

Задачи на применение производной в физика.

Задача 1. При движении тела по прямой его координата меняется по закону X(t) =  -  +t (м), где t- время движения в секундах. Найти через сколько секунд ускорение будет равно 5   ?

Задача  2.  Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону φ(t) = 0,1 t² – 0,5 t + 0,2  рад.

Найти, в какой момент времени угловая скорость была равна 3,5   .

Задача 3. Тело, массой m =5 кг, движется прямолинейно по закону S(t) = 1 –t +t² (метров), t –время в секундах. Найти кинетическую энергию тела E =  через 10 секунд после начала движения.

Задача 4.   Количество электричества, проходящее по проводнику, изменяется по закону Q(t) = 3 t – 15 + 0,5 t ²,  где t –   время в сек. Найти величину тока I (t) при t = 10 сек, если

I (t)= Q ʹ(t).

Задача 5.  Экспериментально установлено, что расход горючего автомобиля зависит от скорости его движения и определяется по формуле y(x) = 18 – 0,3 x + 0,05 x² ,  где х – скорость в  и x. Определить скорость сгорания топлива V(х) при скорости движения а) 75     б) 100 ;   в) 40  , если

V(х) = y ʹ(x) , сделать вывод: как зависит расход горючего от скорости движения.

Задача 6. Вороне как-то бог послал кусочек сыру…

Старая басня на новый лад. Укусила лиса сыр и … сломала клык. Разозлилась лиса на ворону и бросила сыр обратно вороне вверх. « Чтоб тебя!...»Попала ли лиса в ворону, если высота брошенного вертикально вверх сыра меняется по закону h(t) = v₀t -  , а ворона сидит на высоте

 7  метров?  Начальная скорость, с которой лиса бросила сыр, V₀ = 10 м/ сек.

План решения.

1.    Найти производную от h(t)

2.    Найти время полета сыра. Для этого найденную производную приравнять к нулю.

3.    Найденное время t подставить в формулу h(t).

4.    Сравнить полученную величину с высотой, на которой сидит ворона.

5.    Сделать вывод.

Задача 7.Заряд, протекающий по проводнику, меняется по закону q(t) = 2Sin (t – 5) + 3 cos (t -5). Найти силу тока в момент времени t=5сек.

Задача 8.   Количество электричества, проходящее по проводнику, изменяется по закону q(t) =  t +,  где t –   время в сек. В какой момент времени сила тока будет равна нулю, если

I (t)= q ʹ(t)?

Задача 9.  Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/час. У моста висит дорожный знак «36 км/час». За 7 секунд до въезда на мост водитель нажал на тормоз. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой S(t) = 20t – t² (м).    ( V(t) = S ʹ(t) ).

Задача 10.  Пусть количество теплоты Q(t), необходимое для нагрева тела массой 1 кг от 0° до t°, задается формулой

Q(t) = 0,396 t +2,081˔10 ^-3 t² – 5,024 ˔ 10^-7 t³                   0°  t95°. Найти, как зависит теплоемкость С(t) от температуры, если  С(t) = Q ʹ(t).

Задача 11.  В  тонком неоднородном стержне, имеющим длину 25 см, масса в граммах распределена по закону

 m(L) = 4L² -2L +5, где L – длина от начала. Найти плотность ƿ(L) стержня на расстоянии 4 см от начала, если ƿ(L)= m ʹ(L) . 

Задача 12. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости Х км/час при движении на четвертой передаче приблизительно описывается формулой

f(x) = 0,0008 x² – 0,064 x-6,2     x> 30. При какой скорости расход горючего будет наименьшим? Найдите этот расход.

Задача 13. При движении тела по прямой его координата меняется по закону X(t) =  -  +t (м), где t- время движения в секундах. Найти через сколько секунд ускорение будет равно 5   ?

Задача 14.

Задача 15.  Работа, совершаемая двигателем, задается формулой A(t) = 5t² –600˔ ln t +  – 1,02 t + 20,5 Дж, где  t –время в секундах. Вычислить, какую мощность разовьет двигатель через 10 секунд работы.

Ответы на задачи.

1.     2 сек.

2.     20 сек.

3.    902,5 Дж.

4.    13 A.

5.     а)  7,2     б) 4,7    в) 3,7 ( Чем больше скорость, тем меньше расход горючего).

6.     Сказка. Лиса не попала, не добросила 2 метра

7.    2 А.

8.    2 сек.

9.     Въехал со скор. 6 м\сек, а разрешаемая скор.

    36    км\ч= 10 м\сек.

10.                 С(1)= 0,271; С(95) =) -1507 Уменьшается с

          ростом температуры

11.                  Плотность стержня 30 г\см.

12.                  При скорости 40 км\ч расход горючего 4,04   

        литра.

13.                  2 сек.

14.         V (t) = 6˔ (2t +1)² + 7 ; V (2) =157 .

15.                 38 Вт.